關(guān)于線性代數(shù)課程中案例教學(xué)的研究

田利芹

（安陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河南 安陽 455000）

一、引言

線性代數(shù)課程教學(xué)的主要目的， 是使得從事工程建筑設(shè)計和相關(guān)科學(xué)研究的人員具備基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠較好地處理和解決一些實(shí)際問題。 總的來講，線性代數(shù)是當(dāng)前科學(xué)領(lǐng)域之中的一項(xiàng)關(guān)鍵的工具。 在實(shí)踐教學(xué)工作中應(yīng)當(dāng)采取案例的形式， 全面遵循基本教學(xué)觀念和教學(xué)原則， 以能夠準(zhǔn)確合理地解決相關(guān)教學(xué)問題為基礎(chǔ)， 以實(shí)踐教學(xué)與理論教育相互結(jié)合的形式，建立起各個專業(yè)之間的緊密聯(lián)系，進(jìn)而不斷實(shí)現(xiàn)對學(xué)生基礎(chǔ)觀念的理解掌握， 充分激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)動力以及學(xué)習(xí)興趣， 注重學(xué)生對實(shí)際問題的分析和解決能力， 真正保證線性代數(shù)課程的教育可以在實(shí)踐中得到應(yīng)用。

二、線性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐概述

當(dāng)前線性代數(shù)的課程教學(xué)對于科研工作的發(fā)展有著重大的意義。 線性代數(shù)相關(guān)知識的教育，注重的是對學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，除了理論基礎(chǔ)知識等教育外，還應(yīng)當(dāng)在實(shí)踐之中多穿插一些教學(xué)的重要案例，重點(diǎn)對教學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，合理進(jìn)行教學(xué)規(guī)劃和教學(xué)安排， 使得教學(xué)工作可以得到較好發(fā)展。當(dāng)前不少高校對于線性代數(shù)的教育知識點(diǎn)講解較為淺顯，并且不少結(jié)論并不能夠給出證明。 對于一些重點(diǎn)的知識點(diǎn)講解也不夠深入和徹底，這樣的情況對于教育工作的發(fā)展是不利的。要真正使得線性代數(shù)的課程教學(xué)和實(shí)踐應(yīng)用相互聯(lián)系，還應(yīng)當(dāng)多注重知識點(diǎn)和重點(diǎn)概念的講解，并且在其中恰當(dāng)穿插一些重要的案例，使學(xué)生學(xué)習(xí)可以達(dá)到舉一反三的效果。 教學(xué)的過程不應(yīng)當(dāng)是純粹的對學(xué)生進(jìn)行高壓似的灌輸，而應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)教學(xué)的權(quán)威性， 更多注重學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，通過教師和學(xué)生之間進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕涣?，促使學(xué)生對于知識的掌握程度得到加深，進(jìn)而使得學(xué)生可以對相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行深入的探索和分析，明確學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位，使教師對于知識的傳授和講解可以達(dá)到相關(guān)教學(xué)的目標(biāo)。 同時，在實(shí)踐教學(xué)過程當(dāng)中,廣大教師還應(yīng)當(dāng)對教學(xué)的資源進(jìn)行深入的研究，以使得課堂教學(xué)的效益得到增強(qiáng)，營造出良好的課堂教學(xué)氛圍。

