從結(jié)構(gòu)化視角探究規(guī)律本質(zhì)
——“探索規(guī)律”教學(xué)的實(shí)踐與思考

江蘇常熟昆承湖外語學(xué)校（215500） 顧雨沁

在低年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，尤其是在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的教學(xué)中，學(xué)生往往在找規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和描述規(guī)律等方面面臨著難題。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)規(guī)律具有抽象、嚴(yán)密和高度概括的特點(diǎn)，將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來對學(xué)生來說是一項(xiàng)挑戰(zhàn)。

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中，第一學(xué)段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域包括“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”，主要的任務(wù)是讓學(xué)生從生活情境中抽象出簡單的數(shù)與數(shù)量關(guān)系，并理解它們的意義，初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號意識和運(yùn)算能力。

本文以蘇教版低年級教材中涉及“探索規(guī)律”的知識為例，對教學(xué)進(jìn)行探討。

一、順應(yīng)兒童表達(dá)，為“探索規(guī)律”提供語言支撐

（一）以圖示意，語言表達(dá)有基礎(chǔ)

蘇教版教材沒有在一、二年級單獨(dú)設(shè)置課時來教授“找規(guī)律”，而是將其作為數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的一部分，教學(xué)要求是結(jié)合相關(guān)內(nèi)容探索簡單的數(shù)和形的變化規(guī)律。

考慮到一年級學(xué)生專注時間較短，語言能力有限，筆者認(rèn)為語言表達(dá)要貫穿整節(jié)課，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。蘇教版教材一年級上冊“練習(xí)二”第一次出現(xiàn)涉及找規(guī)律的內(nèi)容，教材的相關(guān)要求是“接著涂一涂，填一填”。對此，筆者的教學(xué)設(shè)計如下。

【教學(xué)片段1】

師（出示圖1）：從圖的左邊開始觀察，先讀一讀前面的幾個數(shù)，再看看空格應(yīng)該填什么。

圖1

生1：7、9。

師：這叫跳著數(shù)。都是隔著一個數(shù)來從小到大地數(shù)。我們再來讀一讀。

生2：1、3、5、7、9。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，在一年級，教師就應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng)，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的有效途徑。筆者從語言入手，讓學(xué)生樂于表達(dá)，勇于表達(dá)；將數(shù)與形緊密結(jié)合，讓學(xué)生通過全面觀察形成數(shù)感；找數(shù)的規(guī)律與找圖形的規(guī)律相結(jié)合，培養(yǎng)了學(xué)生有序推理的意識，同時讓學(xué)生在不斷數(shù)數(shù)的過程中提升了語言表達(dá)能力。

（二）看圖表意，語言表達(dá)顯梯度

學(xué)生在不同單元的練習(xí)中，通過感受數(shù)字蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)一步理解數(shù)的組成，形成數(shù)感。蘇教版教材一年級上冊的“認(rèn)識11～20 各數(shù)”和一年級下冊的“認(rèn)識100 以內(nèi)的數(shù)”單元的練習(xí)中，多次涉及找規(guī)律填數(shù)（如圖2-1，圖2-2，圖2-3）。

圖2-1

在教學(xué)類似問題時，筆者會讓學(xué)生先觀察，然后讀一讀，發(fā)現(xiàn)題中數(shù)之間的規(guī)律后再填空。學(xué)生會注意到，問題涉及的數(shù)字是按照特定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算的，比如連續(xù)加1、連續(xù)加2、連續(xù)加5、連續(xù)減5等。這樣的教學(xué)能給學(xué)生提供語言支架，促進(jìn)學(xué)生深入探索和思考規(guī)律。

二、基于兒童活動，為“探索規(guī)律”提供探究方式

（一）依托習(xí)題，為規(guī)律探究助力

《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求學(xué)生在探索中使用數(shù)或符號來表達(dá)簡單情境中的規(guī)律變化。雖然一年級教材中呈現(xiàn)的找規(guī)律問題比較簡單，但這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和找規(guī)律能力的起點(diǎn)。在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生繪制一組有規(guī)律的圖形。通過這樣的活動，可以更好地激發(fā)學(xué)生的主動性、實(shí)踐性和創(chuàng)造性，讓他們在實(shí)踐中理解并應(yīng)用規(guī)律。

