大數(shù)定律和中心極限定理在極限問題中的應(yīng)用

羅逸平

（湖南城市學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 益陽 413000）

大數(shù)定律和中心極限定理是概率論的重要內(nèi)容.大數(shù)定律給出了在試驗次數(shù)很大時頻率和平均值的穩(wěn)定性，從理論上肯定了用算術(shù)平均值代替均值，用頻率代替概率的合理性.中心極限定理闡明了在什么條件下，原來不屬于正態(tài)分布的一些隨機變量其總和分布漸近地服從正態(tài)分布，為我們利用正態(tài)分布來解決這類隨機變量的問題提供了理論依據(jù).它們都是通過極限理論來研究概率問題.反過來，本文研究了利用大數(shù)定律和中心極限定理處理極限問題的常用方法.

1 利用大數(shù)定律處理極限問題

證明 設(shè){ξk}相互獨立同分布，ξk～b(1,x),k=1,2,….令 ξn=，則由二項分布的再生性，ξn～B(n,x).所以

因為 f(x)在(0,1)連續(xù)，所以對坌x∈(0,1)及 ε>0，堝δ>0，當(dāng)y∈(0,1):|y-x|<δ 時，恒有.因為 f(x)在(0,1)有界，設(shè).由全數(shù)學(xué)望公式，有

由辛欽大數(shù)定律，有

故對上述 x∈(0,1)及 ε>0，堝N∈N，對堝n>N，有

證畢.

類似地，

（1）利用Poisson分布的再生性和大數(shù)定律，可得

（2）利用幾何分布的再生性和大數(shù)定律，可得

若 f(x)在[1,+∞)有界連續(xù)，且

結(jié)合已知條件的特點，巧妙構(gòu)造一類隨機變量序列，利用大數(shù)定律是解決這類問題的關(guān)鍵.

2 利用中心極限定理處理極限問題

例2

證明 設(shè)隨機變量序列{ξk}相互獨立同分布，ξk～Γ(α,β)，即ξk的密度函數(shù)為

由Γ－分布的可加性，有

且

由Lindeberg-Levy定理，

對坌x∈R，當(dāng)n充分大時，

特別地，當(dāng)α=0時，

由例2，立即可得下一重要結(jié)論：

當(dāng)含參變量的積分的極限與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)有關(guān)時，若能將參變量的被積函數(shù)與某一連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)聯(lián)系起來，一般利用中心極限定理就能解決問題.

〔1〕梁之舜，鄧集賢，楊維權(quán)，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2005.267－290.

〔2〕陸傳榮，林正炎，陸傳賚.概率論極限理論引論[M].北京：高等教育出版社，1989.89－105；128－155.