平面S 型等線寬與漸變線寬微彈簧彈性系數(shù)分析

程建建,聶偉榮,周織建,黃慶武,焦仁雷

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇南京210094)

0 引言

微彈簧是一種非常重要且典型的MEMS(micro electro-mechanical systems)器件,是微傳感器、微執(zhí)行器和微陀螺儀等的重要組成部分,它不僅可為其提供彈性力,而且能夠傳遞能量[1]。例如:壓電能量采集器[2]和增強(qiáng)型接觸式MEMS慣性開(kāi)關(guān)[3,4]采用S型彈簧單元[5]為其彈性單元;利用L型彈簧單元[5]為結(jié)構(gòu)基本單元,設(shè)計(jì)了一種抗屈服變形的微型探針[6];微型機(jī)電安全預(yù)警開(kāi)關(guān)裝置[7]采用W型彈簧[8]結(jié)構(gòu)。微彈簧的性能對(duì)其他器件能否按照設(shè)計(jì)要求正確發(fā)揮作用起著至關(guān)重要的作用[1,9]。為了設(shè)計(jì)出符合性能要求的平面微彈簧,彈簧彈性系數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算顯得非常重要[5]。文獻(xiàn)[5,8,10]給出了S型、L型、W型與Z型平面微彈簧計(jì)算公式。在慣性環(huán)境作用下的彈簧品質(zhì)系統(tǒng)中,影響彈簧彈性系數(shù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)類型及影響程度將發(fā)生改變,因此這些公式不適用于微慣性開(kāi)關(guān)、微加速度計(jì)等微慣性執(zhí)行器件中彈簧彈性系數(shù)計(jì)算。本文推導(dǎo)了慣性力(即環(huán)境加速度作用于微彈簧品質(zhì)系統(tǒng)而產(chǎn)生的力)作用下,平面S型等線寬微彈簧的彈性系數(shù)理論計(jì)算公式。

平面S型等線寬微彈簧在慣性力作用下,彈簧彈性系數(shù)從其固定錨點(diǎn)處隨著單元節(jié)數(shù)遞增而遞增,彈簧單元位移量隨節(jié)數(shù)的遞增而減小。為了防止錨點(diǎn)處彈簧單元因形變量過(guò)大導(dǎo)致微彈簧失效,本文提出漸變線寬彈簧并推導(dǎo)了其彈性系數(shù)計(jì)算公式。同時(shí)解決了文獻(xiàn)[11]中“同一彈簧的不同節(jié)線寬不一樣對(duì)彈簧剛度的影響”的問(wèn)題。

1 平面微彈簧應(yīng)用環(huán)境

當(dāng)平面微彈簧所受載荷為外界集中力(即等效作用于彈簧自由端的質(zhì)點(diǎn)力)時(shí),集中力對(duì)其任一彈簧單元的作用力相同。因此在線彈性形變范圍內(nèi),任一彈簧單元的彈性系數(shù)相同,并僅與彈簧的材料屬性及其結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān),與外界載荷無(wú)關(guān)(MEMS器件中的平面微彈簧在一定設(shè)計(jì)條件下,可以保證其變形在線彈性形變范圍內(nèi))。在非慣性環(huán)境工作過(guò)程中,微彈簧任一彈簧單元的變形量和最大正應(yīng)力分別相同。

根據(jù)牛頓第二定律F＝ma,可知慣性力與結(jié)構(gòu)品質(zhì)、環(huán)境加速度相關(guān)。微慣性器件探測(cè)的環(huán)境加速度值域可從零到十幾萬(wàn)個(gè)重力加速度。器件中平面彈簧所承受的慣性力不可忽略。通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到平面S型等線寬微彈簧在錨點(diǎn)處彈簧單元最大正應(yīng)力與形變量最大。與非慣性器件中微彈簧單元相比,S型漸變線寬彈簧從錨點(diǎn)處開(kāi)始,彈簧單元線寬順次減小,可使彈簧單元在慣性環(huán)境中的彈性系數(shù)隨著單元節(jié)數(shù)的遞增而減小。因此其彈簧單元之間的形變量和最大正應(yīng)力分別近似相等。

2 S型彈簧彈性系數(shù)分析

平面S型等線寬微彈簧由n個(gè)結(jié)構(gòu)相同的U型單元組成,如圖1所示。質(zhì)量塊(其體積為Vem)與平面S型等線寬彈簧的第一個(gè)U型單元的頂端相連接。y軸向集中力Fe作用在質(zhì)量塊質(zhì)心,第n個(gè)U型單元底端固定,U型彈簧單元發(fā)生線彈性形變。彈簧的彈性系數(shù)Ke計(jì)算公式為[2]:

其中:U型單元的柔度系數(shù)δe計(jì)算公式為:

式中:E為材料的彈性模量,B為彈簧線寬,L為彈簧直梁長(zhǎng)度,R為彈簧彎半徑,H為結(jié)構(gòu)厚度,n為U型彈簧單元個(gè)數(shù)。

圖1 平面S型等線寬彈簧受力圖

僅在環(huán)境加速度a作用下(無(wú)集中力Fe作用),S型等線寬彈簧的U型單元發(fā)生線彈性形變。在線彈性范圍內(nèi),利用力學(xué)能量法(卡爾第二定理):

