MFG整環(huán)上的ε-算子和幾乎投射模

王芳貴

(四川師范大學數學與軟件科學學院,四川成都610066)

1 引言及預備知識

設R是交換環(huán).R的一個理想的集合S稱為R的理想的乘法系,是指S滿足:

1)R∈S；

2)若I,J∈S,則IJ∈S.對任何R-模M,定義torS(M)={x∈M|存在J∈S,使得Jx=0},則torS(M)是M的子模,稱為M的完全S-撓子模.若

則T總是S-撓模.此外,S-撓模的子模與商模還是S-撓模；S-無撓模的子模還是S-無撓模.容易看到,當J∈S,且存在J的有限生成子理想J0∈S時,M/T總是無撓模.若S是R的乘法封閉集,則S可以看作每個元素可以生成的主理想的乘法系來展開討論.當S是R的非零因子的全體時,習慣上稱這時的S-無撓模為無撓模,S-撓模為撓模.

1981年,O.Gabber[1]用很繁復的非Abel上同調的方法證明了三維的 Quillen猜測.1988年,R.G.Swan[2]通過引入一個幾乎投射模的概念給出了三維的Quillen猜測的一個簡單的證明方法.文獻[2]的幾乎投射模的概念是建立在三維正則(Noether)局部環(huán)上.2005年,M.Y.Wang等在文獻[3]中引入了極大性內射模的概念,在文獻[4]也對極大性內射模展開了系列討論.R-模M稱為極大性內射模,是指對R的任何極大理想m,

文獻[5]對交換環(huán)上的極大性內射模,特別是MFG整環(huán)上的極大性內射模展開討論.若整環(huán)R滿足:極大理想m都是有限生成的,且滿足m-1=R,則R稱為MFG整環(huán)。自然地,d＞1時,d-維正則局部環(huán)是MFG整環(huán).文獻[5]證明了,對于MFG整環(huán)R,R自身是極大性內射模,且任何非極大素理想都是極大性內射模.此外,平坦模和自反模都是極大性內射模.文獻[5]中指出,對于MFG整環(huán),可以通過極大性內射模來構造一個星型算子ε.本文通過這個星型算子,在MFG整環(huán)上定義幾乎投射模的概念,并展開系統(tǒng)的討論.

本文在不作聲明時,總設R是MFG整環(huán),S表示由R的極大理想生成的理想的乘法系,即

對任何S-無撓模M,定義Mε={x∈E(M)|存在J∈S,使得Jx?M},稱之為M的ε-包絡.這是包含M的極小的極大性內射模.文獻[5]中指出,對于MFG整環(huán),當A是R的分式理想時,映射A→Aε成為R上的星型算子.于是,S-無撓模M是極大性內射模當且僅當Mε=M.故以下稱S-無撓模的極大性內射模為ε-模.

2 ε-模

引理2.1設M是S-無撓模,則以下各條件等價:

1)M是ε-模；

2) 若Jx?M,其中J∈S,x∈E(M),有x∈M；

3)對任何J∈GV(R),及任何R/J-模B,

4)對任何正合列0→M→N→C→0,若N是ε-模,則C是S-無撓模；

5)存在一個正合列0→M→N→C→0,使得N是ε-模,C是S-無撓模；

6)對任何J∈S,自然同態(tài)φ:M→HomR(J,M)是同構；

7)對R的任何極大理想m,自然同態(tài)φ:M→HomR(m,M)是同構.

8)對任何S-無撓模A,同態(tài)f:A→M可以擴張到Aε；

9)對任何S-撓模C,

證明參見文獻[5]的定理2.7、定理2.11、定理2.13、定理5.9.

引理2.2設N是ε-模,M是N的子模,則M是ε-模當且僅當由Jx?M,其中J∈S,x∈N,能夠推出x∈M.

證明參見文獻[5]的定理2.8.

