供應(yīng)鏈廣告與定價聯(lián)合決策模型研究

2014-09-25 06:42:46周名陽林杰袁玥赟

軟科學(xué) 2014年7期

周名陽+林杰+袁玥赟

摘要：應(yīng)用博弈論研究供應(yīng)鏈中廣告和定價的聯(lián)合決策。研究了三種博弈模型：制造商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈模型、零售商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈模型以及合作博弈模型，得出了各種博弈模型下的均衡決策，并對三種博弈模型下的定價、廣告和利潤做了對比分析，得出結(jié)論：合作博弈模型中零售價格最低，廣告投入最多，系統(tǒng)利潤最大。研究了合作博弈的可行性，并運用效用理論對系統(tǒng)利潤的增量進行了劃分。

關(guān)鍵詞：供應(yīng)鏈；定價；廣告；博弈論

中圖分類號：F274；F224文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1001-8409（2014）07-0029-05

Research on Advertising and Pricing

Models in Manufacturerretailer Supply Chains

ZHOU Mingyang，LIN Jie，YUAN Yueyun

(School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092)

Abstract： This paperuses a game theoretical model to study not only advertising but also pricing strategy. Three different models are discussed which are Stackelberg manufacturer，Stackelberg retailer and cooperative game. It identifies optimal advertising and pricing strategies for both firms analytically. Comparisons are then made about various outcomes. In the cooperative game case，both the manufacturer and the retailer reach the lowest retail price，the highest advertising expenditure and the highest profit level. Finally，the feasibility of bargaining game is discussed and the increment profit is divided between the retailer and the manufacturer with utility theory.

Key words： supply chain; pricing; advertising; game theory

1引言

廣告作為一種營銷手段，可以建立和維持品牌形象，提高品牌的知名度和美譽度，讓更多的消費者了解產(chǎn)品,從而促成消費者的品牌轉(zhuǎn)換。據(jù)估計,1987 年美國企業(yè)在廣告的投入為50億美元，1990年支出約100億美元，2000年的投資達到150億美元，最近的投資高達500億美元［1］?？v觀近年來國內(nèi)外在廣告與定價問題的研究，大多數(shù)文獻都建立了相關(guān)數(shù)學(xué)模型，運用博弈論方法分析問題。廣告與定價模型可以分為兩類:靜態(tài)模型和動態(tài)模型。

在靜態(tài)模型方面，張建強等研究了消費者反廣告行為下的供應(yīng)鏈合作廣告模型［2］。Szmerekovsky等研究了有兩個成員的供應(yīng)鏈中定價和廣告問題，需求函數(shù)取決于零售價格和廣告，并通過求解制造商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈模型，獲得制造商和零售商的最優(yōu)決策［3］。Xie等使用同樣的方法，比較了合作博弈與非合作博弈的最優(yōu)決策，其中Xie和Neyret研究了三種非合作博弈和一種合作博弈［4］，Xie等研究了制造商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈和合作博弈［5］。Mir在Xie的基礎(chǔ)上，研究了在更一般的需求函數(shù)形式下，三種非合作博弈和一種合作博弈情況下的供應(yīng)鏈定價和合作廣告協(xié)調(diào)問題［1］。Aust等擴展了已有的廣告與定價模型，用博弈理論研究了供應(yīng)鏈成員間四種不同的關(guān)系［6］。Wang等研究了兩個零售商競爭環(huán)境下供應(yīng)鏈的廣告與定價策略［7］。張廷龍等研究了一個供應(yīng)商和一個零售商構(gòu)成的供應(yīng)鏈，其需求同時受銷售商的銷售努力和零售定價影響［8］。

