論高考中的三角函數(shù)

李敬紅

【摘 要】三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，是高考的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。因此學(xué)好三角函數(shù)很重要。通過對高考試題的研究，總結(jié)出高考中三角函數(shù)的命題特點(diǎn)及如何復(fù)習(xí)好高考中的三角函數(shù)。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)典型例題復(fù)習(xí)建議

三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域中具有非常廣泛的應(yīng)用，因此，它是高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識之一。高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中的三角函數(shù)主要內(nèi)容包括三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)、簡單的三角恒等變換以及解三角形。新課程高考重視對三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的考查，重視對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，重視對解三角形的考察。

一、高考中三角函數(shù)的考點(diǎn)分析

近幾年高考對三角函數(shù)部分的考察保持了三個穩(wěn)定（內(nèi)容、題量、分值），一般在選擇填空和解答題的17、18題出現(xiàn)，分值一般占10%左右。難度適中（中等難度或難度較小極個別的省份難度較大）。其考查方向主要涉及三個方面：一是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決實(shí)際生產(chǎn)問題的工具，是解答題的主要題型。常與向量的數(shù)量積，向量的平行、垂直、夾角及模長公式有不同程度的交匯。）；二是簡單的的恒等變換（三角恒等變換主要用于化簡，求值和求解三角函數(shù)性質(zhì)的問題，常出現(xiàn)在選擇填空中或是解答題的一部分）；三是解三角形問題（解三角形在高考中主要利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化解三角形中的邊和角及解決實(shí)際問題）。考查的知識點(diǎn)有三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的最小正周期、奇偶性、單調(diào)性、三角函數(shù)的值域（包括最值）、圖象對稱性、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，正弦定理、余弦定理。解題過程一般是先進(jìn)行恒等變換，再利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)解題。對能力的考查主要是演繹推理能力、計算能力、化簡能力、抽象概括能力、綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想有化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想、方程的思想換元的思想、整體代換的思想等。

二、高考中三角函數(shù)的典型例題

1.三角恒等變換

例：（2013年高考江西（理）第11題）

函數(shù)的最小正周期為T為_______

答案：π分析：試題難度較小 ；考點(diǎn)：二倍角公式的變形公式、輔助角公式和三角函數(shù)的周期公式

2.解三角形

例：（2013年高考陜西卷（理）第7題）

設(shè)△ABC的內(nèi)角A， B， C所對的邊分別為a， b， c，若，則△ABC的形狀為A. 銳角三角形B.直角三角形C. 鈍角三角形D. 不確定

【答案】B 分析：將邊化成角；試題難度中等，考察轉(zhuǎn)化意識和求解能力

同類型：2013年高考遼寧數(shù)學(xué)（理）第6題，2013年高考湖南理第3題

3.知識點(diǎn)交叉：可以讓三角函數(shù)與向量與數(shù)列等結(jié)合，考察知識的全面性和完整性。

例：（2013年高考陜西卷（理）第16題）

， 設(shè)函數(shù)。

（Ⅰ） 求的最小正周期.

（Ⅱ） 求在上的最大值和最小值.

分析：試題難度較小；知識點(diǎn)：向量數(shù)量積，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)；能力：化簡能力，計算能力；同類型題：2013年遼寧省理第17題

三、高考三角函數(shù)的復(fù)習(xí)建議：

1．重視公式的復(fù)習(xí)，特別是公式之間的內(nèi)在聯(lián)系

三角函數(shù)的公式是進(jìn)行三角計算和化簡的基礎(chǔ)，是三角變換的工具。三角函數(shù)公式雖多，但它們之間都有一定的內(nèi)在聯(lián)系。比如：誘導(dǎo)公式具有“奇變偶不變符號看象限”的共同特點(diǎn)；兩角和與差的余弦公式是兩角和與差的其他公式及倍角公式的母公式。因此在復(fù)習(xí)中教會學(xué)生理清公式間的關(guān)系，在理解的基礎(chǔ)上熟悉并記憶，還要注重公式的變形和逆用。

２．注重三角函數(shù)解題規(guī)律的總結(jié)

由于三角函數(shù)的公式多，所以問題變化多。這就要求我們在復(fù)習(xí)三角函數(shù)的過程中除重視公式的復(fù)習(xí)還要關(guān)注三角函數(shù)解題過程規(guī)律的總結(jié)。比如化簡求值常用到的方法：角的配湊，切割化弦，平方降冪，輔助角公式等。與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問題要先有意識地運(yùn)用公式轉(zhuǎn)化為一角的一種三角函數(shù)的形式再利用整體代換的思想求解等。至于解三角形的問題可借助正、余弦定理進(jìn)行邊角互化。

3．強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

在三角函數(shù)的復(fù)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)理解三角函數(shù)，強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)不同于其他函數(shù)的基本性質(zhì)（周期性），用數(shù)形結(jié)合的思想增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中我們會學(xué)到：轉(zhuǎn)化與化歸（角與角的轉(zhuǎn)化，角與邊的轉(zhuǎn)化，函數(shù)名的轉(zhuǎn)化），函數(shù)與方程，換元，整體代換等數(shù)學(xué)思想，通過強(qiáng)化這些數(shù)學(xué)思想使學(xué)生更好地理解掌握三角函數(shù)。