引理2.3設M是R-模,則以下各條等價:

1)M是S-撓模；

2)對R的任何非極大素理想P,MP=0；

3)對任何正合列0→A→B→M→0,只要B是ε-模,就有Aε=B；

4)存在一個正合列0→A→F→M→0,使得F是ε-模,且Aε=F.

證明參見文獻[5]的命題4.10.

關于整環(huán)上的GV-理想和w-算子與w-模的討論可以參見文獻[6-8].

命題2.4w-模是ε-模.

證明由于每個J∈S也是GV-理想,即得.

定義2.5設N是R-模,

是N的子模鏈,其指標集為連續(xù)的序數集,滿足:若α是極限序數有

則此鏈稱為N的子模的良序連續(xù)升鏈.

定理2.6模M是S-撓模當且僅當存在序數τ及N的子模的良序連續(xù)升鏈

使得對每一非極限序數α,因子模Nα/Nα-1是單模.特別地,若N是有限生成模,則N是S-撓模當且僅當N有合成列.

證明N=0的情形是顯然的,今設N≠0.

設M是S撓模.任取x∈N,x≠0,則存在

使得Jx=0.取s具有該性質的最小正整數,則m2…msx≠0.由m1(m2…msx)=0,故存在

于是N1=Ry是N的單子模.若N1=N,則斷語已然,否則,考慮模N/N1,重復上述過程,于是得到N的子模N2,使得N1?N2,N2/N1是單模.對任何α,若β＜α時Nβ已經這樣得到,則當α是極限序數時,令

當α不是極限序數時,即序數α-1存在.若Nα-1=N,斷語已真.若Nα-1≠N,由于S-撓模的商模N/Nα-1還是S-撓模,故存在N的子模Nα,使得

是單模.因此,存在序數τ.使得Nτ=N,且升鏈(1)存在.

反之,設升鏈(1)被給定.用超限歸納法證明對任何序數α,Nα是S-撓模.特別地,N是S-撓模.

若α是極限序數,則,于是對任何x∈Nα,存在β＜α,使得x∈Nβ.由于Nβ是S- 撓模,故存在J∈S,使得Jx=0.因此,Nα是S-撓模.若α不是極限序數,則由正合列

及Nα/Nα-1是單模知Nα是S-撓模.

定理2.7設A,B是S-無撓模,f:A→B是同態(tài),則f可以唯一擴張為Aε到Bε的同態(tài).

證明由引理2.1,f可以擴張為同態(tài)g:Aε→Aε.若還有同態(tài)h:Aε→Bε,使得h|A=f.對任何x∈Aε,存在J∈S,使得Jx?A.因此

由于B是S-無撓模,故g(x)=h(x),即h=g.

命題2.8設F是ε-模,M是F的ε-子模,則

是R的ε-理想.

證明設r∈R,J∈S,Jr?(M∶F),則

由于M是ε-模,故rF?M.即r∈(M∶F).因此(M∶F)是ε-理想.

3 關于ε-算子的局部化方法

文獻[5]證明了:若P是R的極大的ε-理想,則P是素理想.且若I是R的真ε-理想,則存在R的極大ε-理想m,使得I?m.從而R一定有極大的ε-理想.以下用Maxε(R)表示R的極大ε-理想的集合.注意到R的非極大素理想都是ε-理想,因此有m∈Maxε(R)其實是R的次極大理想.

4 ε-有限生成模和ε-有限表現模

定義4.1設M是R-模.如果存在有限生成自由模F及幾乎正合列F→M→0,則M稱為ε-有限生成模.如果存在有限生成自由模F0,F1及幾乎正合列F1→F0→M→0,則M稱為ε-有限表現模.

由定義即知,有限生成模是ε-有限生成模,有限表現模是ε-有限表現模.此外,若M是ε-有限生成的,則對任何非極大素理想P,MP是有限生成的.容易看到,ε-撓模是ε-有限表現模,故ε-有限生成(或表現)模未必是有限生成(或表現)模.

命題4.2設M是R-模.

