泰勒公式與研究型教學(xué)

李為東++廖福成++徐巖

摘 要：研究型教學(xué)是新近發(fā)展起來(lái)的一種新的教學(xué)理念。文章以數(shù)學(xué)分析課程中重要的泰勒公式教學(xué)為例，探討了研究型教學(xué)在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中的具體實(shí)現(xiàn)。文章以計(jì)算的觀點(diǎn)，展現(xiàn)了在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中從幾個(gè)常見(jiàn)的極限和近似計(jì)算公式出發(fā)，深入追尋這些熟識(shí)的結(jié)果的意義和聯(lián)系，進(jìn)而提出和解決更一般的問(wèn)題，最終導(dǎo)出泰勒公式的過(guò)程。這樣的教學(xué)過(guò)程也是充分貼近歷史發(fā)展的本來(lái)面貌的。

關(guān)鍵詞：研究型教學(xué) 泰勒公式 極限 指數(shù)函數(shù)

中圖分類號(hào)：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）08（b）-0188-02

研究型教學(xué)是一種針對(duì)傳統(tǒng)的講授式教學(xué)提出的新的教學(xué)模式。在講授式教學(xué)中，教師是教學(xué)活動(dòng)的主體和支配者，內(nèi)容和方式均由教師決定。學(xué)生處于被動(dòng)接受的地位，他們完全可以沒(méi)有對(duì)知識(shí)的見(jiàn)解，全部學(xué)習(xí)任務(wù)就是記住老師講授的內(nèi)容并在考試中將其正確復(fù)述。這樣的教學(xué)方式雖然可以使教師傳遞更大的信息量給學(xué)生，但是嚴(yán)重打擊了學(xué)生對(duì)知識(shí)的興趣及學(xué)習(xí)的熱情。當(dāng)今時(shí)代，僅僅通過(guò)接受高等教育獲得知識(shí)對(duì)于現(xiàn)代大學(xué)生來(lái)說(shuō)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，他們不僅要有獲得知識(shí)的能力，更要有發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造知識(shí)的能力。因此，研究型教學(xué)應(yīng)運(yùn)而生了[1～2]。

研究型教學(xué)是指教師以問(wèn)題研究的形式組織教學(xué)，學(xué)生在研究中獲得知識(shí)和研究方法的教學(xué)模式。教學(xué)過(guò)程中滲入了科學(xué)研究的各個(gè)元素：科學(xué)精神、知識(shí)水平、科學(xué)素養(yǎng)、科學(xué)思維、洞察能力、科學(xué)道德、評(píng)價(jià)能力、批評(píng)精神、合作精神、敬業(yè)精神、嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)等[3]。

區(qū)別于講授式教學(xué)對(duì)知識(shí)本身的獲得，研究型教學(xué)更注重對(duì)知識(shí)發(fā)現(xiàn)或再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。教學(xué)目的不僅僅是使學(xué)生獲得知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的科研素養(yǎng)及學(xué)生對(duì)知識(shí)的渴求和興趣。

在經(jīng)典的基礎(chǔ)學(xué)科中，具體實(shí)踐研究型教學(xué)并不容易。數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課之一，其主體是講解經(jīng)典微積分理論。在這樣的課程中，實(shí)踐研究型教學(xué)需要教師更靈活地使用已有的教學(xué)資料，通過(guò)“提出問(wèn)題—特例實(shí)驗(yàn)—?dú)w納猜想—證明結(jié)論—建立定理—提出新問(wèn)題”的模式組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主實(shí)現(xiàn)“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—解決問(wèn)題”的研究過(guò)程。在此過(guò)程中，學(xué)生首先看到的不再是定理內(nèi)容，而是從實(shí)際問(wèn)題引申出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，知識(shí)獲得了它應(yīng)有的背景，很多神奇的證明也獲得了應(yīng)有的根基。學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)也收獲了研究的經(jīng)歷，更有可能從知識(shí)的被動(dòng)接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)者或再發(fā)現(xiàn)者。

本文以泰勒公式的教學(xué)為例，探討經(jīng)典知識(shí)的研究型教學(xué)的具體實(shí)踐。我們從幾個(gè)常見(jiàn)的極限和近似計(jì)算公式出發(fā)，追尋這些熟識(shí)的結(jié)果的意義和聯(lián)系，進(jìn)而提出和解決更一般的問(wèn)題，最終導(dǎo)致泰勒公式的建立。

