多元表征 明晰算理 生長算法

陳婧亭

教學“小數(shù)除以整數(shù)”時，教師要為學生理解算理提供多元表征，巧用數(shù)形結(jié)合策略感知算法，讓學生在觀察思考、合作交流和對照辨析中明晰算理，生長算法，這樣才能從本質(zhì)上幫助學生掌握計算方法，避免出錯。

教學片段：

師：同學們，李強是五年級的學生，他是個愛動腦筋的好孩子，經(jīng)常運用數(shù)學知識幫助媽媽解決問題。周末媽媽需要買些水果，你們愿意和李強一起陪媽媽去水果超市購買嗎？

出示媽媽買兩種水果的價格信息表：

師：誰能幫助李強的媽媽求出櫻桃的單價呢？

生：224÷4=56（元）（學生板演算式和豎式，并說出算理）

師：你們知道他是根據(jù)我們以前學過的哪個數(shù)量關(guān)系嗎？

生：單價=總價÷數(shù)量

師：誰能說出蘋果的單價怎樣求？

生：22.4÷4

師：你是怎么想的？

生：和求櫻桃的單價一樣，也是根據(jù)數(shù)量關(guān)系式“單價=總價÷數(shù)量”來列式。

師：真聰明。請同學們再仔細觀察這個算式，與第一個算式相比有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

生：相同點都是除法，除數(shù)都是4。不同點被除數(shù)由整數(shù)224變成了小數(shù)22.4。

師：你們觀察得真仔細。這就是今天我們要學習的內(nèi)容——小數(shù)除以整數(shù)（板書）。

師：你能求出蘋果的單價嗎？

生：蘋果的單價是每千克5.6元。

師：你們是怎么想的？（學生獨立思考）

生1：我把22.4元人民幣看成224角進行計算，224角除以4得56角，也就是5.6元。

生2：我用乘法來推算除法。因為5.6乘4等于22.4，所以22.4除以4就等于5.6。

生3：我根據(jù)除法的性質(zhì)來推算，比較兩個算式224÷4和22.4÷4，除數(shù)不變，被除數(shù)縮小了10倍，商隨之縮小10倍，因此商是5.6。

生4：（神情猶豫，用試探性口氣）老師，我根據(jù)相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率是十來算的。因為22.4就是22.4個一，也可以看成224個十分之一，224個十分之一除以4，得到56個十分之一，也就是5.6。不知道這樣對不對？

……

師：大家真了不起，想出了這么多方法。那么，你們能把“22.4÷4=5.6”的計算過程用豎式表示嗎？商的小數(shù)點到底應(yīng)該寫在哪兒？現(xiàn)在，請同學們一起看大屏幕。

師：（課件演示）我們知道22.4表示22個1和4個0.1。如果用一個正方形表示1的話，那么0.1該怎么表示？22.4又應(yīng)該怎樣表示？（圖略）

生：就是22個正方形和4個小長方形。（學生一邊說教師一邊演示23個完全一樣的小正方形，并把其中最后一個正方形再平均分成10個小長方形）

師：“除以4”表示——（生：平均分成4份）想一想，如果把這些圖形平均分成4份，怎么分？

生1：先分整個的正方形。

生2：先分正方形，再分小份的長方形。

師：都是先分大正方形（課件演示）。如果我們用豎式來記錄，先分22個正方形就相當于先用整數(shù)部分的22除以4，每份分得5個，在豎式上怎么記錄？

生：在個位上寫5。（教師板書）

師：剩下的部分怎么分呢？

生3：把剩下2個正方形再分別平均分成10個小長方形，和原來的4個小長方形合起來一共有24個這樣的小長方形，把24個小長方形再平均分成4份，每份是6個小長方形。（課件演示）

師：這個“6”在豎式上應(yīng)該寫在哪里？小數(shù)點寫在什么位置？

生：在5的后面點上小數(shù)點，在小數(shù)點的后面再寫6。（課件與板書略）

……

評析：上述教學片段中，當學生調(diào)用已有經(jīng)驗儲備順利解決“櫻桃單價”問題后，教師巧用遷移規(guī)律提出“蘋果單價”問題，在追問中讓學生明白兩者雖然所求問題不同，但都是根據(jù)“單價=總價÷數(shù)量”這一數(shù)量關(guān)系進行解答的，從而有效溝通了新舊知識的聯(lián)系。面對學生依樣畫葫蘆說出“蘋果的單價是每千克5.6元”，但未必知曉算法背后的數(shù)學原理這一教學現(xiàn)狀，教師讓學生展開了多元表征，用自己的方式來詮釋“22.4÷4=5.6”，生成了豐富的教學資源：利用人民幣單位換算、做除法想乘法、根據(jù)商的變化規(guī)律以及運用計數(shù)單位換算等方式來理解。多元表征的方式不僅讓學生對算理融會貫通，更重要的是當一個問題用多種方法解決時，問題成了連接不同領(lǐng)域的數(shù)學知識的紐帶，展示了學生在不同數(shù)學領(lǐng)域的能力和偏好，讓學生在欣賞解決問題的不同路徑的同時，感受數(shù)學知識間的聯(lián)系，學生的數(shù)學思考力得以生長。最后，抓住焦點問題——商的小數(shù)點到底應(yīng)該點在哪兒，教師巧用“數(shù)形結(jié)合”策略先引導學生直觀形象地理解小數(shù)的意義，再依托“分圖形”的物化活動，讓學生不僅切身領(lǐng)悟到小數(shù)除法的本質(zhì)意義（即平均分），而且深刻理解了抽象的數(shù)學符號與感性的操作活動之間本質(zhì)意義上的內(nèi)在聯(lián)系，清晰建立了直觀操作與除法豎式之間一一對應(yīng)關(guān)系，從而有效突破了“商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊”這一教學難點。這樣讓學生充分經(jīng)歷由直觀算理到抽象算法的演變過程，既順利實現(xiàn)了對算理的清晰理解和對算法的自然生長，又扎實促進了學生數(shù)學思維的發(fā)展。

◇責任編輯：張 瑩◇