淺談轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

杜素麗

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，更要重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，能夠遷移并廣泛應(yīng)用于相關(guān)學(xué)科和社會(huì)生活中。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，也是將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)踐技能的橋梁。在眾多的數(shù)學(xué)思想方法中，轉(zhuǎn)化思想是我們解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常采用的一種方法，它也是一種最基本、最重要的思想方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有很重要的地位。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的轉(zhuǎn)化思想，就是要把新的知識(shí)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，把較為復(fù)雜的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，從而解決問(wèn)題。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)涵著重要的數(shù)學(xué)思想方法，其中“轉(zhuǎn)化思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的重要思想之一。

轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)特征是知識(shí)和方法的遷移，轉(zhuǎn)化思想可以減化運(yùn)算、開(kāi)拓思路，它能給人帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的突破口。新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)銜接上呈現(xiàn)“起點(diǎn)高、難度大、容量多、課時(shí)緊”的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)不適應(yīng)現(xiàn)象突出，困難重重，師生更應(yīng)該強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，重視思想方法的教學(xué)與應(yīng)用，只有從思想方法入手，才能教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。下面就轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用淺談幾點(diǎn)做法。

一、圓錐曲線(xiàn)中的轉(zhuǎn)化思想

圓錐曲線(xiàn)是解析幾何的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，當(dāng)然也是高考命題的熱點(diǎn)——高考數(shù)學(xué)對(duì)圓錐曲線(xiàn)的考查比例通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了其他知識(shí)板塊。近年來(lái)圓錐曲線(xiàn)在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。圓錐曲線(xiàn)主要以下三類(lèi)題型。

1.求曲線(xiàn)（或軌跡）的方程，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，高考常常不給出圖形或不給出坐標(biāo)系，以考查學(xué)生理解解析幾何問(wèn)題的基本思想方法和能力。

2.與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問(wèn)題，靈活運(yùn)用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識(shí)，正確地構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。

3.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合例如，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的方程為■+y■=1，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為2ρcos（θ+■）=3■。求橢圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值和最小值。

解析：橢圓■+y■=1的參數(shù)方程為x=■cosθy=sinθ，（θ為參數(shù)），直線(xiàn)的普通方程為x-■y-3■=0，橢圓上點(diǎn)P（■cosθ，sinθ）到直線(xiàn)的距離d=■=■，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題，最大值為2■，最小值為■。

圓錐曲線(xiàn)的選擇、填空題思路大多數(shù)是應(yīng)用定義轉(zhuǎn)化。在拋物線(xiàn)中若條件是點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，就要轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離，而條件是點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離，就要轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到焦點(diǎn)距離；在橢圓或雙曲線(xiàn)中，點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離可以互化。當(dāng)遇到橢圓內(nèi)求最值問(wèn)題時(shí)，也可利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題。

二、導(dǎo)數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想

高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問(wèn)題內(nèi)容多而繁，性質(zhì)復(fù)雜且比較抽象，因而很多學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查極為畏懼，轉(zhuǎn)化是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的重要策略，特別是對(duì)于難度比較大的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，更加彰顯了轉(zhuǎn)化思想的強(qiáng)大功能。

例如，已知函數(shù)f（x）=x■■+alnx，（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：（2）導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減，若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則g'（x）=2x+■-■≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥■-2x■.通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)F（x）=■-2x■，求F（x）在x∈[1，+∞）上的最大值來(lái)確定實(shí)數(shù)a的取值范圍。

在導(dǎo)數(shù)習(xí)題中，“恒成立問(wèn)題”與“存在問(wèn)題”是兩類(lèi)常見(jiàn)題型。a≥f（x）在定義域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定義域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。若存在x0屬于定義域，a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值；若存在x0屬于定義域，a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。將導(dǎo)數(shù)中的“恒成立問(wèn)題”與“存在問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，避免對(duì)含參不等式的討論，簡(jiǎn)化運(yùn)算，是一種很實(shí)用的解題方法。

又如，已知f（x）是定義（-∞，+∞）在上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿(mǎn)足f'（x）

A.f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B.f（2）e2012f（0）

C.f（2）>e2f（0），f（2012）

D.f（2）

解析：因?yàn)椴坏仁絝'（x）-f（x）<0，構(gòu)造新函數(shù)F（x）=■。通過(guò)新函數(shù)在定義域上為減函數(shù)來(lái)比較大小。