式中:Vε為應(yīng)變能,Fi任一載荷,δi為Fi方向的位移量。

可求解任一U型單元y軸方向的位移量δy:

式中:My(x)為產(chǎn)生的δy力偶矩,Fei為y軸正方向的慣性力,I為U型彈簧單元的慣性矩。

S型平面彈簧U型彈簧單元柔度系數(shù)計(jì)算公式:

包含n個(gè)U型單元的平面S型彈簧的彈性系數(shù)計(jì)算公式:

因此U型單元的柔度系數(shù)為S型平面彈簧彈性系數(shù)的計(jì)算基礎(chǔ)。

在環(huán)境加速度a作用下,平面S型等線寬彈簧U型單元的柔度系數(shù)δean計(jì)算式為:

平面S型漸變線寬微彈簧由n個(gè)結(jié)構(gòu)類似的U型彈簧單元構(gòu)成,如圖2所示。平面S型漸變線寬微彈簧的第一個(gè)U型單元的頂端與質(zhì)量塊(其體積為Vsm)相連接。y軸正向集中力Fs作用于質(zhì)量塊質(zhì)心,第n個(gè)U型彈簧單元的底端固定。n個(gè)U型單元發(fā)生線彈性形變。利用上述力學(xué)能量法,求解得到在集中力Fs作用下,平面S型漸變線寬彈簧U型單元的柔度系數(shù)δsn計(jì)算式為:

圖2 平面S型漸變線寬彈簧受力圖

式中:Bn為彈簧寬度,L為彈簧直梁長(zhǎng)度。為了減小微彈簧應(yīng)力集中,采用圓弧作為相鄰直梁之間的過(guò)渡環(huán)節(jié)。Rn為彈簧彎半徑,相鄰直梁間線寬關(guān)系式為Bn＋1＝Bn＋q。θ(0<θ<π)為圓弧角,線寬增量q(q>0)為相鄰直梁線寬差。在慣性力與結(jié)構(gòu)參數(shù)保持不變下,S型彈簧U型單元過(guò)渡環(huán)節(jié)應(yīng)力近似關(guān)系式為:

在環(huán)境加速度a作用下(無(wú)集中力Fs作用),S型彈簧的U型單元發(fā)生線彈性形變。利用上述方法求解得在環(huán)境加速度a作用下,平面S型漸變彈簧的U型單元的柔度系數(shù)δsan計(jì)算式為:

采用文獻(xiàn)[12]估算UV－LIGA工藝電鑄薄膜材料的楊氏模量方法,選取鎳材料的彈性模量E＝1.6×1011Pa,泊松比μ＝0.312,材料密度ρ＝8 910 kg/m3。平面微彈簧由n個(gè)U型單元組成,U型單元決定了彈簧的基本結(jié)構(gòu)特性。本文主要分析U型彈簧單元的彈性系數(shù),采用ANSYS Workbench 14.0仿真軟件進(jìn)行驗(yàn)證。通過(guò)進(jìn)行仿真值與理論值的相對(duì)誤差計(jì)算,可得平面微彈簧在集中力作用下,彈性系數(shù)誤差小于3%;在慣性力作用下,相對(duì)誤差平均小于5%。上述理論公式可信。

等線寬微彈簧U型單元的最大正應(yīng)力近似計(jì)算公式

漸變線寬微彈簧U型單元的最大正應(yīng)力近似計(jì)算公式:

圖3 慣性力S型漸變線寬與等線寬彈簧性能

選取S型等線寬彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù) B＝16.5 μm,L＝700 μm,R＝70 μm,H＝ 50 μm,n＝ 7,Vem＝ 2.5×10－12m2。 S型漸變線寬彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù) Bn＝ 15 μm,L＝ 700 μm,Rn＝70 μm,H＝50 μm,q＝1.8 μm,Vsm＝2.5×10－12m3。 在環(huán)境加速度a＝5 m/s2作用下,S型漸變與等線寬彈簧性能如圖3所示。彈簧y軸正向的位移量如圖3(a)所示,等線寬彈簧隨節(jié)數(shù)n增加而增加;漸變彈簧位移量隨節(jié)數(shù)n增加近似保持不變。彈簧最大正應(yīng)力,如圖3(b)所示,等線寬彈簧隨節(jié)數(shù)n增加而增大;漸變彈簧最大正應(yīng)力隨節(jié)數(shù)n增加而近似保持不變。

3 結(jié)論

本文推導(dǎo)了慣性力作用下,平面S型等線寬微彈簧彈性系數(shù)的理論計(jì)算公式;并在此基礎(chǔ)上,提出了漸變線寬彈簧,推導(dǎo)了其彈性系數(shù)計(jì)算公式。利用仿真軟件驗(yàn)證了推導(dǎo)理論公式的正確性,以及集中力與慣性環(huán)境下彈簧彈性系數(shù)的區(qū)別。分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈簧彈性系數(shù)的影響程度。通過(guò)分析彈簧U型單元位移量與最大正應(yīng)力,表明了在慣性環(huán)境下,S型漸變線寬彈簧的U型單元在慣性力作用下,其變形量與應(yīng)力都是均勻分布,因此抗過(guò)載能力較好。為微慣性器件的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一定的理論依據(jù)。

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