加權(quán)馬爾可夫鏈在保定地區(qū)降雨量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

顧志華，商秀印

（河北農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河北保定 071001）

“馬爾可夫模型”是俄國(guó)數(shù)學(xué)家Markov在1966年最早提出的，經(jīng)過幾十年不斷的發(fā)展，Markov過程已成為隨機(jī)過程的一個(gè)重要分支.馬爾可夫鏈可以描繪一個(gè)隨機(jī)變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它根據(jù)狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率來推測(cè)一個(gè)系統(tǒng)的未來的發(fā)展變化.

降雨過程受氣象等條件的影響，存在大量的隨機(jī)性.如果能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)降雨量，可以為農(nóng)業(yè)等行業(yè)的決策提供重要依據(jù).針對(duì)保定地區(qū)1960—2010年的年降雨量資料，采用均值－標(biāo)準(zhǔn)差分級(jí)法，建立了適用于保定地區(qū)的年降雨量分級(jí)標(biāo)準(zhǔn).并用加權(quán)馬爾可夫鏈對(duì)保定地區(qū)2011和2012年年降雨量狀態(tài)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，考慮到馬爾可夫鏈只能預(yù)測(cè)出降雨量的某一區(qū)間，故本文又結(jié)合模糊集理論對(duì)2011和2012年的降雨量進(jìn)行了預(yù)測(cè).

1 保定地區(qū)年降雨量狀態(tài)的確定

設(shè)降雨量序列為X1，X2，…，Xn，采用均值－標(biāo)準(zhǔn)差分級(jí)法，將各年降雨量進(jìn)行狀態(tài)分級(jí)，分為枯水年、偏枯年、平水年、偏豐年和豐水年5個(gè)狀態(tài).保定地區(qū)1960—2010年降雨量的均值＝522.65，標(biāo)準(zhǔn)差S＝148.46.年降雨量分級(jí)見表1，區(qū)內(nèi)1960—2010年降雨量序列及其狀態(tài)見表2.

表1 年降雨量分級(jí)表Tab.1 Annual rainfall classification

表2 年降雨量序列及其狀態(tài)Tab.2 Annual precincepition sequence and state

2 加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)過程

1）采用均值－標(biāo)準(zhǔn)差分級(jí)法，確定狀態(tài)空間，以此來確定序列中各指標(biāo)值的狀態(tài).

2）符號(hào)表示.

fij為研究序列X1，X2，…，Xn中從i狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)j的頻率.＝為轉(zhuǎn)移頻率矩陣為邊緣頻率（m為狀態(tài)值）.

3）對(duì)研究序列進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn).

4）計(jì)算序列各階自相關(guān)系數(shù)rk.

式中，Xi為第i時(shí)段的指標(biāo)值—指標(biāo)值平均值.

5）把各階自相關(guān)系數(shù)規(guī)范化，即

式中，m為預(yù)測(cè)時(shí)需要計(jì)算到的最大階數(shù).

6）分別以前面若干時(shí)段的指標(biāo)值為初始狀態(tài)，結(jié)合其相應(yīng)的各階轉(zhuǎn)移概率矩陣，即可預(yù)測(cè)出該時(shí)段指標(biāo)值的狀態(tài)，k為滯時(shí)（步長(zhǎng)）.

7）將同一狀態(tài)的各預(yù)測(cè)概率加權(quán)和作為指標(biāo)值處于該狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率，即所對(duì)應(yīng)的即為該時(shí)段指標(biāo)值的預(yù)測(cè)狀態(tài).

8）對(duì)各狀態(tài)分別賦予相應(yīng)的權(quán)重，即權(quán)重集ω＝｛ω1，ω2，ω3，ω4，ω5｝，其中為最大概率的作用系數(shù)，這里取2.級(jí)別特征值如果年降雨量預(yù)測(cè)狀態(tài)為i，且H≥i，則年降雨量的預(yù)測(cè)值為如果H＜i，則預(yù)測(cè)值為其中Ti，Bi分別為狀態(tài)區(qū)間值的上限和下限.