1)M是ε-有限生成的當且僅當存在M的有限生成子模B,使得對任何

2)若M是S-無撓模,則M是ε-有限生成的當且僅當存在M的有限生成子模B,使得Mε=Bε.從而M是ε-有限生成的當且僅當Mε是ε-有限生成的.

證明1)若M是ε-有限生成的,則存在有限生成自由模F及幾乎滿同態(tài)g:F→M.令B=g(F),則對任何

反之,取自由模F及滿同態(tài)g:F→B,于是g:F→M是幾乎滿同態(tài),因此,M是ε-有限生成的.

2)由1)即知.

引理4.3(廣義五項引理) 設圖1是2行皆為幾乎正合列的交換圖.

圖1

則有:

1)若α,γ是幾乎單同態(tài),且δ是幾乎滿同態(tài),則β是幾乎單同態(tài)；

2)若α,γ是幾乎滿同態(tài),且μ是幾乎單同態(tài),則β是幾乎滿同態(tài)；

3)若δ是幾乎滿同態(tài),μ是幾乎單同態(tài),而α,γ都是幾乎同構,則β是幾乎同構.

證明對R的非極大素理想作局部化即知.

引理4.4(廣義蛇形引理) 設圖2是2行都是幾乎正合列的交換圖.

圖2

則有幾乎正合列

此外,若f是幾乎單同態(tài),α是幾乎滿同態(tài),則有幾乎短正合列

證明對R的非極大素理想作局部化即知.

引理 4.5設是幾乎正合列,則有交換圖如圖3所示.

圖3

其中,P、F、Q是自由模,行與列都是幾乎正合列,且當A、C是ε-有限生成模時,P、F、Q可以假設是有限生成自由模.

證明令C1=g(B),則對R的任何非極大素理想P,

故不失一般性假設g是滿同態(tài).取自由模P,Q及幾乎滿同態(tài)

有圖4.

圖4

由于Q是投射模,故有同態(tài)h:Q→B,使得gh=γ.令F=P⊕Q,及

由圖5所示的交換圖.

圖5

可得β:F→B是幾乎滿同態(tài).令

由引理4.4,0→A1→B1→C1→0是幾乎正合列.于是得到如圖5所示的交換圖.

命題 4.6設是幾乎正合列.

1)若A,C是ε-有限生成的,則B是ε-有限生成的.

2)若B是ε-有限生成的,則C是ε-有限生成的.

證明1)在引理4.5的證明過程中已經構造了幾乎滿同態(tài)β:F→B,故B是ε-有限生成的.

2)設F是有限生成自由模,h:F→B是幾乎滿同態(tài),則gh:F→C是幾乎滿同態(tài).

推論4.7設f:M→N是幾乎同構,則M是幾乎有限生成的當且僅當N是幾乎有限生成的.

證明由幾乎正合列0→0→M→N→0即知.

引理4.8(廣義Schanuel引理) 設圖6是2行都是幾乎正合列的交換圖.

圖6

其中F是投射模,則有幾乎正合列

定理4.9設M是ε-有限生成模,則以下各條等價:

1)M是ε-有限表現模；

2)存在一個幾乎正合列0→N→F→M→0,其中N是ε-有限生成模,F是有限生成投射模；

3)若0→C→P→M→0是幾乎正合列,其中P是有限生成投射模,則C是ε-有限生成模；

4)存在一個幾乎正合列0→A→B→M→0,其中B是ε-有限表現模,A是ε-有限生成模.

證明1)?2) 設F1→F→M→0是幾乎正合列,其中F與F1是有限生成自由模.設N是F1→F的像,則N是有限生成的,且0→N→F→M→0是幾乎正合列.

2)?3) 由引理4.5和引理4.8,可得幾乎正合列

由于P和N都是ε-有限生成的,由命題4.6有F⊕C是ε-有限生成的.再次引用命題4.6有C是ε-有限生成的.

