幾何直觀能力培養(yǎng)的三個(gè)“著眼點(diǎn)”

崔玉蘭

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）明確指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。”幾何直觀是2011版新課標(biāo)提出的十個(gè)核心概念之一，也是新增的一項(xiàng)核心內(nèi)容。新修訂的課標(biāo)要求從小學(xué)開始，教師應(yīng)該盡可能強(qiáng)化幾何直觀教學(xué)，能充分利用幾何直觀來揭示研究對象的本質(zhì)屬性，逐步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。對于一線的數(shù)學(xué)教師，則應(yīng)該重點(diǎn)思考如何在課堂教學(xué)中逐步滲透和培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。本人根據(jù)平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，就如何培養(yǎng)小學(xué)生幾何直觀能力提出了三個(gè)“著眼點(diǎn)”，不求齊全，管中窺豹，與各方專家、同行探討。

一、新知形成時(shí)——以圖“導(dǎo)思”

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。蘇明強(qiáng)教授在解讀核心概念時(shí)指出：“幾何直觀指的是通過‘幾何的手段，達(dá)到‘直觀的目的。即是一種‘用眼睛看的思考工具，通過插話、圖形、圖表、表格、關(guān)鍵詞等把信息傳達(dá)出來，幫助我們有效地分析和理解問題，尋求解決問題的方案?！睆倪@個(gè)意義上講，幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、想象、直觀感知，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種有效方法。教師應(yīng)當(dāng)鉆研教材，注重挖掘隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的能力培養(yǎng)，善于在學(xué)生新知形成過程中，借助幾何直觀，讓圖形說話，直觀地理解，建立多元表征，讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得通俗易懂。

如在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”一課時(shí)，學(xué)生根據(jù)信息提出問題：“我國人均耕地面積是多少平方米？”之后，在認(rèn)真讀題的基礎(chǔ)上，不急著讓學(xué)生列出算式，而是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用自己喜歡的方式（線段圖或其他方式的示意圖）表示出題目的意思。學(xué)生有不同的畫法，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀圖，把所要求的數(shù)學(xué)問題變得簡單明了，讓不同思維水平的學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，明白了求“我國人均耕地面積是多少平方米”。

二、知識重點(diǎn)處——以圖“促思”

幾何直觀不僅應(yīng)用于“圖形與幾何”的教學(xué)，在其他領(lǐng)域也發(fā)揮不可替代的作用，而且貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。它憑借圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)地結(jié)合起來，體現(xiàn)問題的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生打開思維的大門，理解數(shù)學(xué)知識的重點(diǎn)。所謂“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微”，教師在教學(xué)中只有重視直觀圖形與數(shù)學(xué)符號的合情轉(zhuǎn)換，重視數(shù)形結(jié)合等方法，才能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的能力。

如“求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)”是一節(jié)比較難上的數(shù)學(xué)概念課，用“四舍五入法”來求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)，屬于數(shù)學(xué)規(guī)定性知識，比較枯燥、抽象。中年級的學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)也有限，體會(huì)不深，既需要接受方法，更需要理解其合理性，學(xué)習(xí)起來相對困難。在教學(xué)中，探究用“四舍五入”求近似數(shù)的合理性是本課的重點(diǎn)，有位教師設(shè)計(jì)了兩次探究活動(dòng)。探究一：（1）看：動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，數(shù)軸的含義及作用。（2）貼：58萬到59萬間的數(shù)軸。（3）標(biāo)：在數(shù)軸上標(biāo)出男性、女性人數(shù)。（4）說：在數(shù)軸上標(biāo)出男性、女性人數(shù)各接近50幾萬？（5）達(dá)成共識：男性人數(shù)在585000的左邊，所以接近58萬。女性人數(shù)在585000的右邊，所以接近59萬。探究二：（1）標(biāo)數(shù)：寫出2-3個(gè)58萬到59萬間的數(shù)并在數(shù)軸上標(biāo)出來。（2）報(bào)數(shù)：把所寫的數(shù)報(bào)出來。（3）交流：數(shù)軸上哪些數(shù)的近似數(shù)是58萬，哪些的近似數(shù)是59萬？為什么？（4）分析：不看數(shù)軸，接近58萬的數(shù)有何特征？接近59萬的數(shù)呢？……教師巧妙利用幾何直觀，把數(shù)軸的整體感知與特寫放大，以數(shù)形結(jié)合的方式，給學(xué)生提供一個(gè)廣闊的思維空間，鼓勵(lì)他們自己去分析數(shù)學(xué)中的規(guī)律和方法，讓學(xué)生經(jīng)歷方法的產(chǎn)生過程，促進(jìn)學(xué)生由具體到抽象，由現(xiàn)象到本質(zhì)，感受到“四舍五入”法的合理性，理解了知識的重點(diǎn)。既符合數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯，也遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，還讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合、區(qū)間、集合思想。

三、知識關(guān)鍵點(diǎn)——以圖“創(chuàng)思”

著名數(shù)學(xué)家徐利治先生曾如是說：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知?！笔堑?，借助幾何直觀圖形，我們要引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷“提出問題——結(jié)構(gòu)圖示——模型建立”的過程，以“形”分析并解決數(shù)學(xué)問題，滲透函數(shù)思想、符號化思想、模型思想。

如，在教學(xué)北師大版“圖形的規(guī)律”一課時(shí)，教者的編排意圖就是讓學(xué)生以幾何直觀的手段體驗(yàn)數(shù)學(xué)的模型思想。在教學(xué)時(shí)，建議能在尊重教材編排意圖的基礎(chǔ)上教材進(jìn)行補(bǔ)白與活用。

（1）提出問題：“擺10個(gè)三角形，需要多少根小棒？”

（2）結(jié)構(gòu)圖示：引導(dǎo)學(xué)生用列表的策略來觀察分析，并得出“每多擺1個(gè)三角形就增加2根小棒”的關(guān)系。

（3）算法探究：讓學(xué)生根據(jù)直觀圖示發(fā)現(xiàn)：一是擺1個(gè)三角形需要3根小棒，擺2個(gè)三角形需要（3+2）根，擺3個(gè)三角形需要（3+2+2）根，擺4根三角形需要（3+2+2+2）……二是擺1個(gè)三角形需要3根小棒，擺2個(gè)三角形需要（2×2+1）根，擺3個(gè)三角形需要（3×2+1），擺4個(gè)三角形需要（4×2+1）……

（4）建立模型：教師提出“如果要擺100個(gè)三角形要需要多少根呢”，學(xué)生便能很快明白（100×2+1），因?yàn)橛辛饲懊娴闹庇^圖示的支撐下，學(xué)生對為什么要這么算的算理便很清晰了。

（5）總結(jié)提升：至此，我們要適時(shí)地引導(dǎo)提升“如果要擺N下三角形需要多少根呢”，于是學(xué)生對于“2N+1”模型的建立便水到渠成了。

幾何直觀“用圖形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題。直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。幾何直觀是利用圖形洞察問題本質(zhì)的一種方式，既有形象思維的特點(diǎn)，又有抽象思維的特點(diǎn)。因此，在我們的課堂教學(xué)中，我們應(yīng)該充分挖掘教材資源，直觀地反映和揭示思考、討論問題的思路，揭示豐富多彩的數(shù)學(xué)思想。

（責(zé)編 田彩霞）