1 源起

在數(shù)學(xué)分析及微積分教材中，幾乎都有如下近似計(jì)算公式[4]：

而且，是可以隨便指定的。

在教學(xué)中，許多耳熟能詳?shù)暮?jiǎn)單結(jié)論是可以再利用的。這里，利用極限可以把一個(gè)近似計(jì)算問(wèn)題的近似度不斷提高。

2 反思

得到（7）與（8）之后，反思一下是有益的。首先，（7）是一個(gè)極限式！也就是說(shuō)，這里的等號(hào)并非相等，而且由此派生出的（8）只能在的絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于的時(shí)候才成立。那我們能否在任何情況下都找到與多項(xiàng)式函數(shù)的真實(shí)差距呢？注意，這里代表一個(gè)極限過(guò)程，而我們需要的是一個(gè)確定的表達(dá)式或者什么別的東西?？傊?，我們需要找到差

的大小。一個(gè)大概可以與之相比的量是。引入函數(shù)

與

對(duì)函數(shù)與在區(qū)間（或者）上反復(fù)使用柯西中值定理得到：

這里（或者）。這樣我們實(shí)際上證明了一個(gè)重要的公式，

（9）

是任意自然數(shù)，而則介于與之間。這就是指數(shù)函數(shù)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式。

由于

因此，理論上我們得到一個(gè)可以計(jì)算的值的計(jì)算公式，并可以確定該計(jì)算的精確度。

在教學(xué)中，對(duì)問(wèn)題與結(jié)論的反思是有益的。深入分析可以看到問(wèn)題與定理的本質(zhì)，并進(jìn)一步提出新問(wèn)題。在研究型教學(xué)中，能夠提出新問(wèn)題是其取得成功的基礎(chǔ)。

3 推廣

推廣結(jié)論是數(shù)學(xué)中常做的研究工作。得到指數(shù)函數(shù)的麥克勞林公式后，思考其它函數(shù)，如三角函數(shù)、反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等是否也有各自的麥克勞林公式呢？

設(shè)是一個(gè)初等函數(shù)，我們可以先假定它具有一切我們所需要的良好性質(zhì)。先類比計(jì)算在時(shí)，的近似值。（2）式啟發(fā)我們?nèi)ビ?jì)算與的比值的極限，得到

于是，得到第一組公式

進(jìn)一步，（3）又引導(dǎo)我們?nèi)ビ?jì)算極限

因此，得到并證明（8）式的推廣

帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式 設(shè)是定義在的某鄰域內(nèi)的函數(shù)，且在點(diǎn)有階導(dǎo)數(shù)，那么一定有：

（10）

證明：對(duì)下面極限式使用次洛必塔法則及一次導(dǎo)數(shù)定義，得到：

…

現(xiàn)在我們可以急切地寫(xiě)出并證明（8）式的推廣

帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式 設(shè)是定義在的某鄰域內(nèi)的函數(shù)，且在該鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)該鄰域中的任意一定有：

其中介于0與之間。

證明：引入輔助函數(shù)

以及

在區(qū)間（或者）上，有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

.

對(duì)函數(shù)連續(xù)使用柯西中值定理得到：

至此，我們已經(jīng)得到了函數(shù)的麥克勞林公式，一個(gè)簡(jiǎn)單的變量代換替換為就可以使我們得到重要的泰勒定理。

（1）帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式。設(shè)是定義在的某鄰域內(nèi)的函數(shù)，且在點(diǎn)有階導(dǎo)數(shù)，那么在該鄰域內(nèi)有：

（2）帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式。設(shè)是定義在的某鄰域內(nèi)的函數(shù)，且在該鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)該鄰域中的任意一定有：

其中介于與之間。

在教學(xué)中，由于與處于完全相同的地位，因此把指數(shù)函數(shù)的麥克勞林公式的內(nèi)容及證明推廣到一般情況，進(jìn)一步得到泰勒公式是順理成章的事情了。學(xué)生幾乎可以自己建立定理，并完成整個(gè)證明，他們甚至可以發(fā)現(xiàn)只要把換成，并對(duì)加一些相應(yīng)的限制條件就可以了，而這是他們事先所不可想象的。endprint

4 歷史[5～6]

17世紀(jì)末，航海、天文學(xué)、地理學(xué)等學(xué)科的發(fā)展要求更精確地計(jì)算三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的數(shù)值。格雷高里、牛頓等利用差分法對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。泰勒公式正是在這樣的背景之下產(chǎn)生的。

