帶駐留約束的雙臂集束型設(shè)備群的調(diào)度方法

周炳海，劉明祥，周淑美

（同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，201804上海）

隨著300 mm晶圓制造技術(shù)的問世，集束型設(shè)備群正在被越來越廣泛地應(yīng)用于半導(dǎo)體制造過程中.目前，如何優(yōu)化半導(dǎo)體集束型設(shè)備群的調(diào)度問題，已成為提升半導(dǎo)體制造系統(tǒng)整體效率的關(guān)鍵途徑.對單個集束型設(shè)備調(diào)度的研究已比較成熟.例如 Perkinson 等［1］和 Venkatesh 等［2］對單個單臂和雙臂集束型設(shè)備穩(wěn)態(tài)下的產(chǎn)能進(jìn)行了分析，建立了單臂、雙臂集束型設(shè)備的分析模型，提出了基礎(chǔ)調(diào)度周期（fundamental period，F(xiàn)P）的計算方法，并建立了單臂機(jī)械手調(diào)度的拉動（pull）策略和雙臂機(jī)械手的交換（SWAP）策略.

研究集束型設(shè)備群調(diào)度問題的文獻(xiàn)報道較少，已有文獻(xiàn)主要關(guān)注同種晶圓產(chǎn)品在穩(wěn)態(tài)下的調(diào)度方法.例如 Yi［3］等在不考慮機(jī)械手搬運(yùn)時間，僅僅考慮集束型設(shè)備群加工同種晶圓產(chǎn)品的情況下，對其進(jìn)行了產(chǎn)能和FP分析，給出了一種分解方法來構(gòu)建集束型設(shè)備群的FP下界，并給出了相應(yīng)的優(yōu)化調(diào)度方法.Chan［4-5］等在考慮機(jī)械手搬運(yùn)時間為非零情況下，對集束型設(shè)備群調(diào)度問題進(jìn)行了研究，構(gòu)造了一種基于資源約束的分析模型，并給出了相應(yīng)的調(diào)度方法.上述文獻(xiàn)主要關(guān)注集束型設(shè)備群在穩(wěn)態(tài)下的產(chǎn)能分析，且均沒有考慮晶圓加工過程中的晶圓在處理腔中的駐留約束現(xiàn)象.文獻(xiàn)［6-12］對帶駐留約束的單個集束型設(shè)備調(diào)度問題進(jìn)行了研究.然而Chan［4-5］等已經(jīng)指出，集束型設(shè)備群調(diào)度問題的復(fù)雜性使得現(xiàn)有的方法均不能直接推廣應(yīng)用于集束型設(shè)備群的調(diào)度問題中.文獻(xiàn)［13］對帶駐留約束的單臂集束型設(shè)備群進(jìn)行了研究，提出了一種基于時間約束集的建模與調(diào)度方法.

本文在提出虛擬緩沖模塊（virtual buffer module，VBM）概念的基礎(chǔ)上，結(jié)合時間區(qū)間集概念［14］，進(jìn)行了帶駐留約束的雙臂集束型設(shè)備群的調(diào)度問題研究.

1 問題描述

根據(jù)SEMI標(biāo)準(zhǔn)E21-96定義，一個集束型設(shè)備一般由卡匣模塊（load lock，LL）、單臂或雙臂機(jī)械手搬運(yùn)模塊（robot module，RM）以及若干個晶圓加工模塊（process module，PM）組成．LL的功能是存儲晶圓，RM負(fù)責(zé)完成晶圓的搬運(yùn)、裝載或卸載任務(wù)，PM負(fù)責(zé)晶圓的加工.一個集束型晶圓制造設(shè)備群通常包含多個由緩沖模塊（buffer module，BM）相互連接的集束型設(shè)備，如圖1所示，其中Ch表示第h臺單個集束型設(shè)備．