例如，蘇教版教材一年級上冊“分與合”單元的練習(xí)中編排了找規(guī)律問題，筆者的教學(xué)設(shè)計如下。

【教學(xué)片段2】

師（出示圖3）：“照樣子”是照什么樣子？

圖3

生1：按照一組圖形的規(guī)律的樣子。

師：誰能找到這組圖形的規(guī)律？

生2：我發(fā)現(xiàn)第一行的圖形是正方形、正方形、長方形……

生3：我發(fā)現(xiàn)第二行的圖形是大圓、大圓、大圓、小圓……

生4：我發(fā)現(xiàn)第三行的圖形是小三角形、小三角形、大三角形、大三角形、大三角形……

師：這些圖形的規(guī)律，說得完嗎？

生5：說不完。

師：我們可以說圖形的規(guī)律是“以……為一組，不斷重復(fù)出現(xiàn)”。

師（小結(jié)）：先找到一組圖形，再看看后面的圖形是不是按照這組的樣子重復(fù)出現(xiàn)，如果是，就說明它是有規(guī)律的。大家可以接著畫了。

筆者的教學(xué)分為“觀察規(guī)律—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—描述規(guī)律—畫出規(guī)律”四個層次，凸顯規(guī)律獲得的過程，在操作的過程中，實(shí)現(xiàn)幾何直觀、推理等方法的滲透。一年級學(xué)生能通過觀察圖形大小和形狀的簡單變化，探索圖形排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律進(jìn)行繪畫。在此過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考一些問題，如“第三個大圓后面是什么”“一組中大三角形和小三角形各應(yīng)該有幾個”等。這有助于學(xué)生初步積累對數(shù)學(xué)規(guī)律的感性認(rèn)識。

（二）生成示范，讓規(guī)律探究留痕

在小學(xué)一年級教學(xué)“變式”前，筆者想更全面地了解學(xué)生對規(guī)律的已有認(rèn)識和理解，因此設(shè)計了“自主創(chuàng)造規(guī)律”的活動。

【教學(xué)片段3】

師：你能創(chuàng)造哪些規(guī)律呢？和小組里的同學(xué)說一說。

生1：我按黑圈、黑圈、白圈……畫了圖。

生2：我以2、4、6、8、10為一組，寫了4組。

生3：我以三角形、圓形、正方形為一組，一個接一個畫了10個圖形。

師：有圖形的規(guī)律，還有數(shù)字的規(guī)律。共同點(diǎn)是什么？

生4：一組圖（數(shù)）不斷重復(fù)出現(xiàn)。

筆者設(shè)計學(xué)生感興趣的活動，促進(jìn)他們進(jìn)行探究學(xué)習(xí)。教學(xué)分為“思考規(guī)律—創(chuàng)造規(guī)律—發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)—描述共同點(diǎn)”四個層次。在活動過程中，“畫”與“思”同行，學(xué)生經(jīng)歷創(chuàng)造規(guī)律的過程。不難發(fā)現(xiàn)，一年級學(xué)生更喜歡以圖形為主進(jìn)行表達(dá)，他們從不同的角度詮釋自己對規(guī)律的理解。

學(xué)生在畫中思、在畫中說，猜想、推理融為一體。找準(zhǔn)思維的起點(diǎn)就是要找到學(xué)生頭腦中已有的生活常識，將其利用，并將其關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)概念。教師通過適當(dāng)評價，引發(fā)學(xué)生更多思考，促使他們生成更多富有創(chuàng)造性的表達(dá)，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)積累更多有價值的感悟。

（三）思路梳理，觸規(guī)律探究本源

一年級的學(xué)生對圖形的形狀和顏色非常敏感。當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律并用“不斷重復(fù)出現(xiàn)”來描述規(guī)律時，教師需要讓他們進(jìn)一步掌握研究找規(guī)律問題的一般方法，如“圈一圈”，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容提供必要的思維模式。

例如，如圖4 所示的看圖尋找簡單規(guī)律問題，可以初步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和推理能力，同時幫助學(xué)生鞏固對所學(xué)圖形的認(rèn)識。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生應(yīng)明確觀察范圍，細(xì)化觀察目標(biāo)，并思考“正方體后面是什么”“黑球后面是什么”“白球有幾個”等問題。通過逆向推理，學(xué)生可以推斷出袋子里的物體形狀和盒子里的球的顏色、個數(shù)。這樣的思考方式有助于學(xué)生整合之前零散的知識，并根據(jù)信息靈活運(yùn)用所學(xué)的規(guī)律知識。

