復數(shù)域中晶閘管-電動機系統(tǒng)復雜瞬態(tài)的數(shù)值計算

崔學深，張自力，李和明

（華北電力大學 電氣與電子工程學院，北京 102206）

0 引言

晶閘管作為開關器件的三相交流調壓電路，是一類僅改變電壓大小而不改變頻率的交流/交流電壓變換器[1]，其把晶閘管開關器件串接在交流電源和交流負載之間，通過改變晶閘管的通、斷狀態(tài)，控制負載上的電壓波形。該電路輸出的是三相恒頻變壓交流電，通常與三相異步電動機結合組成晶閘管-電動機系統(tǒng)，用于控制施加在電動機定子端的電壓，從而實現(xiàn)異步電動機的變壓調速[2]、軟起動[3-6]、重合閘[7-9]、軟投入[10]、電源切換[11-13]、抽油機斷續(xù)供電節(jié)能[14-16]、星角節(jié)能控制[17]等。 顯然，在這些應用中晶閘管-電動機系統(tǒng)結構相同，但其控制目的不同，有的是為了調節(jié)電動機的轉速，有的是為了抑制過渡過程中的沖擊電流，有的則是為了控制電動機的電功率以實現(xiàn)節(jié)能。然而，通過分析可以發(fā)現(xiàn)，它們的共同點是在控制策略實施中電動機均出現(xiàn)多種瞬態(tài)過程，包括3種兩相不對稱瞬態(tài)、1種三相對稱瞬態(tài)和1種定子端不接電源時的電機轉子自由運動過程。

有關晶閘管-電動機系統(tǒng)及電動機的復雜瞬態(tài)，已經(jīng)有很多文獻進行了研究。這些文獻大多是在時域中進行分析的[2，4-5，9]，僅部分文獻在復數(shù)域中使用空間矢量對其進行探討分析，但是使用的方法主要是解析計算法[3，7-8，11]和 MATLAB /Simulink 模塊仿真法[12-13，17]，還未有相關文獻在復數(shù)域中對電動機各種復雜瞬態(tài)的狀態(tài)方程和數(shù)值計算進行討論。

由文獻[18-22]可知，空間矢量能夠有效替代一組三相系統(tǒng)變量，且具有一定的物理意義，其軌跡能夠直觀、簡明地呈現(xiàn)瞬態(tài)中主要變量的變化規(guī)律，有利于電機復雜電磁瞬態(tài)的機理分析。其次，異步電動機對稱及不對稱空間矢量模型階數(shù)均較低[19]，使用該模型有助于降低電動機狀態(tài)方程的維數(shù)，從而可以簡化晶閘管-電動機系統(tǒng)各瞬態(tài)過程的計算分析?；谝陨?點，本文在復數(shù)域中使用空間矢量來研究晶閘管-電動機系統(tǒng)中的各種復雜瞬態(tài)問題，推導出不同瞬態(tài)下使用空間矢量描述的電動機狀態(tài)方程，給出一種數(shù)值計算方法，并結合一個晶閘管-電動機系統(tǒng)應用實例，使用所推導的狀態(tài)方程，在復數(shù)域中對其進行數(shù)值計算，并將計算結果與實測結果對比，來驗證文中所提出的復數(shù)域數(shù)值計算方法的正確性。

1 晶閘管-電動機系統(tǒng)的復雜瞬態(tài)過程

晶閘管-電動機系統(tǒng)中的三相交流調壓電路通常采用2個反并聯(lián)的晶閘管作為一相電流的通斷控制開關，其示意圖如圖1所示，圖中，KM1、KM2為接觸器。

圖1 晶閘管-電動機系統(tǒng)電路示意圖Fig.1 Schematic diagram of SCR-motor system

通過對上文所述晶閘管-電動機系統(tǒng)的常見應用方式進行分析，可以發(fā)現(xiàn)它們的共同點是，在這些控制策略實施下電動機均出現(xiàn)多種復雜瞬態(tài)過程，并按一定規(guī)律交替出現(xiàn)。對晶閘管-電動機系統(tǒng)的常見應用方式，可歸納出在瞬態(tài)過程中電動機可能的運行狀態(tài)，如表1所示。以一種簡單的電源快速切換[11-12]為例，當主電源出現(xiàn)故障并將其切除后，先將兩相定子繞組切換到備用電源對應相上，再切換剩余相的定子繞組，從而實現(xiàn)在一個工頻周期內完成電動機定子端供電電源的快速切換，在該過程中電動機運行狀態(tài)變化見圖2，顯然在此過程中電動機運行狀態(tài)包括三相對稱瞬態(tài)、兩相不對稱瞬態(tài)以及轉子自由運動過程，并按照圖2所示的順序依次出現(xiàn)。

表1 電動機可能的運行狀態(tài)Tab.1 Possible operating states of motor

圖2 電源快速切換中電動機運行狀態(tài)變化圖Fig.2 Variation of motor operating state during fast power supply changeover