圖1 雙臂集束型設(shè)備群示意圖

為有效地描述集束型設(shè)備群調(diào)度問題，假設(shè)：①每一個集束型設(shè)備最多和兩個集束型設(shè)備連接；②兩個相鄰的集束型設(shè)備由兩個BM連接，其中一個BM用于暫存進(jìn)入集束型設(shè)備的晶圓，一個BM用于暫存離開集束型設(shè)備的晶圓，BM最多只能儲存一片晶圓，晶圓在BM的處理時間為0，駐留約束時間沒有限制；③所有的RM采用雙臂機(jī)械手，機(jī)械手的兩臂呈180°角放置，每次允許搬運(yùn)一片晶圓，在不同模塊間的晶圓移動時間固定；④每個PM一次只能加工一片晶圓；⑤晶圓在PM中有駐留時間約束，即加工完成后，晶圓在PM內(nèi)駐留時間有限制，超過該時間上限，晶圓的產(chǎn)品質(zhì)量會下降，甚至?xí)兂纱纹?；⑥要調(diào)度的晶圓具有不同的晶圓流模式，也即是有不同的晶圓種類，并且晶圓允許跳過在同一個集束型設(shè)備中的某一個或幾個PM．

符號定義如下：

CTm為一個集束型設(shè)備群，其中下標(biāo)m表示這個集束型設(shè)備群中包含的單集束型設(shè)備的數(shù)目；

Ji為當(dāng)前調(diào)度的晶圓；

Ch為在該集束型設(shè)備群中的第h個集束型設(shè)備；

Rh1、Rh2分別表示第h個集束型設(shè)備的機(jī)械手的兩只手臂；

BMhj為用于連接Ch和Ch+1的緩沖模塊；

VBMhj為假設(shè)的存在于PMh（j-1）PMhj之間的虛擬的緩沖模塊；

MHL為晶圓進(jìn)入BM（h-1）2之前在Ch的實際上的最后一道工序的序號；

Mh為Ch與Ch+1連接前Ch中處理模塊的數(shù)目；

MH為Ch中的處理模塊的數(shù)目；

aihj為跳過的工序數(shù)，若晶圓沒有跳過任何工序，則aihj=0；若晶圓在PMhj或BMhj之后跳過了k個工序，則aihj=k；

tP，i，hj為Ji在工序PMhj上所需的加工時間；

tp為晶圓Ji在晶圓流模式上的各個處理模塊PMhj的加工時間的集合；

tU，i，hj為Ji在工序PMhj上最大允許駐留時間；

tu為晶圓在晶圓Ji流模式上的各個處理模塊PMhj的最大允許駐留時間的集合；

tPVB，hj為虛擬的連接存儲模塊VBMhj所需要的加工時間tPVB，hj=0；

tUVB，hj為用于連接的存儲模塊VBMhj最大允許駐留時間tUVB，hj=∞；

Ti為Ji各工序需要加工時間集合，即Ti=｛tP，i，11，tP，i，12，…，tP，i，mj，…，tP，i，14｝；

TP，i，hj為Ji在PMhj上允許停留的時間區(qū)間TP，i，hj=［tP，i，hj，tP，i，hj+tU，i，hj］；

tF，i，hj為Ji在PMhj中的實際停留時間；

tS，i，hj為Ji在PMhj中的開始時間；

tL，i，hj為Ji在PMhj中的離開時間；

t為J從Ch進(jìn)入B后的實際停留

FB，i，hjiMhj時間；

t為J從Ch進(jìn)入B中的時間；

SB，i，hjiMhj

t為J從Ch進(jìn)入B后的離開時間；

LB，i，hjiMhj

tUD為機(jī)械手卸載Ji的時間，為常數(shù)；

tLD為機(jī)械手裝載Ji的時間，為常數(shù)；

tM，i，hj為把Ji從PMh（j-1）搬運(yùn)到PMhj需要的時間，含裝卸時間，為常數(shù)tM；

tFVB，i，hj為Ji從CTm（m=1，2，…，n） 進(jìn)入虛擬的存儲模塊VBMhj后實際停留時間；

tSVB，i，hj為Ji從CTm（m=1，2，…，n） 進(jìn)入虛擬的存儲模塊VBMhj中的時間；

tLVB，i，hj為Ji從CTm（m=1，2，…，n） 進(jìn)入虛擬的存儲模塊VBMhj后的離開時間；

tMV，i，hj為把Ji從工序j-1 搬運(yùn)到虛擬的存儲模塊VBMhj需要的時間，含裝載和卸載的時間；

