勾股數公式的推導及其應用

張愛獻 張?zhí)煲?/p>

摘要: 針對如何求解勾股數，本文進行了系統(tǒng)的分析和研究，給出了幾種奇妙的勾股數公式的一般性推導過程，解決了給定任意大于等于3的正整數為1個直角邊，求解勾股數的方法，為勾股數的求解提供了理論依據。

關鍵詞: 勾股數公式推導 應用

中圖分類號：O434文獻標識碼： A

內容：

我們知道凡是能滿足a2+ b2= c2成立的a、b、c的正整數解，都是一組勾股數。當給出任意一個大于等于3的正整數為直角邊時,如何求解一組勾股數中另外的兩個勾股數的值，下面就這一問題探討如下：

一、給定任意大于等于3的正整數為1個直角邊，求解勾股數

我們知道任意大于等于3的正整數都可表示成2mn（偶數）或mn（奇數或偶數）的形式 (m＞n, m ，n屬于正整數)

當a= 2mn 時則a2= 4m2n2

由勾股定理a2+ b2= c2

則a2= c2- b 2=4m2n2

∵c2- b 2=2m2n2+2m2n2

=2m2n2-（-2m2n2)

=[ m4+2m2n2+ n4] - [ m4-2m2n2+ n4]

=（ m2+n2)2 -（m2-n2)2

∴c= m2+n2b = m2-n2

則有a = 2mn b = m2-n2 c =m2+n2 (m＞n, m ，n屬于正整數)a、b、c三數構成勾股數。(1)式

同理：當a =mn則a 2= m2n2由勾股定理a2+ b2= c2

a2= c2- b2 =m2n2

c2- b2=1/2m2n2+1/2m2n2=1/2m2n2-（-1/2m2n2)

=[ 1/４m4+1/２m2n2+1/４n4] - [ 1/４m4-1/２m2n2+ 1/４m4n4]

=[1/２（m2+n2) ]2 -[1/２（m2-n2) ]2

∴c= 1/２（m2+n2) b = 1/２（m2-n2)

則有 a = mnb =1/2（m2-n2） c =1/2（m2+n2）(m＞n, m ，n屬于正整數且m ，n同為奇數或偶數)a、b、c三數構成勾股數。(2)式

由此我們得到給定任意大于等于3的正整數為1個直角邊，求解勾股數的方法；

1、當給定的直角邊為大于等于3的奇數或大于等于4的偶數時，先將給定的奇數或偶數分解成兩數的乘積mn (m＞n, m ，n屬于正整數) ，當m，n同為奇數或偶數時。

利用a = mnb=1/2（m2-n2）c =1/2（m2+n2）(m＞n, m ，n屬于正整數) a、b、c三數構成勾股數公式求解勾股數b、c的值。

例1： a =11，求勾股數b，c的值

解∵a =mn=11×1， m=11，n=1（ m，n同為奇數）

將m=11，n=1代入b= 1/2（m2-n2）=1/2（112-12）=60

將m=11，n=1代入c =1/2（m2+n2）=1/2（112+12）=61

∴11、60、61為1組勾股數。

例2：a =81，求勾股數b，c的值

解∵a =mn=27×3，m=27，n=3 （ m，n同為奇數）

將m=27，n=3代入b= 1/2（m2-n2）=1/2（272-32）=360

將m=27，n=3代入c =1/2（m2+n2）=1/2（272+32）=369

∴81、360 、369為1組勾股數。

例3：a =16，求勾股數b，c的值

解∵a =mn=8×2，m=8，n=2（ m，n同為偶數）

將m=8，n=2代入b= 1/2（m2-n2）=1/2（82-22）=30

將m=8，n=2代入c =1/2（m2+n2）=1/2（82+22）=34

∴16、30 、34為1組勾股數。

2、當給定的直角邊為大于等于4的偶數時，利用a = 2mn b = m2-n2 c =m2+n2 (m＞n, m ，n屬于正整數)，a、b、c三數構成勾股數公式

求解勾股數b、c的值。即先將給定的偶數除以2，再將余數分解成兩數的乘積mn，求得m，n的值代入b=（m2-n2）c =（m2+n2）公式求解勾股數b、c的值。

例1： a =26，求勾股數b，c的值

解∵a =2 mn=2×13×1 m=13，n=1

將m=13，n=1代入a=（m2-n2）=（132-12）=168

將m=11，n=1代入c =（m2+n2）=（132+12）=170

∴26、168、170為1組勾股數。

例2： a =6，求勾股數b，c的值

解∵a =2 mn=2×3×1 m=3，n=1

將m=3，n=1代入b=（m2-n2）=（32-12）=8

將m=3，n=1代入c =（m2+n2）=（32+12）=10

∴6、8 、10為1組勾股數。

二、給定大于等于3的奇數為直角邊，求解勾股數

我們先看幾個勾股數如;