泰勒公式是Brook Taylor（1685-1731） 于1712指出并在他1715年出版的《增量法及其逆》中給出的。泰勒最初給出的是函數(shù)展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式，即我們所知的泰勒級(jí)數(shù)。帶有余項(xiàng)形式的泰勒公式是拉格朗日在1797年出版的《解析函數(shù)論》中首次給出的，他還發(fā)現(xiàn)了泰勒公式對(duì)于微分學(xué)的重要意義。首個(gè)較嚴(yán)密地證明這個(gè)公式的人是另一位分析學(xué)大師——柯西。

歷史有時(shí)是令人費(fèi)解的。麥克勞林（Colin Maclaurin，1698-1746）利用待定系數(shù)法得到了麥克勞林公式，雖然他指出這只是泰勒公式的一個(gè)特例，也許是出于對(duì)這一公式記憶起來(lái)更為簡(jiǎn)便的褒獎(jiǎng)，后人把這一特例歸功于麥克勞林。

而泰勒公式并不完美。除了難以確定的余項(xiàng)，其它項(xiàng)簡(jiǎn)潔、優(yōu)美。設(shè)想一下，如果泰勒公式中那些優(yōu)美的項(xiàng)無(wú)限進(jìn)行下去，余項(xiàng)會(huì)因?yàn)檎也坏阶约旱奈恢枚黄认?，于?/p>

這正是泰勒當(dāng)年得到的結(jié)果的現(xiàn)代形式！

5 討論

在經(jīng)典理論課程中實(shí)現(xiàn)研究性教學(xué)并不容易。學(xué)生更多的是體驗(yàn)研究的經(jīng)歷而非解決問(wèn)題。事實(shí)上，解決每一個(gè)習(xí)題都是在做一個(gè)研究工作，但這不是研究型教學(xué)所要追求的。

本文討論的以研究型教學(xué)的思路引入泰勒公式的方式是自然的，這里教師只需要向?qū)W生展示兩個(gè)簡(jiǎn)單的公式（1）、（2），并提出兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題。

（1）如何計(jì)算指數(shù)函數(shù)的近似值？

（2）如何把指數(shù)函數(shù)算得更準(zhǔn)確？

剩下的事情就是讓學(xué)生去展開(kāi)想象，教師只需要參與學(xué)生的研究和討論。歸納和類比的方法在證明中得到充分的體現(xiàn)，提問(wèn)和證明可以很好的融為一體。

參考文獻(xiàn)

[1] 楊小遠(yuǎn)，李尚志，孫玉泉，等.《工科數(shù)學(xué)分析》開(kāi)放式教學(xué)探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（3）：1-6.

[2] 向昭銀，黃廷祝.研究型教學(xué)融入數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)原則[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28（4）：151-154.

[3] 盧德馨，研究型教學(xué).

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5] （美）M.Kline.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.

[6] 龔升，林立軍.簡(jiǎn)明微積分發(fā)展史[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2005.endprint

4 歷史[5～6]

17世紀(jì)末，航海、天文學(xué)、地理學(xué)等學(xué)科的發(fā)展要求更精確地計(jì)算三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的數(shù)值。格雷高里、牛頓等利用差分法對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。泰勒公式正是在這樣的背景之下產(chǎn)生的。

泰勒公式是Brook Taylor（1685-1731） 于1712指出并在他1715年出版的《增量法及其逆》中給出的。泰勒最初給出的是函數(shù)展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式，即我們所知的泰勒級(jí)數(shù)。帶有余項(xiàng)形式的泰勒公式是拉格朗日在1797年出版的《解析函數(shù)論》中首次給出的，他還發(fā)現(xiàn)了泰勒公式對(duì)于微分學(xué)的重要意義。首個(gè)較嚴(yán)密地證明這個(gè)公式的人是另一位分析學(xué)大師——柯西。

歷史有時(shí)是令人費(fèi)解的。麥克勞林（Colin Maclaurin，1698-1746）利用待定系數(shù)法得到了麥克勞林公式，雖然他指出這只是泰勒公式的一個(gè)特例，也許是出于對(duì)這一公式記憶起來(lái)更為簡(jiǎn)便的褒獎(jiǎng)，后人把這一特例歸功于麥克勞林。

而泰勒公式并不完美。除了難以確定的余項(xiàng)，其它項(xiàng)簡(jiǎn)潔、優(yōu)美。設(shè)想一下，如果泰勒公式中那些優(yōu)美的項(xiàng)無(wú)限進(jìn)行下去，余項(xiàng)會(huì)因?yàn)檎也坏阶约旱奈恢枚黄认?，于?/p>

這正是泰勒當(dāng)年得到的結(jié)果的現(xiàn)代形式！

5 討論

在經(jīng)典理論課程中實(shí)現(xiàn)研究性教學(xué)并不容易。學(xué)生更多的是體驗(yàn)研究的經(jīng)歷而非解決問(wèn)題。事實(shí)上，解決每一個(gè)習(xí)題都是在做一個(gè)研究工作，但這不是研究型教學(xué)所要追求的。