tTMRES，i，hj為Ji從PMhj卸載后到被裝載到下一個處理模塊之間在機(jī)械手的手臂上駐留的時間；

TTW，i，hk為K等于1 或2，表示第h個集束型設(shè)備的機(jī)械手的兩只手臂Rh2或Rh2對的可用時間區(qū)間；

TFL，i，hj為在當(dāng)前調(diào)度下，Ji在PMhj可行的結(jié)束時間區(qū)間集， 包含有?l（i，h，j） 個區(qū)間， 即有TFL，i，hj=｛TFL，i，hj，1，TFL，i，hj，2，…，TFL，i，hj，?l（i，h，j）｝ ；

TFSB，i，hj為在當(dāng)前調(diào)度下，Ji在BMhj可行的開始時間區(qū)間集，包含有?bs（i，h，j） 個區(qū)間，即有TFSB，i，hj=｛TFSB，i，hj，1，TFSB，i，hj，2，…，TFSB，i，hj，?bs（i，h，j）｝．

TPWVB，i，hj為虛擬的模塊緩沖模塊中VBMhj可用的時間區(qū)間集；

TFSVB，i，hj為在當(dāng)前調(diào)度下，用時間區(qū)間集來表示VBMhj的可行的開始存儲時間（tSVB，i，hj）．

由假設(shè)③可知，晶圓在任意一個PM或BM的開始時間或結(jié)束時間的差值至少大于或等于RM完成一次晶圓裝載的時間，于是可得

由假設(shè)④可知，任意一個PM或BM都不可能同時擁有兩個或兩個以上的晶圓，于是有

由于雙臂機(jī)械手采用SWAP策略，其對晶圓的移動不是一個連續(xù)的動作，由假設(shè)⑥可知，晶圓在晶圓流模式上相鄰的PM之間的開始時間和結(jié)束時間的關(guān)系必須滿足如下關(guān)系：

由于集束型設(shè)備群的特殊的結(jié)構(gòu)，晶圓在不同集束型設(shè)備之間的移動必須通過BM進(jìn)行中轉(zhuǎn)，所以在約束條件（1）～（5）中應(yīng)滿足如下約束：

由假設(shè)條件⑤可知，晶圓在PM中的時間應(yīng)該大于其處理時間，于是可得

tF，i，hj≥tP，i，hj，j=1，2，…，MH，h=1，2，…，n；tF，i，hj≤tP，i，hj+tU，i，hj，j=1，2，…，MH，h=1，2，…，n；

對晶圓的搬運(yùn)必須發(fā)生在機(jī)械手的兩只機(jī)械臂中的某一個機(jī)械臂的可用的時間區(qū)間內(nèi)，于是有

晶圓在PM中的實際停留的時間區(qū)間必須在PM的某個可用時間區(qū)間內(nèi)，于是有

同理，對BM也是如此：

調(diào)度目標(biāo)是最小化晶圓加工的makespan，即

至此，在對調(diào)度問題進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，關(guān)于在多晶圓流模式條件下，帶有駐留約束的雙臂集束型設(shè)備群調(diào)度問題的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)建立.

2 計算方法

首先，引入文獻(xiàn)［14］中有關(guān)時間區(qū)間集運(yùn)算的定義，具體描述如下：

定義1假設(shè)有時間區(qū)間集T=｛T1，T2，…，Tn｝ 和時間區(qū)間集S=｛S1，S2，…，Sn｝，T1，…Tn，S1，…，Sn為時間區(qū)間：1）T和S的交集，用T∩S表示；2）T和S的并集，用T∪S表示．

定義2假設(shè)有時間區(qū)間集T=｛［L1，H1］，［L2，H2］，…，［Ln，Hn］｝ 和區(qū)間Q=［a，b］：1）T和Q的和用符號T⊕Q來表示，T⊕Q=｛［L1+a，H1+b］，［L2+a，H2+b］，…，［Ln+a，Hn+b］｝；2）min和max函數(shù)分別用minT=L1和maxT=Hn來表述．

