淺談《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中的證偽

李寶德

摘 要： 在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)中應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生證實(shí)的思維訓(xùn)練為主，但培養(yǎng)學(xué)生證偽的思維訓(xùn)練也是有益的補(bǔ)充.通過反例證偽，可以使學(xué)生澄清對(duì)某些概念和性質(zhì)的模糊認(rèn)識(shí)，加深對(duì)命題成立條件的認(rèn)識(shí)，克服對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的偏差和負(fù)遷移.在引導(dǎo)學(xué)生證偽的過程中，在合理創(chuàng)設(shè)問題情境中自由發(fā)揮想象，構(gòu)造反例證偽，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、發(fā)散性、靈活性、深刻性和創(chuàng)新性，從而激發(fā)起他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦鉆研數(shù)學(xué)問題的熱情和毅力.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)分析教學(xué) 極限 證偽

引言

生活中的實(shí)際問題需要人們通過判斷真假然后做出選擇.同樣的，一個(gè)問題建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，也需要我們不斷地證實(shí)與證偽，去偽存真，然后得出正確的結(jié)論.《數(shù)學(xué)分析》作為教材，陳述概念的背景、內(nèi)容，并進(jìn)一步給出它的性質(zhì)、定理和例題，以論述正確結(jié)論為主，即以證實(shí)為主.從形式上看，學(xué)生會(huì)以為數(shù)學(xué)就是不斷地證實(shí)的過程.實(shí)則不然，一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決過程是被分解為許多真假未知的命題，即需要證實(shí)確認(rèn)真命題，也需要證偽否定假命題，最終才能得出正確的結(jié)論.在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，大膽假設(shè)，小心求證，或嚴(yán)格地證明一個(gè)真命題，或舉出一個(gè)反例推翻一個(gè)偽命題.

1.注重證偽，揭示概念的本質(zhì)

《數(shù)學(xué)分析》中的概念都是用抽象的語言給予形式化的描述，學(xué)生在初學(xué)這些概念時(shí)常常不能抓住它的本質(zhì)屬性，只是機(jī)械地記憶概念名稱及定義，容易造成理解上的混亂.所以在教學(xué)過程中，不僅要從正面引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握這些概念的外延和內(nèi)涵，概念與概念之間的聯(lián)系，以及概念的正確應(yīng)用，而且為了準(zhǔn)確地把握概念，彌補(bǔ)正面教學(xué)的不足，對(duì)概念中容易引出的錯(cuò)誤命題也可以通過證偽加以否定.

例如：在介紹無窮大量時(shí)，學(xué)生容易把它和無界量混淆在一起，盡管老師正面強(qiáng)調(diào)了兩者在定義上的不同，即對(duì)無窮大量■f（x）要求對(duì)任意的正數(shù)M，都存在領(lǐng)域U（a，δ），使得對(duì)任意的x∈U（a，δ），都有|f（x）|>M.而對(duì)U（a，δ）上的無界量f（x），是指對(duì)任意的正數(shù)M，都存在x■∈U（a，δ），使得|f（x■）|>M[1].但學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念的理解還是比較淺顯，直覺上認(rèn)為無界量就是無窮大量.那就不妨對(duì)命題“無界量是無窮大量”引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出一個(gè)反例來證偽.從簡單的無窮大量開始探索：如f（x）=1/x在x→0時(shí)是最典型的無窮大量，f（x）=1/x也是U（0，δ）內(nèi)的無界量，而根據(jù)無界量的定義，對(duì)任意M>0，在U（0，δ）中只需存在某個(gè)點(diǎn)，使得|f（x）|在此點(diǎn)處的值大于M即可，所以在f（x）=1/x的旁邊可以乘一個(gè)隨x→0時(shí)函數(shù)值在0與非0值之間不斷發(fā)生周期變化的函數(shù)，使得1/x乘以一個(gè)這樣的輔助函數(shù)后在U（0，δ）中仍為無界變量，但在0點(diǎn)任意鄰域中的函數(shù)值都有0點(diǎn)而成為非無窮大量.通過這樣的啟發(fā)，學(xué)生自然會(huì)想到有周期性及有界性的三角函數(shù)sin1/x是最符合要求的輔助函數(shù)，從而構(gòu)造出函數(shù)1/xsin1/x即是我們要找的U（0，δ）中的無界量，卻不是x→0時(shí)的無窮大量.在證偽的過程中，引導(dǎo)學(xué)生從簡化的問題入手，針對(duì)無界量與無窮大量中關(guān)于定義中自變量的存在性與任意性的差別及三角函數(shù)的周期性，分析構(gòu)造出所需的反例，不僅讓學(xué)生深刻地理解了概念“無窮大量”與“無界量”的區(qū)別，而且讓學(xué)生體會(huì)到了分析中邏輯的力量和創(chuàng)新的快樂.