在動態(tài)模型方面，Jgensen等研究了動態(tài)條件下需求函數(shù)是產(chǎn)品價格和品牌信譽的乘積，并比較了供應(yīng)鏈在協(xié)調(diào)與非協(xié)調(diào)情況下的策略和利潤［9］。Karray等發(fā)現(xiàn)，當(dāng)零售商推出私有品牌并且會影響制造商的品牌聲譽時，合作廣告對制造商來說是一個有效的對抗策略，在他們的模型中沒有考慮制造商品牌廣告努力，并且只有雙方在廣告上合作時，制造商才會分擔(dān)零售商廣告費用［10］。Jgensen等研究了需求受品牌形象影響的動態(tài)博弈模型，這些模型假設(shè)短期的零售商廣告對品牌信譽沒有影響，這些動態(tài)模型忽視了制造商對零售商廣告費用的分擔(dān)，并且定價與廣告決策相互獨立［11，12］。Zaccour比較了需求受價格和廣告影響時的靜態(tài)和動態(tài)模型［13］。He等研究了單一制造商和單一零售商的隨機Stackelberg博弈，需求是零售價格和廣告的函數(shù)［14］。

上述文獻中無論是靜態(tài)模型還是動態(tài)模型，大多都只考慮制造商領(lǐng)導(dǎo)下的博弈模型，然而現(xiàn)實中由于零售商的崛起，很多情況下由零售商作為供應(yīng)鏈的領(lǐng)導(dǎo)者，如寶潔和沃爾瑪?shù)却笮土闶燮髽I(yè)。本文深入分析了三種博弈模型，并對三種博弈模型下的定價、廣告和利潤做了對比分析，最后對合作的可行性和增量利潤的劃分做了分析。

2假設(shè)與基本模型

考慮一個由單一制造商和單一零售商組成的供應(yīng)鏈。在供銷關(guān)系中，制造商的決策變量是品牌廣告努力水平A和產(chǎn)品批發(fā)價格w，零售商的決策變量是其廣告努力水平a和零售價格p。

本文目的是考察廣告對定價和利潤的影響以及不同模型間的對比分析，為分析簡便，假設(shè)制造商和零售商的成本為常數(shù)，進一步假設(shè)其成本為零，不會影響對問題實質(zhì)的分析。需求函數(shù)取決于零售價格p和廣告投入水平A和a，類似文獻［1］，假設(shè)需求函數(shù)形式為：

Q(p,a,A)=g(p)·h(a,A) （1）

其中g(shù)(p)表示零售價格p對需求的影響，即價格需求函數(shù)；h(a,A)表示廣告對需求的影響。類似文獻［5］，進一步假設(shè)g(p)關(guān)于零售價p線性遞減，其函數(shù)形式為：

g(p)=1－βp （2）

其中β為正的常數(shù)，為需求對價格的敏感參數(shù)。為了分析簡便，假設(shè)市場規(guī)模為1即g(p)最大值是1。零售價必須滿足約束0

h(a,A)=kra+kmA（3）

其中，kr>0表示零售商廣告努力有效性，km>0表示制造商廣告努力有效性。由式(1)至式(3)可得：

Q(p,a,A)=(1－βp)(kra+kmA)（4）

從而制造商的利潤函數(shù)為：

M=w(1－βp)(kra+kmA)－A（5）

零售商的利潤函數(shù)為：

R=(p－w)(1－βp)(kra+kmA)－a（6）

系統(tǒng)利潤函數(shù)為：

T=p(1－βp)(kra+kmA)－a－A （7）

其中0

3決策模式研究

3.1制造商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈模型

在制造商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中，制造商和零售商之間的關(guān)系是制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者而零售商作為追隨者的一個序貫非合作博弈模型。在Stackelberg主從博弈下，博弈順序如下：作為領(lǐng)導(dǎo)者的制造商首先獨立地確定批發(fā)價格w和品牌廣告努力水平A，然后零售商確定其零售價格p以及廣告努力水平a。