2.1 算法流程

算法的核心思想是引入VBM概念，將雙臂集束型設(shè)備群的調(diào)度問題轉(zhuǎn)化為帶有VBM的單臂集束型設(shè)備群的調(diào)度問題進(jìn)行研究．VBM的依據(jù)是基于雙臂的搬運(yùn)機(jī)械手實際上相當(dāng)于在每兩個相鄰的PM（BM）之間增加了一個BM，當(dāng)晶圓產(chǎn)生駐留約束時，機(jī)械手可以暫時存儲晶圓，相當(dāng)于為晶圓提供了一個BM．雙臂的機(jī)械手轉(zhuǎn)化為單臂的機(jī)械手，同時在集束型設(shè)備里的每兩個模塊之間增加了一個VBM，虛擬化處理如圖2所示．PM之間的圓圈表示為VBM．

圖2 虛擬化示意圖

基于上述核心思想，算法的流程見圖3．首先，將雙臂機(jī)械手的一個手臂虛擬為存在于相鄰的PM（BM）的VBM．這樣，帶駐留約束的雙臂集束型設(shè)備群的調(diào)度問題就轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的帶駐留約束帶VBM的單臂集束型設(shè)備群的調(diào)度問題．最后，利用VBM上的開始和結(jié)束的時間就是晶圓在RM的其中一個機(jī)械手的開始和結(jié)束時間，結(jié)合SWAP策略，并以此為依據(jù)對此進(jìn)行修正，得到修正的SWAP調(diào)度策略，進(jìn)而完成調(diào)度.

圖3 基于SWAP策略的算法流程

2.2 各模塊的調(diào)度時間節(jié)點確定

針對已經(jīng)轉(zhuǎn)化后的帶有駐留約束和VBM的單臂集束型設(shè)備群調(diào)度問題，需要計算調(diào)度的時間節(jié)點，即晶圓在轉(zhuǎn)化后的晶圓流模式上的各個模塊（包括PM、BM、VBM和RM） 的開始和結(jié)束時間．各模塊的調(diào)度時間節(jié)點確定步驟如圖4所示．逆序策略為計算PM的開時間取可行時間區(qū)間的最大值；計算BM的開始時間取可行區(qū)間最小值．

圖4 各模塊的調(diào)度時間節(jié)點確定

具體的計算方法如下：

首先，在計算可行時間區(qū)間集部分，關(guān)于VBM的可行的開始和結(jié)束時間區(qū)間集TFSVB，i，hj和TFLVB，i，hj的計算，根據(jù)計算基于的模塊的不同，可以分為以下3種情況：

1）上一模塊是LL，即計算是基于LL的，那么計算的方法如下：

2）上一個模塊是PMhk，即計算是基于上一個PM的調(diào)度結(jié)果，那么計算方法如下：

（3） 如果上一個處理模塊是BMh′k＇，即計算是基于BM計算結(jié)果的，那么計算的方法如下：

其次，晶圓在進(jìn)入PM之前必須先“進(jìn)入”VBM，所有處理模塊的計算都是基于VBMh”k”計算結(jié)果的，其計算方法如下：

最后，關(guān)于BM的可行開始和結(jié)束時間區(qū)間的計算．與PM類似，BM的計算也都是基于相應(yīng)的VBMh”k”計算結(jié)果的，其相應(yīng)的計算公式如下：

通過上述公式，按照晶圓流模式上各模塊的順序，可以一次計算出相應(yīng)的可行和結(jié)束時間區(qū)間集．在此基礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)度時間點的計算．