3)?1) 設P是有限生成投射模,g:P→M是幾乎滿同態(tài).設A=ker(g),則0→A→P→M→0是幾乎正合列.由條件,A是ε-有限生成的.選擇有限生成自由模F和幾乎滿同態(tài)F→A,則F→P→M→0是幾乎正合列.因此M是ε-有限表現模.

2)?4) 顯然.

4)?2) 由引理4.5,有如圖7所示的3×3交換圖,其中行與列都是幾乎正合列.

圖7

其中,P、F、Q都是有限生成投射模.由于B是ε-有限表現模,故B1是ε-有限生成的,因此C1是ε-有限生成的.

命題4.10設0→A→B→M→0是幾乎正合列.若A與M是ε-有限表現模,則B也是ε-有限表現模.

證明從定理4.9證明過程的3×3交換圖7中看到,若A和M是ε-有限表現的,則A1和C1是ε-有限生成的,因此B1是ε-有限生成的.故B是ε-有限表現模.

推論4.11設f:M→N是幾乎同構,則M是ε-有限表現模當且僅當N是ε-有限表現模.

5 幾乎投射模

為了定義ε-投射模,先看投射模的一個刻劃.

引理5.1模M是投射模當且僅當對任何無撓模N,

證明若M是投射模,顯然有

反之,考慮正合列0→N→F→M→0,其中F是自由模.由條件

故由文獻[10]中的推論7.20,此正合列分裂.因此,M是投射模.

對任何模M,記

定義5.2設M是R-模.若對任何無撓的ε-模N,是S-撓模,則M稱為幾乎投射模.

由定義,投射模自然的幾乎投射模.顯然,S-撓模是幾乎投射模.故一般地,幾乎投射模未必是投射模.

命題5.31)設f:M→M′是幾乎同構,則M是幾乎投射模當且僅當M′是幾乎投射模.

2)設M是ε-模,則M是幾乎投射模當且僅當對任何無撓的ε-模N,有是S-撓模.

3)若對任何無撓的ε-模N,有是S-撓模,則M是幾乎投射模.

眾所周知,若M是有限生成模,則θ是單同態(tài)；且若M是有限表現模,則θ是同構.

引理5.4設R是任何交換環(huán),M,N是R-模,N是S-無撓模,例如,S中的元素都是R的非零因子,N是無撓模.

1)θ是單同態(tài)；

2)若M是有限生成的,則θ是同構；

3)若N是RS-模,則θ是同構.

由于S中的元素都不是N的零因子,故有f(x)=0.因此f=0,于是θ是單同態(tài).

2)設0→A→F→M→0是正合列,其中F是有限生成自由模,則有如圖8所示的2行是正合列的交換圖.

圖8

由1),右邊的垂直箭頭是單同態(tài).由5引理知θ是同構.

3)注意NS=N,及N肯定是S-無撓模.于是θ是單同態(tài).設

故θ還是滿同態(tài).

引理5.5設M是ε-有限生成模,P是R的任何非極大素理想.

證明1)設0→A→F→M→0是幾乎正合列,其中F是有限生成自由模,則0→AP→FP→MP→0是正合列.由定理3.10,有如圖9所示的2行都是正合列的交換圖.

圖9

由引理5.4之1),θA是單同態(tài).由5引理知θ是同構.

2)先設M是有限生成的.設0→A→F→M→0是正合列,考慮如圖10所示的交換圖.

圖10

由引理5.4之1)知θ是單同態(tài),故θ1是單同態(tài).

現在考慮一般情形.由于M是ε-有限生成的,故存在M的有限生成子模B,使得M/B是S-撓模.考慮如圖11所示的交換圖.

圖11

由于B是有限生成的,故右邊的垂直箭頭是單同態(tài),從而有θ1是單同態(tài).

定理5.6若M是幾乎投射模,則對任何P∈Maxε(R),MP是自由RP-模.

證明由命題5.3,不妨設M是ε-模.設0→是正合列,其中F是自由R-模.由引理2.1,A是ε-模.考察如圖12所示的2行是正合列的交換圖.