本文討論的以研究型教學(xué)的思路引入泰勒公式的方式是自然的，這里教師只需要向?qū)W生展示兩個(gè)簡(jiǎn)單的公式（1）、（2），并提出兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題。

（1）如何計(jì)算指數(shù)函數(shù)的近似值？

（2）如何把指數(shù)函數(shù)算得更準(zhǔn)確？

剩下的事情就是讓學(xué)生去展開(kāi)想象，教師只需要參與學(xué)生的研究和討論。歸納和類比的方法在證明中得到充分的體現(xiàn)，提問(wèn)和證明可以很好的融為一體。

參考文獻(xiàn)

[1] 楊小遠(yuǎn)，李尚志，孫玉泉，等.《工科數(shù)學(xué)分析》開(kāi)放式教學(xué)探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（3）：1-6.

[2] 向昭銀，黃廷祝.研究型教學(xué)融入數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)原則[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28（4）：151-154.

[3] 盧德馨，研究型教學(xué).

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5] （美）M.Kline.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.

[6] 龔升，林立軍.簡(jiǎn)明微積分發(fā)展史[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2005.endprint

4 歷史[5～6]

17世紀(jì)末，航海、天文學(xué)、地理學(xué)等學(xué)科的發(fā)展要求更精確地計(jì)算三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的數(shù)值。格雷高里、牛頓等利用差分法對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。泰勒公式正是在這樣的背景之下產(chǎn)生的。

泰勒公式是Brook Taylor（1685-1731） 于1712指出并在他1715年出版的《增量法及其逆》中給出的。泰勒最初給出的是函數(shù)展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式，即我們所知的泰勒級(jí)數(shù)。帶有余項(xiàng)形式的泰勒公式是拉格朗日在1797年出版的《解析函數(shù)論》中首次給出的，他還發(fā)現(xiàn)了泰勒公式對(duì)于微分學(xué)的重要意義。首個(gè)較嚴(yán)密地證明這個(gè)公式的人是另一位分析學(xué)大師——柯西。

歷史有時(shí)是令人費(fèi)解的。麥克勞林（Colin Maclaurin，1698-1746）利用待定系數(shù)法得到了麥克勞林公式，雖然他指出這只是泰勒公式的一個(gè)特例，也許是出于對(duì)這一公式記憶起來(lái)更為簡(jiǎn)便的褒獎(jiǎng)，后人把這一特例歸功于麥克勞林。

而泰勒公式并不完美。除了難以確定的余項(xiàng)，其它項(xiàng)簡(jiǎn)潔、優(yōu)美。設(shè)想一下，如果泰勒公式中那些優(yōu)美的項(xiàng)無(wú)限進(jìn)行下去，余項(xiàng)會(huì)因?yàn)檎也坏阶约旱奈恢枚黄认В谑?/p>

這正是泰勒當(dāng)年得到的結(jié)果的現(xiàn)代形式！

5 討論

在經(jīng)典理論課程中實(shí)現(xiàn)研究性教學(xué)并不容易。學(xué)生更多的是體驗(yàn)研究的經(jīng)歷而非解決問(wèn)題。事實(shí)上，解決每一個(gè)習(xí)題都是在做一個(gè)研究工作，但這不是研究型教學(xué)所要追求的。

本文討論的以研究型教學(xué)的思路引入泰勒公式的方式是自然的，這里教師只需要向?qū)W生展示兩個(gè)簡(jiǎn)單的公式（1）、（2），并提出兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題。

（1）如何計(jì)算指數(shù)函數(shù)的近似值？

（2）如何把指數(shù)函數(shù)算得更準(zhǔn)確？

剩下的事情就是讓學(xué)生去展開(kāi)想象，教師只需要參與學(xué)生的研究和討論。歸納和類比的方法在證明中得到充分的體現(xiàn)，提問(wèn)和證明可以很好的融為一體。

參考文獻(xiàn)

[1] 楊小遠(yuǎn)，李尚志，孫玉泉，等.《工科數(shù)學(xué)分析》開(kāi)放式教學(xué)探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（3）：1-6.

[2] 向昭銀，黃廷祝.研究型教學(xué)融入數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)原則[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28（4）：151-154.

[3] 盧德馨，研究型教學(xué).

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5] （美）M.Kline.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.

[6] 龔升，林立軍.簡(jiǎn)明微積分發(fā)展史[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2005.endprint