當(dāng)題目中出現(xiàn)與有關(guān)的式子且又無(wú)法判斷的正負(fù)時(shí)，需要變換條件形式構(gòu)造新函數(shù)，讓新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符合題目中所給條件，通過(guò)新函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式或比較大小。

三、解三角形中的轉(zhuǎn)化思想

解三角形一直是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，對(duì)它的考查也是靈活多樣，但在近幾年的高考試題中，幾乎都可以運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換，這不僅是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，更是轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用。

例如，ΔABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a，則■=

解析：利用正弦定理■=■=■=2R進(jìn)行邊角互化，sinAsinAsinB+sinBcos■A=■sinA。

在解三角形的問(wèn)題中，若條件出現(xiàn)邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的關(guān)系時(shí)，只要等式兩邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的次數(shù)相同，就可以通過(guò)正弦定理直接把a(bǔ)、b、c（或sinA、sinB、sinC）替換成sinA、sinB、sinC（或a、b、c）。若條件出現(xiàn)sinA、sinB、sinC時(shí)，可以通過(guò)余弦定理替換成邊a、b、c的關(guān)系。

俗話(huà)說(shuō)：“授之以魚(yú)，不如授之以漁。”中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法就是釣魚(yú)的桿，捕魚(yú)的網(wǎng)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，將未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)，不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，提高學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的獨(dú)立思考能力、應(yīng)變能力、思維能力和解題的技能、技巧。

（責(zé)編 田彩霞）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，更要重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，能夠遷移并廣泛應(yīng)用于相關(guān)學(xué)科和社會(huì)生活中。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，也是將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)踐技能的橋梁。在眾多的數(shù)學(xué)思想方法中，轉(zhuǎn)化思想是我們解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常采用的一種方法，它也是一種最基本、最重要的思想方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有很重要的地位。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的轉(zhuǎn)化思想，就是要把新的知識(shí)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，把較為復(fù)雜的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，從而解決問(wèn)題。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)涵著重要的數(shù)學(xué)思想方法，其中“轉(zhuǎn)化思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的重要思想之一。

轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)特征是知識(shí)和方法的遷移，轉(zhuǎn)化思想可以減化運(yùn)算、開(kāi)拓思路，它能給人帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的突破口。新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)銜接上呈現(xiàn)“起點(diǎn)高、難度大、容量多、課時(shí)緊”的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)不適應(yīng)現(xiàn)象突出，困難重重，師生更應(yīng)該強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，重視思想方法的教學(xué)與應(yīng)用，只有從思想方法入手，才能教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。下面就轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用淺談幾點(diǎn)做法。

一、圓錐曲線(xiàn)中的轉(zhuǎn)化思想

圓錐曲線(xiàn)是解析幾何的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，當(dāng)然也是高考命題的熱點(diǎn)——高考數(shù)學(xué)對(duì)圓錐曲線(xiàn)的考查比例通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了其他知識(shí)板塊。近年來(lái)圓錐曲線(xiàn)在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。圓錐曲線(xiàn)主要以下三類(lèi)題型。

1.求曲線(xiàn)（或軌跡）的方程，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，高考常常不給出圖形或不給出坐標(biāo)系，以考查學(xué)生理解解析幾何問(wèn)題的基本思想方法和能力。

2.與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問(wèn)題，靈活運(yùn)用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識(shí)，正確地構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。

3.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合例如，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的方程為■+y■=1，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為2ρcos（θ+■）=3■。求橢圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值和最小值。

解析：橢圓■+y■=1的參數(shù)方程為x=■cosθy=sinθ，（θ為參數(shù)），直線(xiàn)的普通方程為x-■y-3■=0，橢圓上點(diǎn)P（■cosθ，sinθ）到直線(xiàn)的距離d=■=■，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題，最大值為2■，最小值為■。

圓錐曲線(xiàn)的選擇、填空題思路大多數(shù)是應(yīng)用定義轉(zhuǎn)化。在拋物線(xiàn)中若條件是點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，就要轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離，而條件是點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離，就要轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到焦點(diǎn)距離；在橢圓或雙曲線(xiàn)中，點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離可以互化。當(dāng)遇到橢圓內(nèi)求最值問(wèn)題時(shí)，也可利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題。