圖12

由引理5.4之3),左邊2個垂直箭頭是同構.于是θ1是同構.由定理3.9

故0→AP→FP→MP→0是分裂的正合列.因此MP是自由RP-模.

定理5.7設M是ε-有限生成模,則M是幾乎投射模當且僅當對任何P∈Maxε(R),MP是自由模RP-模.

證明設M是幾乎投射模,由定理5.6已知MP是自由模RP-模.反之,設對任何非 P∈Maxε(R),MP是自由RP-模.設N是無撓的ε-模,則由引理5.5

即是S-撓模.由命題5.3之3),M是幾乎投射模.

定理5.8若M是S-無撓的幾乎投射模,則M是無撓模.

證明設S=R-0,則0→R→RS是正合列.設P∈Maxε(R),有如圖13所示的交換圖.

圖13

眾所周知,2個垂直箭頭是同構.由于MP是自由RP-模,故底行水平箭頭是單同態(tài),從而頂行水平箭頭也是單同態(tài).于是自然同態(tài)M→MS是幾乎單同態(tài).由命題3.5,此同態(tài)是單同態(tài).因此有M是無撓模.

設M是任何R-模,有自然同態(tài)

注意,M是有限生成投射模當且僅當ψ是同構.

定理5.9設M是無撓的ε-模,則以下各條等價:

1)M是ε-有限生成的幾乎投射模；

2)自然同態(tài)ψ是幾乎同構；

3)存在J=(a1,a2,…,an)∈S,使得對任何i,1≤i≤n,存在有限子集xij∈M,fij∈M*,關系

對一切x∈M都成立.

證明1)?2) 由定理5.7與引理5.5即得.

2)?3) 用1M表示M上的恒等映射,A=Im(ψ).由于ψ是幾乎同構,故

3)?1) 令B是M的由所有{xij}生成的子模,則B是有限生成的.由于

因此Jx?B.故M=Bε,即M是ε-有限生成的.

對 P∈Maxε(R),由J?P,則存在ai?P.不妨設a1?P.由于

于是形成了MP的投射基,因此有MP是自由模.由定理5.7,M是幾乎投射模.

定理5.10設M是ε-有限生成的幾乎投射模.若M是S-無撓模,則存在M的有限生成子模B,及J∈S,使得JM?B.

證明由定理5.8,M是無撓模.

先設M是ε-模.設J和B為定理5.9的證明中所設,則已經看到JM?B.

現考慮一般情形.由命題5.3,Mε是幾乎投射模.于是存在J1∈S,及Mε的有限生成子模B1,使得J1Mε?B1.由于B1是有限生成的,故存在J2∈S,使得J2B1?M.于是J:=J2J1∈S,B:=J2B1是M的有限生成子模,且

JM=J2J1M?J2J1Mε?J2B1=B.

定理5.11設M是ε-有限生成模.若M是幾乎投射模,則M*與M**都是幾乎投射模.

是自由模,故M*是幾乎投射模.再取一次對偶得到M**是幾乎投射模.

定理5.12設M是ε-有限生成的S-無撓的幾乎投射模,則Mε?M**.

證明對任何P∈Maxε(R)有

于是自然同態(tài)M→M**是幾乎同構.由定理3.8,Mw?M**.

推論5.13設M是ε-有限生成的ε-模.若M是幾乎投射模,則M是自反模.

設M是任何R-模,f1,f2,…,fn∈M*.定義δ:M→Rn,使得

δ(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x)),x∈M.并記C=Rn/Im(δ).

引理5.14[9]設M是有限生成投射模,f1,f2,…,fn是M*的生成系.

1) 存在x1,x2,…,xn∈M,使得{x1,x2,…,xn；f1,f2,…,fn}構成M的投射基.

2)δ是單同態(tài).

3)0→M→Rn→C→0是分裂的正合列,從而C也是有限生成投射模.