命題1：在制造商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中，制造商的最優(yōu)策略：

ASM=k2m［wSM(1-βwSM)］216 （8）

wSM=2/β4k2－4k+9－2k+5（9）

零售商的最優(yōu)策略：

pSM=(1+βwSM)2β （10）

aSM=k2r(1-βwSM)464β2（11）

制造商的最大利潤：

SMM=wSM(1-βwSM)216β［(k2m-k2r)βwSM+k2r］（12）

零售商的最大利潤：

SMR=(1-βwSM)364β2［(4k2m-k2r)βwSM+k2r］（13）

系統(tǒng)的最大利潤：

SMT=(1-βwSM)264β2［-3k2r(βwSM)2+k2r+(4k2m+2k2r)βwSM］（14）

其中k=k2m/k2r稱為廣告比率，表示制造商品牌廣告努力與零售商廣告努力對需求推動的相對有效性，上標(biāo)SM表示制造商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈下的均衡解。

證明：為了確定Stackelberg均衡解，根據(jù)逆向歸納法的思想，首先對于任意給定的制造商的決策w和A，確定零售商的最優(yōu)決策p和a。零售商利潤最大化問題表示為：

maxp,aR=(p－w)(1－βp)(kra+kmA)－a

s.t. 00 （15）

容易驗證R是關(guān)于p和a的嚴格凹函數(shù)。由一階最優(yōu)條件R/a=0以及R/p=0可得零售商的最優(yōu)決策：

pSM=(1+βw)2β （16）

aSM=k2r(1-βw)464β2 （17）

現(xiàn)在確定制造商的最優(yōu)決策問題，制造商根據(jù)零售商的最優(yōu)零售定價pSM和廣告努力水平aSM，確定批發(fā)價格wSM和品牌廣告努力水平ASM。制造商利潤最大化問題表示為：

maxw.AM=w(1－βp)(kra+kmA)－A

s.t. 00（18）

將式（16）和式（17）代入式（18）可得：

maxw,AM=w1-(1+βw)2k2r(1-βw)28β+kmA-A

s.t. 00 （19）

由一階最優(yōu)條件M/A(chǔ)=0以及M/w=0，可得制造商的最優(yōu)決策：

ASM=k2m［w(1-βw)］216（20）

wSM=2/β4k2－4k+9－2k+5（21）

將式（21）代入式（16）、式（17）和式（20），可得最優(yōu)決策如式（8）、式（9）、式（10）和式（11）。將式（16）、式（17）、式（20）和式（21）分別代入式（5）、式（6）和式（7），可得制造商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈下制造商、零售商和系統(tǒng)最優(yōu)利潤如式（12）、式（13）和式（14）。證畢。

結(jié)論1：

（1）1/4β0， wSMkm>0， wSMkr<0。

（2）5/8β0， pSMkm>0 ，pSMkr<0。

（3）A(chǔ)SMwSM>0， A(chǔ)SMkm>0 ，A(chǔ)SMkr<0。

（4）aSMwSM<0， aSMkm<0 ，aSMkr>0。

證明略。

結(jié)論1中，（1）說明制造商的批發(fā)價格在(1/4β,1/2β)之間（1/β是批發(fā)和零售的最高價格,即批發(fā)價格在最高價格的1/4到1/2之間），制造商的批發(fā)價格隨廣告比率的增加而增加，隨制造商廣告努力有效性的增加而增加，隨零售商廣告努力有效性的增加而減少。

結(jié)論1中，（2）說明零售商的零售價格在(5/8β,3/4β)之間，零售價格隨廣告比率的增加而增加，隨制造商廣告努力有效性的增加而增加，隨零售商廣告努力有效性的增加而減少。即品牌廣告更加有效推動產(chǎn)品需求時，制造商將會在品牌廣告上做更多投資，從而導(dǎo)致制造商成本增加，必然導(dǎo)致批發(fā)價格上升，最后零售價格也必然上升；另一方面，當(dāng)零售商的廣告更加有效地推動產(chǎn)品需求時，制造商將會減少在品牌廣告上的投資，從而制造商的成本減少，導(dǎo)致批發(fā)價格下降，最后導(dǎo)致零售價格下降。