三、定義介紹的案例教學(xué)法

在講解一些關(guān)鍵定義和概念的過程中， 適當(dāng)引入案例，對于提升教學(xué)效果有著關(guān)鍵性的意義。由于線性代數(shù)相關(guān)課程中的定義相當(dāng)抽象，并且邏輯性較強(qiáng)，在講解中適當(dāng)引入案例，可以起到加深學(xué)生理解的作用，教師可以對定義的應(yīng)用領(lǐng)域和背景進(jìn)行細(xì)致的說明，對理解的重難點(diǎn)進(jìn)行集中介紹。 諸如在講解線性代數(shù)行列式定義時，可以模擬Cauchy 求解空間多面模型體積的教學(xué)過程， 引導(dǎo)學(xué)生從空間六面體以及平行四邊形等體積角度著手，進(jìn)而得到二階和三階的公式，使得學(xué)生體會到這樣一種理解和學(xué)習(xí)的過程， 并且深刻地理解行列式的作用。又比如在講授矩陣的定義過程中，可以適當(dāng)引入Leontief 的低維簡單投入產(chǎn)出模型，通過直接對矩陣進(jìn)行消耗， 對這樣一種構(gòu)建的方式進(jìn)行講解， 進(jìn)而說明相關(guān)矩陣的定義原因以及其中各個元素所代表的不同含義。綜合分析可以發(fā)現(xiàn)，在講解一些關(guān)鍵線性代數(shù)課程概念的同時， 恰當(dāng)?shù)匾胂嚓P(guān)教學(xué)案例，意義重大，不僅可以說明不同概念和不同公式元素的意義， 同時還可以使得學(xué)生從不同的層次和不同的維度掌握課程知識的背景、含義和相關(guān)重點(diǎn)內(nèi)容，通過對問題的實(shí)際分析和歸納總結(jié)， 使得學(xué)生能深切感受到由實(shí)際存在的問題引入背景， 進(jìn)而轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)方式和定義的過程， 充分了解到數(shù)學(xué)概念和相關(guān)線性代數(shù)內(nèi)容的定義并不是孤立存在的， 而是有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。

四、章節(jié)總結(jié)案例教學(xué)分析

除了上述所分析的在定義教學(xué)過程之中引入相關(guān)案例之外， 在線性代數(shù)課堂當(dāng)中， 每一章節(jié)講解完畢后，也可以恰當(dāng)引入一些重要的案例，以使學(xué)生的綜合應(yīng)用以及實(shí)踐能力得到切實(shí)增強(qiáng)， 同時教師還可以在課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組練習(xí)，組件相關(guān)模型，使學(xué)生可以真正達(dá)到學(xué)以致用的效果，切實(shí)增強(qiáng)自身的水平。在每個章節(jié)的教學(xué)結(jié)束后， 廣大教師可以為學(xué)生布置一個綜合應(yīng)用的場景， 以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行綜合性的拓展練習(xí)， 這一點(diǎn)對于增進(jìn)學(xué)生相關(guān)知識的理解有著重要的意義。同時學(xué)生通過不同的方式組件模型，諸如特征向量教學(xué)以及特征值教學(xué)結(jié)束之后， 教師可以恰當(dāng)引入城鄉(xiāng)人口流動的相關(guān)案例，以使學(xué)生可以組建模型，加深對于知識的理解程度，達(dá)到學(xué)以致用的效果。例題如下：

設(shè)某省對城鄉(xiāng)人口流動作年度調(diào)查， 發(fā)現(xiàn)每年農(nóng)村居民的30%移居城鎮(zhèn)， 而城鎮(zhèn)居民的10%流入農(nóng)村。假設(shè)城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔?，并且人口流動的這種趨勢繼續(xù)下去， 那么最終該省城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口的分布是否會趨于一個穩(wěn)定狀態(tài)呢？

解：設(shè)該省人口總數(shù)為m，調(diào)查時城鎮(zhèn)人口為x0，農(nóng)村人口為y0， 利用特征值與特征向量的知識可知，n年以后， 城鎮(zhèn)人口和農(nóng)村人口分別為：x0=0.75m+0.25（x0-3y0）（0.6）n，y0=0.25m-0.25（x0-3y0）（0.6）n。 即在城鄉(xiāng)總?cè)丝跀?shù)不變的情況下， 城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口的分布會趨于一個穩(wěn)定狀態(tài)。