命題5.15設M是ε-有限生成的S-無撓的幾乎投射模,M*=(f1,f2,…,fn)ε,則δ是單同態(tài),C是幾乎投射模.于是任何ε-有限生成的S-無撓的幾乎投射?？梢郧度胍粋€自由模.此外,若M還是ε-模,則C是無撓模.

證明對任何P∈Maxε(R),由引理5.14,δP是單同態(tài).由于M是S-無撓模,故δ是單同態(tài).由引理5.14與定理5.7,C是幾乎投射模.

若M還是ε-模,則由引理2.1,C是S-無撓模.由定理5.8,C是無撓模.

定理5.16設M是ε-有限生成的S-無撓的幾乎投射模.若M是ε-模,則有:

1)則存在有限生成自由模F,P,使得

是正合列；

2)設u是R的非零元素,則上面的誘導序列

是幾乎正合列.

證明1)由命題5.15,M可以嵌入一個有限生成自由模F=Rn,使得C=F/M是有限生成無撓模.于是C可以嵌入一個有限生成自由模P,從而0→M→F→P是正合列.

2)由于0→M→F→C→0示正合列,且C是無撓模,故0→M/uM→F/uF→C/uC→0是正合列.把C嵌入有限生成自由模P,使得B:=P/C是幾乎投射模.對任何P∈Maxε(R),則CP是有限生成自由RP-模,故由引理5.14,0→CP→PP→BP→0是正合列.由此有

是正合列,于是得到0→C/uC→P/uP是幾乎單同態(tài).從而有0→M/uM→F/uF→P/uP是幾乎正合列.

定理5.17設M是ε-有限生成幾乎投射模,則M是ε-有限表現模.更明確地,若0→A→F→M→0是幾乎正合列,其中F是有限生成自由模,M是幾乎投射模,則A是ε-有限生成的,且是幾乎投射的.

證明由命題5.3,不失一般性可設M是有限生成的S-無撓模.設0→A→F→M→0是正合列,其中F是有限生成自由模,則A是無撓的ε-模.設P∈Maxε(R),N是無撓的ε-模,則

由定理5.6

于是有如圖14所示的2行是正合列的交換圖.

圖14

由引理5.5,左邊2個垂直箭頭是同構.故自然同態(tài)

由定理5.6,MP是有限生成自由RP-模,故AP有限生成自由RP-模.因此ψ:A?RA*→EndRA是幾乎同構.由定理5.9,A是ε-有限生成模,且A是幾乎投射模.從而M是ε-有限表現模.

[1]Gabber O.Some theorems on Azumaya algebra[C]//LNM 844.Berlin:Springer-Verlag,1981:129-209.

[2]Swan R G.A simple proof of Gabber's theorem on projective modules over a localized local ring[J].Proc AMS,1988,103:1025-1030.

[3]Wang M Y,Zhao G.On maximal injectivity[J].Acta Math Sinica,2005,21(1):1451-1458.

[4]趙國,汪明義.關于極大內射性的注記[J].四川大學學報:自然科學版,2005,28(5):282-286.

[5]王芳貴,汪明義,楊立英.交換環(huán)上的極大性內射模[J].四川師范大學學報:自然科學版,2010,33(3):277-285.

[6]Wang F G.w-projective modules andw-flat modules[J].Algebra Colloquium,1997,4(1):111-120.

[7]Wang F G,McCasland R L.Onw-modules over strong Mori domains[J].Commum Algebra,1997,25:1285-1306.

[8]Wang F G,McCasland R L.On strong Mori domains[J].J Pure Appl Algebra,1999,135:155-165.

[9]王芳貴.一類弱整體維數為2的局部環(huán)上的Bass-Quillen問題[J].中國科學,2008,A38(5):567-580.

[10]Rotman J J.An Introduction to Homological Algebra[M].London:Academic Press,1979.

[11]Gilmer R.Multiplicative Ideal Theory[M].New York:Marcel Dekker INC,1972.

[12]Glaz S.Commutative Coherent Rings[M].LNM 1371.Berlin:Springer-Verlag,1989.