2.注重證偽，防止知識(shí)負(fù)遷移

《數(shù)學(xué)分析》中的很多知識(shí)點(diǎn)的理念是相通的，通過知識(shí)的正遷移會(huì)讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程事半功倍，觸類旁通.但某些知識(shí)容易使學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)的負(fù)遷移，導(dǎo)出錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).我們可以通過證偽糾正一些感性認(rèn)識(shí)上容易產(chǎn)生知識(shí)負(fù)遷移的錯(cuò)誤理解.

例如：函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f在[a，b]上一定有界.對(duì)于這個(gè)定理，學(xué)生容易產(chǎn)生知識(shí)的負(fù)遷移：若函數(shù)f在（a，b）上連續(xù)，則f在（a，b）上也一定有界.即定理的條件中去掉了函數(shù)在點(diǎn)a的右連續(xù)條件和在點(diǎn)b的左連續(xù)性，結(jié)論似乎仍然成立.那么，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生舉出反例推翻這個(gè)偽命題.首先注意到函數(shù)失去了端點(diǎn)的連續(xù)性，那反例就應(yīng)該從尋找端點(diǎn)不連續(xù)且無界的函數(shù)中尋找突破口，從而啟發(fā)學(xué)生想到端點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn)的函數(shù)，即f（x）=1/x，x∈（0，1）或f（x）=lnx，x∈（0，1）等函數(shù)在（0，1）上連續(xù)卻是無界的.這樣在證偽的過程中，不僅幫助學(xué)生加深對(duì)閉區(qū)間上函數(shù)的有界性定理和函數(shù)間斷點(diǎn)概念的深入理解，而且啟發(fā)學(xué)生用科學(xué)的思維方式判斷命題的真?zhèn)?，防止感性認(rèn)識(shí)造成知識(shí)的負(fù)遷移.

3.注重證偽，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性

《數(shù)學(xué)分析》中要做好數(shù)學(xué)思維的邏輯演繹訓(xùn)練，大量的數(shù)學(xué)命題的證明是必不可少的.在講授習(xí)題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生大膽靈活假設(shè)各種求證方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.如著名的康托爾定理：若函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在[a，b]上一致連續(xù).為了強(qiáng)調(diào)定理中一些條件的重要性，也為了培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，可以讓學(xué)生通過舉反例證一下偽命題：若函數(shù)f在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，則它在（a，b）上一致連續(xù).通過提示此時(shí)f在開區(qū)間（a，b）的兩個(gè)端點(diǎn)處連續(xù)性遭到破壞.那么，為了構(gòu)造反例，學(xué)生就會(huì)想到尋找在（a，b）上連續(xù)，卻在一個(gè)端點(diǎn)處不連續(xù)的函數(shù)，或在端點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn)的函數(shù)，會(huì)進(jìn)一步想到函數(shù)f（x）=1/x，x∈（0，1）.再進(jìn)一步通過定義驗(yàn)證出此函數(shù)的確為此偽命題的反例.為了培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，那可以再追問學(xué)生一個(gè)問題：此偽命題再附加什么條件后就能成為真命題嗎？此時(shí)，學(xué)生受剛才老師的啟發(fā)，會(huì)發(fā)現(xiàn)能構(gòu)造出反例，主要是依賴于函數(shù)在開區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處的不連續(xù)性，那將此命題修正為真命題的方法自然是增加函數(shù)f在左端點(diǎn)的右連續(xù)性及在右端點(diǎn)的左連續(xù)性，從而進(jìn)一步得到函數(shù)f在（a，b）上的一致連續(xù)性.這樣的練習(xí)可以使學(xué)生加深對(duì)康托定理的理解，也培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.讓學(xué)生知道某些命題的證偽卻能為下一步改正此命題提供突破口和思路.

結(jié)語

在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)中通過反例證偽，可以使學(xué)生澄清對(duì)某些概念和性質(zhì)的模糊認(rèn)識(shí)，加深對(duì)命題成立條件的認(rèn)識(shí)，克服對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的偏差及負(fù)遷移.在引導(dǎo)學(xué)生證偽的過程中，通過合理創(chuàng)設(shè)問題情境，也可以很好地培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、發(fā)散性、靈活性和深刻性[2].另外，也應(yīng)注意到，《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)仍以證實(shí)為主，以基本概念、基本方法和基本定理為主線，嚴(yán)格地證實(shí)為主，證偽教學(xué)只是一種輔助手段.教師應(yīng)該精心挑選，掌握好偽命題的難度，切忌讓學(xué)生構(gòu)造技術(shù)難度較大的反例，以免浪費(fèi)不必要的教學(xué)時(shí)間和精力，讓學(xué)生產(chǎn)生挫敗感.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈春芳.淺談《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中的反例[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，28（3）：21-22.

[2]陳思.運(yùn)用反例教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維[J].青海師專學(xué)報(bào)（教育科學(xué)），2005（5-6）：136-137.

基金號(hào)：國家自然科學(xué)基金（No.11161044）。endprint