一類利用從屬關(guān)系定義的雙單葉函數(shù)類

李小飛, 秦 川

（長(zhǎng)江大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院,湖北 荊州434020）

本文用A表示單位圓盤U＝｛z∈C:｜z｜＜1｝內(nèi)解析且具有如下展開(kāi)式的函數(shù)族

記S表示A中滿足（1）式且單葉的子族.設(shè)f（z）和g（z）在 U 內(nèi)解析,稱 f（z）從屬于 g（z）,記作 f（z）?g（z）,若存在U內(nèi)的Schwarz函數(shù)ω滿足ω（0）＝0,｜ω（z）｜＜1,使得 f（z） ＝g（ω（z））.

對(duì)任意具有（1）形式的函數(shù)f（z）∈S均存在其逆函數(shù) f-1（z）定義為 f-1（f（z））＝z,f（f-1（w）） ＝w（｜w｜＜r0（f）,r0（f）≥1/4）,這里 f-1（w） ＝w-a2函數(shù)f（z）∈A稱為U內(nèi)的雙單葉函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f（z）和f-1（z）均為U的單葉函數(shù),現(xiàn)記Σ表示U具有（1）式的雙單葉函數(shù)族.D.A.Brannan等［1］（也可參見(jiàn)文獻(xiàn)［2-3］）引入了雙單葉函數(shù)族Σ中的α階強(qiáng)星形函數(shù)類（α）和α階凸函數(shù)類KΣ（α）如下:

這里0≤α＜1,g（w） ＝f-1（w）.由于雙單葉函數(shù)族具有良好的性質(zhì),所以在理論上有許多學(xué)者對(duì)其系數(shù)進(jìn)行過(guò)研究.對(duì)于 f（z）∈Σ,M.Lewin［4］證明了｜a2｜＜1.51,D.A.Brannan 等［5］證明了E.Netanyahu［6］證明了 max｜a2｜＝4/3,但都沒(méi)有給出精確的上限估計(jì),所以至今仍有許多學(xué)者［7-10］對(duì)雙單葉函數(shù)族及其子族的系數(shù)｜a2｜及｜a3｜的上界進(jìn)行研究.

用P表示通常意義下的正實(shí)部函數(shù)族,即若φ（z）∈P,則 Reφ（z） ＞0,φ（0）＝1,φ（z）∈A.為了后續(xù)討論的需要,現(xiàn)假設(shè) φ′（0）＞0,φ（U）關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,不失一般性,不妨設(shè)φ（z）具有如下展式

記滿足上述不等式的函數(shù)類為BΣ（α,λ）,由B.A.Frasin等在文獻(xiàn)［13］中引入,若再令λ＝1,則函數(shù)類即為S*Σ（α）,該函數(shù)類由 D.A.Brannan等在文獻(xiàn)［1］中引入,這2個(gè)文獻(xiàn)目前已成為眾多學(xué)者研究雙單葉函數(shù)必讀的經(jīng)典文獻(xiàn)之一.另外,對(duì)于其他更多更特殊類型的函數(shù)類,讀者可以查閱文獻(xiàn)［14-17］,限于篇幅這里省略.

1 主要結(jié)論

證明在推論4中令λ＝1即可.

致謝長(zhǎng)江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院科研發(fā)展基金（13J0802）對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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