首先是關(guān)于晶圓在各個VBM的開始和結(jié)束時間點計算，下面對幾種不同的情況進(jìn)行分析．

1）上一個模塊是用于存儲已加工完成的晶圓的L，則

那么晶圓的最早完工時間顯然是tLVB，i，hn+tM/2．

2）如果上一個模塊是PMhk，即計算是和上一個PM相關(guān)聯(lián)的，則

3） 如果上一個模塊是BMh′k′，即計算是和上一個BM相關(guān)聯(lián)的，則

其次是關(guān)于晶圓在BM的開始和結(jié)束時間的計算，其計算肯定是基于VBMh”k”的，相應(yīng)的計算公式如下：

最后是晶圓在各個PM上的開始和結(jié)束時間的計算．由于PM的計算也必定是基于VBMh”k”的，所以其計算的方法可歸納如下：

2.3 基于修正的SWAP策略調(diào)度

對于集束型設(shè)備群的調(diào)度就是要在滿足各種要求的情況下，確定各個機(jī)械手的動作順序和時間，以實現(xiàn)預(yù)定的調(diào)度目標(biāo)．對于不帶駐留約束限制的雙臂集束型設(shè)備來說，SWAP策略是其基本的調(diào)度策略，并且是已經(jīng)被證明了的優(yōu)化的調(diào)度策略［2］．對于帶有駐留約束的雙臂集束型設(shè)備群來說，雙臂機(jī)械手在調(diào)度上最大的功能就是提供了一個臨時的“緩沖”模塊．雙臂機(jī)械手的這一作用也正為帶駐留約束的集束型設(shè)備群的調(diào)度提供了新的調(diào)度空間．在本文的算法中，將雙臂虛擬為單臂，晶圓在VBM上的開始和結(jié)束的時間就是晶圓在雙臂PM的其中一個模塊的開始和結(jié)束時間，結(jié)合修正的SWAP策略，可得到對集束型設(shè)備群的調(diào)度．對于不帶駐留約束限制的集束型設(shè)備群來說，SWAP策略就是完全根據(jù)晶圓的加工時間來確定機(jī)械手各個動作的時間和順序．在考慮駐留約束限制的情況下，根據(jù)2.2節(jié)的調(diào)度，首先可以確定的一個機(jī)械手的各個動作的時間，再根據(jù)晶圓在虛擬處理模塊上的開始和結(jié)束時間確定另一只機(jī)械手的相應(yīng)的開始和結(jié)束時間，從而可以確定雙臂機(jī)械手對晶圓的搬運(yùn)的動作順序和時間，從而完成調(diào)度．

3 仿真實驗與分析

為了有效地評價本文提出的調(diào)度算法，選取文獻(xiàn)［3］構(gòu)造的基礎(chǔ)調(diào)度周期（fundamental period，F(xiàn)P） 下界作為 benchmark，并且與文獻(xiàn)［3］提出的下界的非VBM調(diào)度方法進(jìn)行對比，期望通過對下界的綜合使用來更加有效地評價本文的算法.周期延長率［13］

表示因為駐留約束而相對于FPB的延時率，R越小，越接近FPB，即本文提出的算法性能越好．

表示集束型設(shè)備群中RM的繁忙程度，CF越大，晶圓的最大處理時間和RM完成一次搬運(yùn)所需時間的比例越大，說明RM越空閑，反之表明RM越繁忙．

相關(guān)符號定義如下：FPZ表示處理一批晶圓所需的平均周期時間；FPB表示文獻(xiàn)［3］中的下界周期時間；tpmax表示晶圓在某個集束型設(shè)備中各個PM的最大處理時間；tM表示完成一次搬運(yùn)的時間；N表示每個集束型設(shè)備中的PM的數(shù)目；N?表示文獻(xiàn)［3］中提出的VBM塊的數(shù)目．

為了方便仿真，在不失一般性的前提下，本文假設(shè)晶圓在晶圓流模式上的各個加工時間tp和駐留約束時間tu服從相應(yīng)的正態(tài)分布．此外，根據(jù)對集束型設(shè)備群調(diào)度研究的通行做法，本文假設(shè)機(jī)械手在不同模塊間的搬運(yùn)時間tM，i，hj、tMV，i，hj等相同，并用T表示．最后，假設(shè)集束型設(shè)備群中每個集束型設(shè)備含有的處理腔的數(shù)目相等，并用Np表示．

3.1 運(yùn)算時間分析

為了確定算法是否能夠快速響應(yīng)調(diào)度，對算法運(yùn)行時間進(jìn)行了仿真分析，實驗設(shè)計如下：令m=8；Np=6；T=2；tp～N（40，10）；tu～N（30，5）；依次令晶圓的數(shù)目為：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50，分別計算算法求得調(diào)度結(jié)果的時間.程序運(yùn)行的硬件環(huán)境為320 G硬盤、2 GB內(nèi)存和2.13 GHz主頻英特爾處理器的ACER個人筆記本電腦.運(yùn)行的結(jié)果如圖5所示.