2 復數(shù)域中不同瞬態(tài)下電動機的狀態(tài)方程及其數(shù)值計算方法

2.1 基于空間矢量的電動機不同瞬態(tài)下的狀態(tài)方程

由上文分析可知，晶閘管-電動機系統(tǒng)控制策略實施中，電動機交替出現(xiàn)多種瞬態(tài)運行。針對這些可能的運行狀態(tài)，本節(jié)在前期工作[19]的基礎上，繼續(xù)使用空間矢量，在復數(shù)域中進一步推導電動機不同瞬態(tài)下的狀態(tài)方程。

對于電動機三相對稱運行狀態(tài)，選擇定、轉子電流空間矢量為狀態(tài)變量。由文獻[18-19]可知，在定子復坐標系中，電動機對稱運行下的空間矢量電壓方程為：

其中，us為電源電壓空間矢量；is、ir分別為定、轉子電流空間矢量，并且轉子電流為折算到定子側的折合值；Rs、Ls分別為定子每相繞組電阻和總電感；Rr、Lr分別為折合到定子側的轉子每相繞組電阻和總電感；Mm為互感參數(shù)；ωr為轉子電角速度；p=d/dt為微分算子。

在式（1）的基礎上進行推導，可得基于空間矢量描述的電動機在對稱運行下的狀態(tài)方程為：

對于電動機3種兩相不對稱瞬態(tài)狀態(tài)，選擇定子電流空間矢量、轉子電流空間矢量及其共軛分量為狀態(tài)變量。由文獻[19]可知，在定子復坐標系中，表1所示的3種兩相不對稱瞬態(tài)對應的空間矢量數(shù)學模型依次如式（3）—（5）所示。

其中，uBC、uAB和uCA為電源線電壓；i*r為轉子電流空間矢量 ir的共軛分量；α=exp（j2π/3）。

對式（3）—（5）進行進一步推導，可得基于空間矢量描述的電動機3種兩相不對稱瞬態(tài)下的狀態(tài)方程分別為：

對于電機不接電源時的轉子自由運動過程，以轉子電流空間矢量為狀態(tài)變量。定子繞組與電源完全斷開后，定子電流全部為零，這時電機進入轉子自由運動過程，此時電機的電壓方程則為：

由此可得在復數(shù)域中該狀態(tài)對應的狀態(tài)方程為：

由式（2）、（6）—（8）可知，基于空間矢量表示的電動機三相對稱運行、兩相不對稱瞬態(tài)對應的狀態(tài)方程分別是二階、三階，與實數(shù)域中abc靜止坐標系和dq坐標系下的電機對應狀態(tài)方程相比，顯然復數(shù)域中的方程組階數(shù)較低，這一點有利于簡化電動機復雜瞬態(tài)的數(shù)值計算和分析。

在復數(shù)域中對晶閘管-電動機系統(tǒng)的控制過程進行數(shù)值計算時，不僅要考慮電機的電壓方程，還要考慮其轉子機械運動方程：

其中，TL為負載轉矩；Te為電磁轉矩；J為轉動慣量。Te的計算公式為：

這樣，聯(lián)立電壓狀態(tài)方程和運動方程，就能夠在對晶閘管-電動機系統(tǒng)控制過程進行數(shù)值計算時，充分考慮電機轉速變化，相比較基于空間矢量的解析法而言更加合理，因為解析法通常假設系統(tǒng)過渡過程中電機轉速不變[7-8，11]。

2.2 復數(shù)域數(shù)值計算方法

在復數(shù)域中，對晶閘管-電動機系統(tǒng)中的電機不同瞬態(tài)過程進行數(shù)值計算時，同樣可以采用四階龍格-庫塔法[23]。 以式（2）所示的異步電動機三相對稱運行下的狀態(tài)方程為例，設時間為t，求解仿真步長為Δt，并假設狀態(tài)變量列向量為x，其第m步（t=tm）時對應狀態(tài)變量的值為xm，則時間為t=tm+Δt時的狀態(tài)變量為：

k1、k2、k3和 k4為增量變化率，計算公式為：

3 電源快速切換過程的復數(shù)域數(shù)值計算及實驗驗證

本節(jié)以圖2所示電動機供電電源快速切換為例，基于第2節(jié)所推導的復數(shù)域中的電動機狀態(tài)電壓方程和運動方程，使用四階龍格-庫塔法，在復數(shù)域中對電源快速切換過程中的電動機各瞬態(tài)過程依次進行數(shù)值計算。本文所用實驗電動機為一臺2.2 kW的籠型感應電動機，定子繞組星形聯(lián)結、無中線，其主要參數(shù)為：額定電壓UN=380V，額定電流IN=4.8A，定子電阻Rs=6.928 Ω，折合到定子側的轉子電阻Rr′=7.369Ω，定子漏電抗xsl=14.13 Ω，激磁電阻Rm=36.25 Ω，激磁電抗 xm=486.7 Ω，極對數(shù) p0=2，轉動慣量J=0.009kg·m2。需要說明的是，將晶閘管-電動機系統(tǒng)的主電源切除后，定子三相電流并不是立刻變?yōu)榱?，因為晶閘管是過零關斷的，所以可以認為系統(tǒng)主電源切除后，某一相定子繞組先電流過零關斷，余下兩相定子繞組在其電流過零點時再同時關斷。結合圖2可知，將系統(tǒng)供電電源從主電源切換到備用電源這個過程中，電動機的運行狀態(tài)按如下順序依次變化：三相對稱穩(wěn)態(tài)運行-短暫的兩相不對稱瞬態(tài)-轉子自由運動-兩相不對稱瞬態(tài)-三相對稱運行。