32+42=52勾3股4弦53，4，5 是勾股數

52+122=132 勾5股12弦135，12，13是勾股數

72+242=252 勾7股24弦257，24，25是勾股數

92+402=412 勾9股40弦41 9，40，41是勾股數

從以上幾組勾股數可歸納出：

1：勾為大于等于3的奇數 。

2：股和弦是數字相差1的兩個正整數，股為偶數，弦為比股大1的奇數。

∵任何一個大于等于3的奇數都可表示成2 n +1(n≥1，n屬于正整數)。

（任何一個大于等于3的奇數）2

=(2n+1)2

=4 n 2+4 n +1

=(2 n 2+2 n)+ (2 n 2+2 n +1)

令a = 2 n +1 b= 2 n 2+2 nc =2 n 2+2 n +1（或c = b+1）

即：任何一個大于等于3的奇數的平方可分解成兩個數字相差1的正整數的和。那么a、b、c這三數能否構成勾股數？

如果我們能證明

(2 n +1)2+(2 n 2+2 n) 2=(2 n 2+2 n +1) 2 (n≥1，n屬于正整數)成立，

即可證明a、b、c三數構成勾股數。

證明：∵左式= (2 n +1)2+(2 n 2+2 n) 2

=(4 n 2+4 n +1) +(4 n 4+8 n 3+4 n 2)

=4 n 4+8 n 3+8 n 2+4 n +1

右式=(2 n 2+2 n +1) 2

=(2 n 2+2 n) 2+2(2 n 2+2 n)×1+1

=(4 n 4+8 n 3+4 n 2) + (4 n 2+4 n) +1

=4 n 4+8 n 3+8 n 2+4 n +1

∴左式=右式

結論：任何一個大于等于3的奇數的平方都可分解成兩個數字相差1的正整數的和，則該三數構成勾股數。

即給定任意大于等于3的奇數時

則有a = 2 n +1 b= 2 n 2+2 nc =2 n 2+2 n +1（或c = b+1）

(n≥1，n屬于正整數) a、b、c三數構成勾股數。(3)式

由此我們得到給定任意大于等于3的奇數為直角邊，求解勾股數的方法；

1、由給定的奇數a，代入a= 2 n +1求得n值

2、將n值代入b= 2 n 2+2 n求得b值

3、將b值代入c= b+1求得c值

4、則a 、b 、c三數為1組勾股數。

例1：a =15，求勾股數b，c的值

解∵a =2 n+1=15解得n=7

將n值代入b= 2 n 2+2 n =2×72+2×7=112

將b代入c = b+1 =112+1=113

∴15、112、113為1組勾股數。

或a2=152=225

a2=b+c= b+ b+1=2 b+1

2 b+1=225b=112c= b+1=113

∴15、112、113為1組勾股數。

例2：a =23，求勾股數b，c的值

解∵a =2 n+1=23，解得n =11

將n =11代入b= 2 n 2+2 n =2×112+2×11=264

將b代入c = b+1 =264+1=265

∴23、264、265為一組勾股數。

或a2=232=529

a2=b+c= b+ b+1=2 b+1

2 b+1=529b=264c= b+1=265

∴23、264、265為1組勾股數。

三、當給定大于等于4的偶數為直角邊，求解勾股數

我們知道任意大于等于4的偶數都可表示成2 n（偶數）的形式 (n≥2, n屬于正整數)當a= 2 n時則a2= 4 n 2

由勾股定理a2+ b2= c2

則a2= c2- b 2=4 n 2

∵c2- b 2=2 n 2+2 n 2

=2 n 2-（-2 n 2)

=[ n 4+2 n 2+1] - [n 4-2 n 2+1]

=（n 2+1)2 -（n 2-1)2

∴c= n 2+1 b = n 2-1

即給定任意大于等于4的偶數時

則有a = 2 n b= n 2-1 c = n 2+1(n≥2, n屬于正整數)

a、b、c三數構成勾股數。(4)式

分析:a、b、c的關系

a = 2 n b= n 2-1 c = n 2+1

a2=4 n 2b+ c= （n 2-1）+（ n 2+1）=2 n 2=1/２a2c-b=（ n 2+1）-（ n 2-1）=2

b=1/4a2-1c=1/4a2+1

結論：任何一個大于等于4的偶數的平方的一半都可分解成兩個數字相差2的正整數的和，則該三數構成勾股數。

例：a=18，求勾股數b，c的值

解∵a= 2 n =18n =9

b= n 2-1=9 2 -1 =80

c = n 2+1=9 2 +1 =82

∴18、80、81為1組勾股數。

另解∵a=18

b=1/4a2-1=1/4×324-1=80

c=1/4a2+1=1/4×324+1=82

∴18、80、81為1組勾股數。

參考文獻: 徐本順、解恩澤編著《數學猜想集》湖南科學技術出版社1999年4月

作者簡介: 張愛獻（1964—） 男 河南省民權縣高級工程師

張?zhí)煲校?998—）男，安徽省淮南市二中，高一35班學生。