平面向量中不得不提的一個(gè)恒等式

●單長(zhǎng)松 (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院教育碩士 浙江金華 321004)

平面向量中不得不提的一個(gè)恒等式

●單長(zhǎng)松 (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院教育碩士 浙江金華 321004)

高中數(shù)學(xué)中存在著大量等量關(guān)系，如立方差(和)公式、二項(xiàng)展開式、兩角和與差公式等.在高中數(shù)學(xué)中常能見(jiàn)到這些等量關(guān)系的身影，這也是高中教學(xué)重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象.但有些等量關(guān)系看似冷門甚至課本上都不出現(xiàn)，但它在問(wèn)題解決過(guò)程中卻能起到立竿見(jiàn)影的效果，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的快速“秒殺”.

1 極化恒等式

圖1

極化恒等式最初出現(xiàn)于高等數(shù)學(xué)中的泛函分析，它表示數(shù)量積可以由它誘導(dǎo)出的范數(shù)來(lái)表示.把這個(gè)極化恒等式降維至二維平面得

2 極化恒等式的應(yīng)用

自向量引入高中數(shù)學(xué)以后，由于它獨(dú)特的性質(zhì)(代數(shù)與幾何的橋梁)，在近幾年全國(guó)各地的高考中迅速成為創(chuàng)新題命制的出發(fā)點(diǎn)，在浙江省數(shù)學(xué)高考中尤為突出，也出現(xiàn)了一些非常精美的向量題.

這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)就是極化恒等式.

下面我們?cè)賮?lái)看2013年浙江省數(shù)學(xué)高考選擇題第7題：

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖2

分析如圖2，取 BC的中點(diǎn) D，聯(lián)結(jié) PD，P0D，在△PBC內(nèi)使用極化恒等式得在△P0BC內(nèi)使用極化恒等式得

由條件知恒有PD≥P0D，即P0D⊥AB，故AC=BC.

很多一線教師都認(rèn)為這個(gè)題目在10個(gè)選擇題中是最難的，應(yīng)該放在壓軸的位置.筆者卻不這樣認(rèn)為，其實(shí)這個(gè)題目只是在例1的基礎(chǔ)上對(duì)極化恒等式的應(yīng)用靈活化，步子邁得更大一些而已.這個(gè)題目的姊妹題也出現(xiàn)在2013年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中.

圖3

例3如圖3，已知直線AB與拋物線y2=4x交于點(diǎn)A，B，M 為 AB 的中點(diǎn)，C 為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若C0滿足則下列一定成立的是( ).

A.C0M⊥AB

B.C0M⊥l，其中l(wèi)是拋物線過(guò)點(diǎn)C0的切線

C.C0A⊥C0B

即拋物線y2=4x上所有點(diǎn)到M的距離最近的點(diǎn)即為C0，故以M為圓心、MC0為半徑的圓與拋物線內(nèi)切.故選B.

除此之外，還有許多優(yōu)秀的題目.

例4設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上(如圖4所示)，則的取值范圍是 .

圖4

圖5

分析取CD中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)PE，在△PDC內(nèi)使用極化恒等式得

3 極化恒等式帶來(lái)的反思

(1)極化恒等式源于教材又高于教材.在△ABC中，

是課本上出現(xiàn)的2個(gè)重要的向量三角關(guān)系，而極化恒等式無(wú)非就是這2個(gè)公式的逆用.

(2)具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題利用極化恒等式考慮尤為簡(jiǎn)單，讓“秒殺向量”成為另一種可能.

(3)向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁，由于向量的坐標(biāo)運(yùn)算引入，向量與代數(shù)的互換運(yùn)算可以說(shuō)是深入人心，而與幾何的運(yùn)算聯(lián)系略顯單薄.而極化恒等式恰恰彌補(bǔ)了這個(gè)缺憾，可以說(shuō)極化恒等式應(yīng)該是把向量的數(shù)量積問(wèn)題用形象的幾何圖形展示得淋漓盡致.