假設晶閘管-電動機系統(tǒng)于主電源A相電壓過零點（由負到正）開始空載起動，運行1 s后，切除主電源，并在一個工頻周期（20 ms）后，將電動機按快速切換控制策略切換到電壓相位超前于主電源120°的備用電源上。使用第2節(jié)所推導的電機各種瞬態(tài)對應的狀態(tài)方程，采用四階龍格-庫塔法對它們依次計算，前一狀態(tài)的終值為下一狀態(tài)的初值，于是，在復數(shù)域中可求出定、轉子電流空間矢量，由此可進一步計算電磁轉矩、轉子角速度等其他電磁量，其中定子電流空間矢量軌跡如圖3所示，電磁轉矩和轉子轉速分別見圖4和圖5。再根據(jù)空間矢量和系統(tǒng)三相變量之間的變換關系[18-19]，可由復數(shù)域中計算的各空間矢量求出其對應的三相變量值，其中由此計算的定子三相電流波形如圖6所示。

圖3 極坐標下電源快速切換中定子電流空間矢量軌跡Fig.3 Trajectory of stator current space vector during fast power supply changeover in polar corrdinate

圖4 電源快速切換中電磁轉矩波形Fig.4 Waveform of electromagnetic torque during fast power supply changeover

圖5 電源快速切換中轉子轉速波形Fig.5 Waveform of rotor speed during fast power supply changeover

圖6 電源快速切換中定子三相電流計算值Fig.6 Calculated stator currents during fast power supply changeover

從圖3中可以看出定子電流空間矢量在電源快速切換前后的變化規(guī)律，電動機接上主電源并起動完畢進入空載穩(wěn)定運行時，定子電流矢量軌跡為一圓軌跡；當切除主電源后，定子電流矢量按脈振規(guī)律變化，至極坐標原點0；然后當電動機按快速切換控制策略切換到備用電源上時，先將定子B、C兩相繞組切換到備用電源上，這時電動機進入定子兩相不對稱瞬態(tài)，這一點可以從電源快速切換后定子電流時域波形（即圖6中放大部分）中看出，然后再將定子C相繞組切換到備用電源上，這樣，定子電流空間矢量就會呈現(xiàn)螺旋形變化，最后至穩(wěn)態(tài)對應的圓軌跡上。顯然，定子電流矢量軌跡既能反映電源切換過程中定子沖擊電流的大小及其變化規(guī)律，又能體現(xiàn)出電動機的對應運行狀態(tài)，這有利于對控制策略進行制定和改進。

此外，為了驗證電動機電源快速切換中復數(shù)域數(shù)值計算的正確性，對系統(tǒng)的這種電源快速切換過程進行現(xiàn)場實測，其中定子電流實測波形如圖7所示。通過圖6、7可以發(fā)現(xiàn)，晶閘管-電動機系統(tǒng)的電源快速切換能夠在一個工頻周期內完成，且能夠在一定程度上抑制定子電流沖擊，因為同樣情況下進行直接切換時沖擊電流能夠達到起動電流的1.5倍；基于電動機空間矢量狀態(tài)方程，在復數(shù)域中進行數(shù)值計算求得的定子電流波形與實測結果基本一致，說明本文所提出的針對電動機復雜瞬態(tài)的復數(shù)域數(shù)值計算方法是正確的，從而也驗證了文中所推導的電動機各種瞬態(tài)下的空間矢量狀態(tài)方程是正確的。

圖7 電源快速切換中定子三相電流實測波形Fig.7 Measured waveform of three-phases tator currents during fast power supply changeover

4 結論

本文首先對晶閘管-電動機系統(tǒng)的常見應用方式進行了分析，歸納出系統(tǒng)控制策略實施中出現(xiàn)的電動機各種復雜瞬態(tài)；然后基于定義在復數(shù)域中的空間矢量，推導了電動機各種瞬態(tài)下的狀態(tài)方程，并給出一種針對該系統(tǒng)復雜瞬態(tài)的復數(shù)域數(shù)值計算方法；最后以一種晶閘管-電動機系統(tǒng)的電源快速切換為例，使用所推導的狀態(tài)方程，在復數(shù)域中依次計算電源切換過程中出現(xiàn)的電動機各種瞬態(tài)，并給出定子電流空間矢量軌跡變化圖及其對應的三相電流波形，發(fā)現(xiàn)其與實測結果一致，從而驗證了文中所得到的狀態(tài)方程和復數(shù)域數(shù)值計算方法的正確性和可行性。