五、線性代數(shù)案例教學(xué)實(shí)踐應(yīng)用

在課堂教學(xué)過程中通過一些重要的案例， 可以使學(xué)生對于知識的理解程度加深，同時，由于矩陣是線性代數(shù)教學(xué)過程中的核心內(nèi)容， 所以此環(huán)節(jié)的教學(xué)工作應(yīng)當(dāng)加以重視。 不少學(xué)生認(rèn)為矩陣就是把一排不同的數(shù)字進(jìn)行排列， 進(jìn)而形成一個一個不同的列所組成的集合，這種理解是淺顯的。 在教學(xué)的過程中，使學(xué)生深刻理解不同排列數(shù)字之間的內(nèi)在聯(lián)系，是教學(xué)的難點(diǎn)；很好掌握不同的數(shù)字排列之間存在的實(shí)際意義， 是教學(xué)的重點(diǎn)。此時教師可以恰當(dāng)引入教學(xué)案例，由于矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用， 常見的諸如在自動化領(lǐng)域、 計算機(jī)科學(xué)技術(shù)、 信息科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)之中， 矩陣都有著相當(dāng)重要的應(yīng)用。 但是對于初學(xué)者來講，很難有深切的體會，故教師應(yīng)當(dāng)通過恰當(dāng)引入相關(guān)教學(xué)案例，使學(xué)生可以對知識點(diǎn)的理解程度得到增強(qiáng)。比如在教學(xué)過程中教師可以向廣大學(xué)生呈現(xiàn)出一幅圖像，如下所示：

在展示上述圖像之后，再使用PS 等軟件對圖像進(jìn)行相對應(yīng)的處理， 此時可以引導(dǎo)學(xué)生理解計算機(jī)的處理原理和處理的原則。在對上述圖像進(jìn)行處理之后，就可以得到以下數(shù)據(jù)信息：

相關(guān)信息是計算機(jī)讀取圖像的一部分?jǐn)?shù)據(jù)，使用線性代數(shù)的相關(guān)知識和語言進(jìn)行分析，就是矩陣。 矩陣所對應(yīng)的，是圖像的寬以及高，矩陣之中的相關(guān)元素，則對應(yīng)的是上述圖像的元素。 矩陣內(nèi)部元素的數(shù)值，就是像素的灰度值等。所以，通過線性代數(shù)的相關(guān)知識，就可以對矩陣的理論和計算方式進(jìn)行處理。 通過這樣一種案例教學(xué)的模式，可以使廣大學(xué)生對于知識點(diǎn)的掌握更加深刻，并能更好地理解不同知識點(diǎn)所代表的含義，進(jìn)而掌握知識的內(nèi)涵，加深對課堂知識的理解程度，在有限的課堂時間之內(nèi)達(dá)到教學(xué)效率最大化的目標(biāo)。

六、運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺實(shí)施線性代數(shù)案例教學(xué)

充分運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)平臺進(jìn)行案例的教學(xué)， 是當(dāng)前教學(xué)工作發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)， 同時也是今后線性代數(shù)教學(xué)發(fā)展的核心方向。近幾年，電子計算機(jī)技術(shù)進(jìn)入到了一個黃金發(fā)展階段， 不少課程都實(shí)現(xiàn)了教育技術(shù)的改進(jìn)。 同時，在線性代數(shù)的理論教學(xué)中，也應(yīng)當(dāng)依據(jù)需要，適當(dāng)引入計算機(jī)教學(xué)的手段和方式， 從而真正實(shí)現(xiàn)教育工作的改進(jìn)。 在當(dāng)前教學(xué)實(shí)踐之中不少教師擔(dān)心教學(xué)的案例引入會對最終的教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)目標(biāo)等產(chǎn)生影響， 但是由于現(xiàn)代化教育信息技術(shù)的發(fā)展和廣大高校信息技術(shù)平臺的搭建， 使得當(dāng)前多媒體課件教學(xué)對于線性代數(shù)教學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響。 教師可以通過不同教學(xué)課件的設(shè)計， 呈現(xiàn)重難點(diǎn)知識和經(jīng)典案例等內(nèi)容，進(jìn)而明確講解思路，使學(xué)生學(xué)習(xí)過程更加直觀和清晰。另外，教師還應(yīng)當(dāng)在線性代數(shù)教學(xué)中充分運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)開放式的平臺資源， 讓學(xué)生在課余時間運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)資源，解決教學(xué)中的相關(guān)問題。由于網(wǎng)絡(luò)上的案例趣味性較強(qiáng)，并且更加貼近學(xué)生的生活實(shí)際，所以學(xué)生學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)資源案例可以更好地培養(yǎng)自身對于線性代數(shù)知識的興趣，進(jìn)而增強(qiáng)其專業(yè)技能和專業(yè)知識。在上述工作的基礎(chǔ)之上， 教師還應(yīng)當(dāng)自主開發(fā)一些教學(xué)資源和教學(xué)案例，充分收集相關(guān)資料信息，組建相關(guān)教學(xué)團(tuán)隊(duì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)教學(xué)改革，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