圖4

在教學(xué)中，教師可以用“‘變’與‘不變’的是什么”“通過前后位置思考‘不變’的是什么”等問題，幫助學(xué)生按照內(nèi)在的邏輯關(guān)系將找規(guī)律的知識進(jìn)行分類，包括圖形規(guī)律、顏色規(guī)律、個數(shù)規(guī)律等，并逐漸將它們從簡單到復(fù)雜進(jìn)行關(guān)聯(lián)。

三、發(fā)展兒童思維，為“探索規(guī)律”提供結(jié)構(gòu)化教學(xué)

教師需要以結(jié)構(gòu)化的新視角設(shè)計課堂，讓學(xué)生親身經(jīng)歷探索規(guī)律的全過程，體會不同情境下探索規(guī)律的方式的異同，并從中抽象出具有普適性的方法。

（一）適當(dāng)拓展，從古至今靈活運(yùn)用

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，“數(shù)量關(guān)系”主題的加入體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化等概念的學(xué)科本質(zhì)。對蘇教版教材一年級上冊“練習(xí)十一”再次出現(xiàn)的找規(guī)律問題，筆者的教學(xué)設(shè)計如下。

【教學(xué)片段4】

師（出示圖5）：仔細(xì)觀察圖中的點(diǎn)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

圖5

生1：點(diǎn)越來越多，下面一層比上面一層多1個。

師：一層一層地數(shù)一數(shù)。

生2：第一幅圖有1 個點(diǎn)；第二幅圖有2 層，第一層有1 個點(diǎn)，第二層有2 個點(diǎn)，一共有3 個點(diǎn)；第三幅圖有3 層，第一層有1 個點(diǎn)，第二層有2 個點(diǎn)，第三層有3個點(diǎn)，一共有6個點(diǎn)。

師：第二幅圖的3是哪2個數(shù)相加得到的？

生3：1+2=3。

師：第三幅圖的6是哪3個數(shù)相加得到的？

生4：1+2+3=6。

師：要是接著往后畫圖和寫數(shù)，會是什么樣的呢？

生5：1+2+3+4=10，1+2+3+4+5=15。

師：看這些點(diǎn)，一層層積累，像什么？

生6：三角形，還像金字塔。

好問題的本質(zhì)在于能夠持續(xù)地激發(fā)學(xué)生思考。在教學(xué)片段中，通過不同層次的問題引領(lǐng)，將找規(guī)律與連加計算的知識相結(jié)合。從圖形到數(shù)，從數(shù)到算式，從算式回到數(shù)，又從數(shù)回到圖形，學(xué)生嘗試解決新的找規(guī)律問題，探索更為復(fù)雜的規(guī)律。

這樣的教學(xué)方法不僅可以讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，還能進(jìn)一步讓數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化，引導(dǎo)學(xué)生深入探索。

（二）重視聯(lián)結(jié)，刻畫規(guī)律結(jié)構(gòu)特征

蘇教版教材在二年級上冊和五年級下冊都有關(guān)于正方形數(shù)的相關(guān)知識。在二年級上冊，學(xué)生通過數(shù)一數(shù)、算一算的方式初步感知正方形數(shù)；在五年級下冊，學(xué)生則會將其進(jìn)行推廣，并用字母來表達(dá)其中蘊(yùn)含的規(guī)律。

通過將正整數(shù)與正三角形、正方形等圖形聯(lián)系起來，找出三角形數(shù)、正方形數(shù)等，甚至推廣到平面的多邊形數(shù)和空間立體數(shù)。這樣一來，抽象的正整數(shù)結(jié)合了生動的圖形，學(xué)生要厘清圖、算式和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，形成數(shù)學(xué)模型意識，并找到解決一類規(guī)律性問題的策略和方法。

在課堂上，教師不僅要關(guān)注學(xué)生對知識技能的掌握情況，還要注重學(xué)生對一串問題、一類問題之間的聯(lián)系和結(jié)構(gòu)的統(tǒng)整思考。

在蘇教版教材中，“探索規(guī)律”教學(xué)的路徑是清晰可見的，從一個問題、一類問題到全類問題。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)，可以是一個單元或一個課時，從一個“探索規(guī)律”的思維點(diǎn)開始，逐漸形成一串“探索規(guī)律”的思維鏈條，最終構(gòu)建起一個較為完整的“探索規(guī)律”的思維結(jié)構(gòu)網(wǎng)。這樣的過程可以使探索規(guī)律的結(jié)構(gòu)化教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中得以實(shí)現(xiàn)。