結(jié)論1中，（3）說明制造商的品牌廣告努力水平隨制造商廣告努力有效性的增加而增加，隨零售商廣告努力有效性增加而減少。即當(dāng)品牌廣告努力更有效地推動產(chǎn)品的需求時，制造商將會在品牌廣告上做更多投資以推動產(chǎn)品銷售；當(dāng)零售商的廣告對推動產(chǎn)品需求更加有效時，制造商將會減少品牌廣告努力水平，因為零售商將會在廣告上做更多投資以推動產(chǎn)品需求。

結(jié)論1中，（4）說明零售商的廣告努力水平隨制造商廣告努力有效性的增加而減少，隨零售商廣告努力有效性增加而增加。即當(dāng)零售商廣告更有效地推動產(chǎn)品的需求時，零售商將會在廣告上做更多投資以推動產(chǎn)品銷售；當(dāng)制造商的品牌廣告對推動產(chǎn)品需求更加有效時，零售商將會減少廣告努力水平，因為制造商將會在品牌廣告上做更多投資以推動產(chǎn)品需求。

3.2零售商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈模型

在此種博弈模型下，作為領(lǐng)導(dǎo)者的零售商首先確定自己的零售價格p以及廣告努力水平a，然后制造商確定批發(fā)價格w和品牌廣告努力水平A，無論是制造商還是零售商都將最大化自身的利潤。

命題2：在零售商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中，制造商的最優(yōu)策略：

wSR=1/4β （22）

ASR=k2m/256β2 （23）

零售商的最優(yōu)策略：

pSR=1/2β （24）

aSR=k2r/256β2 （25）

制造商最大利潤：

SRM=(2k2r+k2m)/256β2（26）

零售商最大利潤：

SRR=(2k2m+k2r)/256β2（27）

系統(tǒng)最大利潤：

SRT=3(k2m+k2r)/256β2（28）

上標(biāo)SR表示零售商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈下的均衡解。

證明：為了確定Stackelberg均衡解，根據(jù)逆向歸納法的思想，首先對于任意給定的零售商的最優(yōu)決策p和a，確定制造商的最優(yōu)決策w和A。制造商利潤最大化問題表示為：

maxw.AM=w(1－βp)(kra+kmA)－A

s.t. 00（29）

制造商利潤M隨w遞增，當(dāng)w取最大值1/β時制造商利潤最大，然而此時由于w

wSR=p2（30）

ASR=k2m(p－βp2)216 （31）

現(xiàn)在確定零售商的最優(yōu)決策問題，零售商利潤最大化表示為：

maxp,aR=(p－w)(1－βp)(kra+kmA)－a

s.t. 00（32）

將式（30）和式（31）代入式（32）可得：

maxp,aR=12(p－βp2)(kra+k2m4(p－βp2))－a

s.t. 00

令y=12(p－βp2)，從而0≤y≤1/8β，當(dāng)p=1/2β時y=1/8β。

零售商的最優(yōu)決策重寫為：

maxp,aR=ykra+k2m2y－a

s.t. 0≤y≤1/8β，a>0

顯然R是y的增函數(shù)，當(dāng)y=1/8β時，即p=1/2β，R取得最大值，所以pSR=1/2β。再由一階最優(yōu)條件R/a=0，可得零售商的最優(yōu)決策：pSR=1/2β、aSR=k2r/256β2。將pSR和aSR代入式（30）和式（31），可得wSR=1/4β、ASR=k2m/256β2。將pSR、aSR、wSR和ASR分別代入式（5）、式（6）和式（7），可得零售商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈下制造商、零售商和系統(tǒng)最優(yōu)利潤如式（26）、式（27）和式（28）。