二、導(dǎo)數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想

高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問(wèn)題內(nèi)容多而繁，性質(zhì)復(fù)雜且比較抽象，因而很多學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查極為畏懼，轉(zhuǎn)化是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的重要策略，特別是對(duì)于難度比較大的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，更加彰顯了轉(zhuǎn)化思想的強(qiáng)大功能。

例如，已知函數(shù)f（x）=x■■+alnx，（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：（2）導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減，若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則g'（x）=2x+■-■≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥■-2x■.通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)F（x）=■-2x■，求F（x）在x∈[1，+∞）上的最大值來(lái)確定實(shí)數(shù)a的取值范圍。

在導(dǎo)數(shù)習(xí)題中，“恒成立問(wèn)題”與“存在問(wèn)題”是兩類(lèi)常見(jiàn)題型。a≥f（x）在定義域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定義域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。若存在x0屬于定義域，a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值；若存在x0屬于定義域，a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。將導(dǎo)數(shù)中的“恒成立問(wèn)題”與“存在問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，避免對(duì)含參不等式的討論，簡(jiǎn)化運(yùn)算，是一種很實(shí)用的解題方法。

又如，已知f（x）是定義（-∞，+∞）在上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿(mǎn)足f'（x）

A.f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B.f（2）e2012f（0）

C.f（2）>e2f（0），f（2012）

D.f（2）

解析：因?yàn)椴坏仁絝'（x）-f（x）<0，構(gòu)造新函數(shù)F（x）=■。通過(guò)新函數(shù)在定義域上為減函數(shù)來(lái)比較大小。

當(dāng)題目中出現(xiàn)與有關(guān)的式子且又無(wú)法判斷的正負(fù)時(shí)，需要變換條件形式構(gòu)造新函數(shù)，讓新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符合題目中所給條件，通過(guò)新函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式或比較大小。

三、解三角形中的轉(zhuǎn)化思想

解三角形一直是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，對(duì)它的考查也是靈活多樣，但在近幾年的高考試題中，幾乎都可以運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換，這不僅是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，更是轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用。

例如，ΔABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a，則■=

解析：利用正弦定理■=■=■=2R進(jìn)行邊角互化，sinAsinAsinB+sinBcos■A=■sinA。

在解三角形的問(wèn)題中，若條件出現(xiàn)邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的關(guān)系時(shí)，只要等式兩邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的次數(shù)相同，就可以通過(guò)正弦定理直接把a(bǔ)、b、c（或sinA、sinB、sinC）替換成sinA、sinB、sinC（或a、b、c）。若條件出現(xiàn)sinA、sinB、sinC時(shí)，可以通過(guò)余弦定理替換成邊a、b、c的關(guān)系。

俗話(huà)說(shuō)：“授之以魚(yú)，不如授之以漁。”中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法就是釣魚(yú)的桿，捕魚(yú)的網(wǎng)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，將未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)，不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，提高學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的獨(dú)立思考能力、應(yīng)變能力、思維能力和解題的技能、技巧。

（責(zé)編 田彩霞）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，更要重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，能夠遷移并廣泛應(yīng)用于相關(guān)學(xué)科和社會(huì)生活中。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，也是將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)踐技能的橋梁。在眾多的數(shù)學(xué)思想方法中，轉(zhuǎn)化思想是我們解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常采用的一種方法，它也是一種最基本、最重要的思想方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有很重要的地位。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的轉(zhuǎn)化思想，就是要把新的知識(shí)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，把較為復(fù)雜的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，從而解決問(wèn)題。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)涵著重要的數(shù)學(xué)思想方法，其中“轉(zhuǎn)化思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的重要思想之一。

轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)特征是知識(shí)和方法的遷移，轉(zhuǎn)化思想可以減化運(yùn)算、開(kāi)拓思路，它能給人帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的突破口。新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)銜接上呈現(xiàn)“起點(diǎn)高、難度大、容量多、課時(shí)緊”的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)不適應(yīng)現(xiàn)象突出，困難重重，師生更應(yīng)該強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，重視思想方法的教學(xué)與應(yīng)用，只有從思想方法入手，才能教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。下面就轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用淺談幾點(diǎn)做法。

一、圓錐曲線(xiàn)中的轉(zhuǎn)化思想

圓錐曲線(xiàn)是解析幾何的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，當(dāng)然也是高考命題的熱點(diǎn)——高考數(shù)學(xué)對(duì)圓錐曲線(xiàn)的考查比例通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了其他知識(shí)板塊。近年來(lái)圓錐曲線(xiàn)在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。圓錐曲線(xiàn)主要以下三類(lèi)題型。