圖5 算法運(yùn)行時間

由圖5可以看出，當(dāng)一次處理的晶圓數(shù)量為25片（1個Lot）時，算法的運(yùn)行時間為0.5 s，也就是說算法可以在0.5 s以內(nèi)完成對1個Lot的優(yōu)化調(diào)度.隨晶圓數(shù)量的增加其算法的求解時間呈單調(diào)遞增.完成兩個Lot的調(diào)度僅用了3.4 s左右，可知算法產(chǎn)生調(diào)度解的時間是比較短的，響應(yīng)時間較快.

3.2 設(shè)備因子對算法的影響

設(shè)備因子CF是反映在集束型設(shè)備群內(nèi)機(jī)械手的裝載、卸載的時間和晶圓在各個PM上加工時間的關(guān)系的指標(biāo)．設(shè)備因子實際上反映的是在集束型設(shè)備群內(nèi)機(jī)械手繁忙程度的函數(shù)．

實驗的設(shè)計如下：令Np=4，T=2；tp～N（40，10），tu～N（30，5）；分別令m=2、3、4、5，求出在CF=1、2、3、4、5、6 時的R值，分析在各種情況下CF對R影響．仿真結(jié)果如圖6所示．

圖6 CF對算法的影響

由圖6可以看出，周期延長率R基本上是隨著CF的逐漸增大而不斷下降，且不同m值的仿真曲線的走向基本相同．當(dāng)CF＞5時，R＜0.05，表明在不同m值的集束型設(shè)備群均取得了較好的調(diào)度效果．而且，在實際中機(jī)械手的搬運(yùn)時間通常相對于晶圓的最大加工時間要小，從而CF較大，所以本文提出的算法具有較好的實際意義．

3.3 集束型設(shè)備群結(jié)構(gòu)對算法的影響

本節(jié)仿真的主要目的是要測試算法對不同的集束型設(shè)備群結(jié)構(gòu)的適應(yīng)性和優(yōu)化性.

首先分析的是集束型設(shè)備群的m值對算法的影響.實驗設(shè)計如下：令Np=4，T=2；tp～N（40，10），tu～N（30，5）；分別令m=2、3、4、5、6、7，計算出相應(yīng)的R值，分析m的變化對算法的性能影響，結(jié)果如圖7所示．

圖7 m對算法性能影響

下面分析每個單集束型設(shè)備里的PM的數(shù)量對算法性能的影響．實驗設(shè)計如下：令m=3，T=2；tp～N（40，10），tu～N（30，5）；分別令Np=2、4、6、8，計算其相應(yīng)的R值，并分析Np變化對算法的性能影響，結(jié)果如圖8所示．

由圖7所示，周期延長率R隨著m的變化，雖然有波動，但總的來說，上下波動的范圍在正負(fù)0.01以內(nèi)，相對來說比較小．由此可見算法對于m變化具有較好的穩(wěn)定性．從圖8也可以看出類似的規(guī)律，即周期延長率R基本上比較平穩(wěn)，沒有發(fā)生太大的波動，算法對于Np變化也具有較好的適應(yīng)性．綜上可知，本文構(gòu)造的算法對不同配置的集束型設(shè)備群具有良好的適應(yīng)性．

圖8 Np值對算法的影響

4 結(jié) 論

1）在提出虛擬緩沖模塊概念的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了基于修正SWAP策略的帶駐留約束限制的可調(diào)度多種晶圓種類的雙臂集束型設(shè)備群的調(diào)度算法，為研究此類問題提供了一種調(diào)度方法.

2）所構(gòu)建的算法運(yùn)行時間短，在調(diào)度1個Lot數(shù)量的晶圓，僅需0.5 s左右，響應(yīng)時間較短.

3）由集束型設(shè)備群的配置對算法影響的分析可知：當(dāng)設(shè)備因子＞5時，周期延長率R已經(jīng)全部＜0.05，表明算法取得了較好的調(diào)度效果；另外，隨著m和Np的變化，周期延長率R雖然有些波動，但總體波動相對較小，算法對不同的集束型設(shè)備群的配置具有較好的適應(yīng)性．

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