證畢。

3.3合作博弈模型

在合作博弈模型中，制造商和零售商之間是完全合作的，聯(lián)合決策以使系統(tǒng)利潤T最優(yōu)。

命題3：在合作博弈模型中，制造商的最優(yōu)策略：

ACo=k2m/64β2（33）

零售商的最優(yōu)策略：

pCo=1/2β（34）

aCo=k2r/64β2（35）

系統(tǒng)最大利潤：

CoT=(k2r+k2m)/64β2 （36）

上標(biāo)Co表示在合作博弈模型下的均衡解。

證明略。

4比較分析

本部分對三種博弈模型下的制造商和零售商最優(yōu)廣告策略、最優(yōu)定價策略和最優(yōu)利潤進行比較，所得結(jié)果在結(jié)論2中給出。

結(jié)論2：

（1）pSM>pSR=pCo，wSM>wSR。

（2）ACo>ASR>ASM，aCo>aSR>aSM（當(dāng)k>12），aCo>aSM>aSR（當(dāng)0

（3）SRM>SMM，SRR>SMR（當(dāng)k>03），SRR<SMR（當(dāng)0SRT>SMT。

證明：

（1）由pSM、pSR和pCo的表達式顯然可得pSM>pSR=pCo。另外由結(jié)論1可知wSM>1/4β，從而可得wSM>wSR。

（2）由ACo和ASR的表達式顯然可得ACo>ASR，又ASRASM=116［βwSM(1－βwSM)］2，由結(jié)論1知1/4<βwSM<1/2，從而可得ASRASM>1，所以ACo>ASR>ASM。

由式（11）和式（25）可得：

aSRaSM=141－βwSM4

當(dāng)1－1/2<βwSM<1/2時，即k>1/2時，aSRaSM>1；當(dāng)1/4<βwSM<1－1/2時，即0aSM且aCo>aSR。從而可得（2）。

（3）由結(jié)論1可知1/4<βwSM<1/2，從而SRM－SMM=［(2k2r+k2m)－(16βwSM(1－βwSM)3k2r+16(βwSM)2(1－βwSM)2k2m)］/256β2 =［((2－16βwSM(1－βwSM)3)k2r+(1－16(βwSM)2(1－βwSM)2)k2m)］/256β2>0，所以SRM>SMM。

SRR/SMR=(2k2m+k2r)/(16βwSM(1－βwSM)3k2m+4(1－βwSM)4k2r)

=(2k+1）/(16βwSM(1－βwSM)3k+4(1－βwSM)4)（37）

令SRR/SMR=1，可得：

k=4(1－βwSM)4－12－16βwSM(1－βwSM)3 （38）

結(jié)合式（9），可得k=03。

當(dāng)k>03時，式（38）右邊隨k的增加而遞減，從而k>4(1－βwSM)4－12－16βwSM(1－βwSM)3 ，即SRR>SMR。

當(dāng)0

由SRT和CoT的表達式可知CoT>SRT。

SRT－SMT=［(3－16βwSM(1－βwSM)2)k2m+(3－4(1－βwSM)2(－3(βwSM)2+2βwSM+1))k2r］/256β2。

由結(jié)論1中1/4βSMT。

證畢。

結(jié)論2中（1）說明，在制造商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中批發(fā)價格和零售價格大于零售商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中的批發(fā)價格和零售價格。合作博弈模型中的零售價格等于零售商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中的零售價格。

結(jié)論2中（2）說明，制造商在合作博弈模型中投入的廣告最多，在制造商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中投入的廣告最少。零售商在合作博弈模型中投入的廣告最多；當(dāng)k>05時，零售商在零售商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中的廣告投入大于制造商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中的廣告投入，當(dāng)0

結(jié)論2中（3）說明，制造商在零售商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中的利潤大于制造商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中的利潤；當(dāng)k>03時，零售商在零售商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中的利潤大于制造商領(lǐng)導(dǎo)的博弈模型中的利潤；當(dāng)0