七、線性代數(shù)教學(xué)計算機(jī)案例教學(xué)實(shí)踐分析

計算機(jī)在現(xiàn)代課堂中的應(yīng)用可以說已經(jīng)屢見不鮮，但在目前的教學(xué)模式中，教師依然以板書為主，多媒體只是輔助教學(xué)工具，并沒有得到充分的利用。 然而，計算機(jī)輔助教學(xué)將教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、計算機(jī)技術(shù)融為一體，在教學(xué)中有很明顯的教學(xué)優(yōu)勢。 將計算機(jī)作為輔助工具引入教學(xué)， 使用MATLAB 等數(shù)學(xué)軟件解決線性代數(shù)問題， 把MATLAB 滲透到線性代數(shù)課程的教學(xué)中去。 線性代數(shù)整個理論體系，并不因?yàn)槭褂糜嬎銠C(jī)而改變，只是有些理論可以通過計算機(jī)來驗(yàn)證，而且可以把大量的應(yīng)用問題納入課程的習(xí)題或作業(yè)中，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)觀念，樹立新的教學(xué)理念，提高學(xué)生的科學(xué)計算能力、創(chuàng)新能力及理論與實(shí)踐相結(jié)合的能力。

用MATLAB 軟件求線性方程組（1）的解：

解： 先輸入系數(shù)矩陣A=5，2，-9；-9，-2，2；6，7，3和向量b=-18；-7；29，再輸入函數(shù)det（A），運(yùn)算得A的行列式的值為437≠0，則輸入計算式X=A/b，運(yùn)算得X=1.0000；2.0000；3.0000，此即為方程組（1）的解。

又比如下列案例：

求矩陣A 的相關(guān)參數(shù)。

解：輸入矩陣A=1，2，3；5，4，9；11，8，6

（1）求矩陣A 的秩。 輸入函數(shù)rank（A），運(yùn)算得A的秩為3。

（2）求矩陣A 的逆矩陣。 輸入函數(shù)inv（A）：運(yùn)算得A 的逆矩陣

（3）求矩陣A 的特征向量v 及特征值d。輸入函數(shù)v，d=eig（A），運(yùn)算得出答案。

因此，在學(xué)生熟練掌握基本概念、相關(guān)定理及解題基本方法后，可借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB 較快地解決復(fù)雜的計算，增強(qiáng)幾何直觀。

八、結(jié)語

總的來講，在當(dāng)前線性代數(shù)教學(xué)過程當(dāng)中，案例教學(xué)是重要的手段， 也是切實(shí)實(shí)現(xiàn)教學(xué)效益改進(jìn)的關(guān)鍵點(diǎn)，正如上文所分析的，在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)當(dāng)采取案例的形式，全面遵循基本教學(xué)觀念和教學(xué)原則，以能夠準(zhǔn)確合理地解決相關(guān)教學(xué)問題為基礎(chǔ)， 以實(shí)踐的教學(xué)與理論教育相互結(jié)合的形式， 建立起各個專業(yè)之間的緊密聯(lián)系，從而提升線性代數(shù)教學(xué)效果。

［1］于秀琴.如何激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機(jī)［J］.教學(xué)改革，2007，（2）.

［2］馬志勇.淺談數(shù)學(xué)課堂現(xiàn)狀及“問題式”［J］.教學(xué)改革，2007，（5）.

［3］張景中.深入數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，（10）.

［4］張廣增.案例教學(xué)法在高職“推銷實(shí)務(wù)”教學(xué)中的應(yīng)用［J］.教育與職業(yè)，2014，（7）.