Weitzenbock不等式的一個有趣隔離

●秦慶雄 范花妹 (漾濞縣第一中學 云南漾濞 672500)

Weitzenbock不等式的一個有趣隔離

●秦慶雄 范花妹 (漾濞縣第一中學 云南漾濞 672500)

1919年，Weitezenbock提出了關于三角形的著名不等式：，當且僅當△ABC為等邊三角形時，等號成立.關于它的推廣與加強被廣泛研究，但大多數(shù)是增加不等式右邊的項數(shù)，如著名的Finsler-Hadwiger不等式當且僅當△ABC為等邊三角形時，等號成立.本文從新的角度給出它的一個有趣隔離如下：

定理在△ABC 中，設 a，b，c分別為 BC，CA，AB 的邊長，相應于頂點 A，B，C 的中線長為 ma，mb，mc，內(nèi)角平分線長為 wa，wb，wc，高線長分別為 ha，hb，hc，△ABC 面積記為 S，則

當且僅當△ABC為等邊三角形時，等號成立.

我們先證以下引理.

引理在△ABC 中，相應于頂點 A，B，C 的中線長為 ma，mb，mc，內(nèi)角平分線長為 wa，wb，wc，高線長分別為 ha，hb，hc，則

由上述證明過程可獲得一個有趣的恒等式：在△ABC中，設a，b，c分別為BC，CA，AB的邊長，相應于頂點 A，B，C 的中線長為 ma，mb，mc，△ABC 面積記為 S，則

文末，筆者提出一個猜想，供有興趣的讀者探究.

猜想在△ABC 中，設 a，b，c，分別為 BC，CA，AB 的邊長，相應于頂點 A，B，C 的中線長為 ma，mb，mc，內(nèi)角平分線長為 wa，wb，wc，高線長分別為 ha，hb，hc，△ABC 的面積記為 S，則

［1］博特馬.幾何不等式［M］.單墫，譯.北京：北京大學出版社，1991：46-49.