5利潤分配

根據(jù)前面的分析，在三種博弈模型中，合作博弈具有最低的零售價格，最大的廣告努力以及最大的系統(tǒng)利潤。零售商和制造商在合作博弈模型中的利潤要分別大于非合作博弈中的利潤時，零售商和制造商才愿意合作，合作條件如式（39）和式（40）所示：

CoM≥maxSMM,SRM=MAXM=SRM（39）

CoR≥maxSMR,SRR=MAXR （40）

CoM和CoR分別表示合作博弈模型中制造商和零售商的利潤。

式（39）和式（40）相加可得：

CoT=CoM+CoR≥MAXM+MAXR （41）

在合作博弈模型中系統(tǒng)利潤的增量Δ=CoT－(MAXM+MAXR)，設(shè)制造商和零售商的增量分別為ΔM和ΔR,制造商和零售商采用指數(shù)函數(shù)為效用函數(shù)：uM(ΔM)=1－exp(－φMΔM)和uR(ΔR)=1－exp(－φRΔR)。其中uM(ΔM)和uR(ΔR)分別為制造商和零售商分得ΔM和ΔR增量利潤的效用，φM和φR分別為制造商和零售商的風(fēng)險規(guī)避度。渠道成員的目標(biāo)是效用最大化，即制造商和零售商效用的加權(quán)平均，則渠道雙方利潤分配模型如式（42）所示：

maxΔM,ΔRu(ΔM,ΔR)=λMuM(ΔM)+λRuR(ΔR)=1－λMexp(－φMΔM)－λRexp(－φRΔR)（42）

s.t.λM+λR=1,ΔM+ΔR=Δ，權(quán)重λM和λR分別表示制造商和零售商的談判能力。由式（42）可得最優(yōu)利潤分配為：

Δ*M=φRφM+φRΔ－1φM+φRlnφRλRφMλM=ηΔ－σ （43）

Δ*R=φMφM+φRΔ+1φM+φRlnφRλRφMλM=(1－η)Δ+σ （44）

其中η=φR(φM+φR)表示制造商分得增量利潤比例，σ=［ln(φRλR/φMλM)］/(φM+φR)表示雙方的利潤補貼，σ>0表示制造商給零售商補貼，σ<0則反之。由式（43）和式（44）可得如下結(jié)論：①制造商和零售商分得的增量利潤比例與雙方的風(fēng)險規(guī)避度相關(guān)，而與雙方的談判能力無關(guān)，風(fēng)險規(guī)避度小的一方獲得的利潤比例大；②如果雙方的風(fēng)險規(guī)避度相等，雙方的利潤分配比例相等，利潤增量取決于雙方的談判能力以獲取對方補貼，談判能力越強獲取對方補貼越多。

6結(jié)束語

本文研究了需求受到定價與廣告雙重因素影響條件下最優(yōu)定價與廣告決策問題，分析了制造商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈模型、零售商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈模型以及合作博弈模型中的最優(yōu)定價與廣告策略，然后對三種博弈模型中的均衡策略和利潤進行了對比說明。最后研究了合作博弈的可行性，并運用效用理論對系統(tǒng)利潤的增量進行了劃分。研究說明了批發(fā)價格、零售價格、制造商廣告和零售商廣告隨各自廣告努力有效性的變化情況。研究進一步說明合作博弈模型具有最低的零售價格，最大的廣告努力以及最大的系統(tǒng)利潤，而制造商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈模型和零售商領(lǐng)導(dǎo)的Stackelberg博弈模型中價格、廣告和利潤的比較要視不同的廣告比率而定。需要指出的是，上述結(jié)論都是在靜態(tài)博弈模型中得到的，動態(tài)博弈模型下均衡策略和利潤又會怎樣變化，考慮需求函數(shù)的改變對均衡策略的影響，以及將多個零售商或多個制造商之間的競爭引入廣告定價模型中，將是下一步研究的主要內(nèi)容。

參考文獻：

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(責(zé)任編輯：張勇)