3 加權(quán)馬爾科夫鏈模型在保定地區(qū)降雨量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

1）進(jìn)行馬氏檢驗(yàn)

2）各階自相關(guān)系數(shù)及權(quán)重的計(jì)算（表3、表4）

表3 1～5階自相關(guān)系數(shù)及權(quán)重Tab.3 1～5the self correlation coefficients and the weights

表4 2～6階自相關(guān)系數(shù)及權(quán)重Tab.4 2～6the self correlation coefficients and the weights

3）根據(jù)2004—2008年的年降雨量數(shù)據(jù)，采用1～5階權(quán)重系數(shù)，對(duì)2009年的降雨量狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見表5.

表5 2009年的降雨量狀態(tài)預(yù)測(cè)（利用表3）Tab.5 Predication of annual rainfall states in 2009（with tab.3）

由上表知max（P）＝0.428，根據(jù)模糊集理論，由公式預(yù)測(cè)2009年降雨量340.68mm，實(shí)際降雨

i量為355.50mm，相對(duì)誤差為4%.

根據(jù)2003—2007年的年降雨量數(shù)據(jù)，采用2～6階權(quán)重系數(shù)，對(duì)2009年的降雨量狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見表6.

表6 2009年的降雨量狀態(tài)預(yù)測(cè)（利用表4）Tab.6 Predication of annual rainfall states in 2009（with tab.4）

由上表知max（Pi）＝0.353，此時(shí)i＝2，即2009年年降雨量預(yù)測(cè)狀態(tài)為2，而2009年年降雨量實(shí)際狀態(tài)也為2，和預(yù)測(cè)狀態(tài)相吻合.根據(jù)模糊集理論，由公式預(yù)測(cè)2009年降雨量為371.88mm，實(shí)際降雨量為355.50mm，相對(duì)誤差為4%.

根據(jù)2005—2009年的年降雨量數(shù)據(jù)，采用1～5階權(quán)重系數(shù)，對(duì)2010年的降雨量狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見表7.

表7 2010年的降雨量狀態(tài)預(yù)測(cè)（利用表3）Tab.7 Predication of annual rainfall states in 2010（with tab.3）

由上表知max（Pi）＝0.293，此時(shí)i＝2，即2010年年降雨量預(yù)測(cè)狀態(tài)為2，而2010年年降雨量實(shí)際狀態(tài)也為2，和預(yù)測(cè)狀態(tài)相吻合.根據(jù)模糊集理論，由公式預(yù)測(cè)2010年降雨量為437.78mm，實(shí)際降雨量為395.00mm，相對(duì)誤差為10%.

根據(jù)2004—2008年的年降雨量數(shù)據(jù)，采用2～6階權(quán)重系數(shù)，對(duì)2010年的降雨量狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見表8.

由上表知max（Pi）＝0.276，此時(shí)i＝2，即2010年年降雨量預(yù)測(cè)狀態(tài)為2，而2010年年降雨量實(shí)際狀態(tài)也為2，和預(yù)測(cè)狀態(tài)相吻合.根據(jù)模糊集理論，由公式預(yù)測(cè)2010年降雨量為424.85mm，實(shí)際降雨量為395.00mm，相對(duì)誤差為7%.

表9 實(shí)際與預(yù)測(cè)結(jié)果Tab.9 Actual and predictive results

4 結(jié)論

無論是1～5階權(quán)重還是2～6階權(quán)重來預(yù)測(cè)降雨量，誤差控制在10%以內(nèi)，因此更加說明了加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型的可靠度.重復(fù)以上方法，即根據(jù)1960—2010年年降雨量序列，以2006—2010年作為初始年，用1～5階權(quán)重系數(shù)預(yù)測(cè)出2011年年降雨量為468.77mm，用2～6階權(quán)重系數(shù)預(yù)測(cè)出2012年的降雨量為618.51mm.

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