1.求曲線(xiàn)（或軌跡）的方程，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，高考常常不給出圖形或不給出坐標(biāo)系，以考查學(xué)生理解解析幾何問(wèn)題的基本思想方法和能力。

2.與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問(wèn)題，靈活運(yùn)用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識(shí)，正確地構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。

3.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合例如，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的方程為■+y■=1，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為2ρcos（θ+■）=3■。求橢圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值和最小值。

解析：橢圓■+y■=1的參數(shù)方程為x=■cosθy=sinθ，（θ為參數(shù)），直線(xiàn)的普通方程為x-■y-3■=0，橢圓上點(diǎn)P（■cosθ，sinθ）到直線(xiàn)的距離d=■=■，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題，最大值為2■，最小值為■。

圓錐曲線(xiàn)的選擇、填空題思路大多數(shù)是應(yīng)用定義轉(zhuǎn)化。在拋物線(xiàn)中若條件是點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，就要轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離，而條件是點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離，就要轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到焦點(diǎn)距離；在橢圓或雙曲線(xiàn)中，點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離可以互化。當(dāng)遇到橢圓內(nèi)求最值問(wèn)題時(shí)，也可利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題。

二、導(dǎo)數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想

高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問(wèn)題內(nèi)容多而繁，性質(zhì)復(fù)雜且比較抽象，因而很多學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查極為畏懼，轉(zhuǎn)化是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的重要策略，特別是對(duì)于難度比較大的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，更加彰顯了轉(zhuǎn)化思想的強(qiáng)大功能。

例如，已知函數(shù)f（x）=x■■+alnx，（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：（2）導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減，若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則g'（x）=2x+■-■≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥■-2x■.通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)F（x）=■-2x■，求F（x）在x∈[1，+∞）上的最大值來(lái)確定實(shí)數(shù)a的取值范圍。

在導(dǎo)數(shù)習(xí)題中，“恒成立問(wèn)題”與“存在問(wèn)題”是兩類(lèi)常見(jiàn)題型。a≥f（x）在定義域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定義域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。若存在x0屬于定義域，a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值；若存在x0屬于定義域，a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。將導(dǎo)數(shù)中的“恒成立問(wèn)題”與“存在問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，避免對(duì)含參不等式的討論，簡(jiǎn)化運(yùn)算，是一種很實(shí)用的解題方法。

又如，已知f（x）是定義（-∞，+∞）在上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿(mǎn)足f'（x）

A.f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B.f（2）e2012f（0）

C.f（2）>e2f（0），f（2012）

D.f（2）

解析：因?yàn)椴坏仁絝'（x）-f（x）<0，構(gòu)造新函數(shù)F（x）=■。通過(guò)新函數(shù)在定義域上為減函數(shù)來(lái)比較大小。

當(dāng)題目中出現(xiàn)與有關(guān)的式子且又無(wú)法判斷的正負(fù)時(shí)，需要變換條件形式構(gòu)造新函數(shù)，讓新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符合題目中所給條件，通過(guò)新函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式或比較大小。

三、解三角形中的轉(zhuǎn)化思想

解三角形一直是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，對(duì)它的考查也是靈活多樣，但在近幾年的高考試題中，幾乎都可以運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換，這不僅是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，更是轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用。

例如，ΔABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a，則■=

解析：利用正弦定理■=■=■=2R進(jìn)行邊角互化，sinAsinAsinB+sinBcos■A=■sinA。

在解三角形的問(wèn)題中，若條件出現(xiàn)邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的關(guān)系時(shí)，只要等式兩邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的次數(shù)相同，就可以通過(guò)正弦定理直接把a(bǔ)、b、c（或sinA、sinB、sinC）替換成sinA、sinB、sinC（或a、b、c）。若條件出現(xiàn)sinA、sinB、sinC時(shí)，可以通過(guò)余弦定理替換成邊a、b、c的關(guān)系。

俗話(huà)說(shuō)：“授之以魚(yú)，不如授之以漁。”中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法就是釣魚(yú)的桿，捕魚(yú)的網(wǎng)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，將未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)，不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，提高學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的獨(dú)立思考能力、應(yīng)變能力、思維能力和解題的技能、技巧。

（責(zé)編 田彩霞）