淺談一元二次不等式的解法

孫麗香

摘 要：一元二次不等式是初中一元一次不等式及一元一次不等式組的延續(xù)和深化，并且與后面的函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容密切相關(guān)。它是中等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，通過歸納一元二次不等式的解法，可以學(xué)生提高解一元二次不等式的能力。

關(guān)鍵詞：一元二次不等式；中等數(shù)學(xué)；解法

只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式為：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）。當(dāng)a<0時(shí)，我們可以運(yùn)用不等式的性質(zhì)（不等式左右兩邊同時(shí)乘以-1，不等號(hào)的方向改變），把二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)。下面我們以a>0的情況來舉例說明一元二次不等式的幾種解法。

一、因式分解法

當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2時(shí)，運(yùn)用因式分解法可將ax2+bx+c因式分解為a（x-x1）（x-x2）再根據(jù)積的符號(hào)法則（兩個(gè)數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)），將原不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次不等式。它們的解集的并集就是一元二次不等式的解集。

例1 解不等式：x2+5x+4>0.

解：因?yàn)椤?b2-4ac=52-4×1×4=

9>0 ，則x2+5x+4=（x+4）（x+1）

所以原不等式可化為

（x+4）（x+1）>0

=

x+4>0 或 x+4<0

x+1>0 x+1<0

不等式組A的解集為（-1，+∞）

不等式組B的解集為（-∞，-4）

所以原不等式的解集為（-1，+∞） ∪（-∞，-4）。

二、配方法

配方法是利用完全平方公式把a(bǔ)x2+bx+c轉(zhuǎn)化為a（x+h）2+k的形式。因?yàn)閍（x+h）2≥0，所以，當(dāng)k<0時(shí)，一元二次不等式可以用因式分解法解；當(dāng)k=0時(shí)，ax2+bx+c>0的解集是{x│x≠-h}，a（x+h）2≥0的解集R，ax2+bx+c<0的解集是φ，a（x+h）2≤0的解集是{x│x=-h}；當(dāng)k>0時(shí)，ax2+bx+c>0及ax2+bx+c≥0的解集是R，ax2+bx+c<0及ax2+bx+c≤0的解集是φ。

例2解不等式：x2+6x+9>0。

因?yàn)閤2+6x+9=（x+3）2 ，所以原不等式可轉(zhuǎn)化為（x+3）2 >0.只要x+3≠0，即 x≠-3，（x+3）2 >0. 所以原不等式的解集為{x│x≠-3}。

三、圖像法

圖像法是利用一元二次不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖像，結(jié)合直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出不等式解集的方法。

通常，利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像解相應(yīng)的一元二次不等式，可以分為三步：第一步：確定相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式△=b2-4ac，從而確定二次函數(shù)圖像與x軸的位置關(guān)系；如果有交點(diǎn)，則利用方程 ax2+bx+c=0解出其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第二步：畫出相應(yīng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的簡圖；第三步：觀察簡圖，寫出不等式的解集。

例3 解不等式：x2+3x+4<0。

解：由判別式△=b2-4ac=-7<0可知，函數(shù)y=x2+3x+4的圖像與x軸無交點(diǎn)，其簡圖如圖所示。

觀察圖像，可得不等式x2+3x+4<0的解集為φ。

四、根軸法

根軸法是利用方程ax2+bx+c=0的根和x軸解一元二次不等式的方法。

當(dāng)一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)大于0，相應(yīng)的一元二次方程判別式大于0時(shí)，可以先將二次三項(xiàng)式因式分解，求出相應(yīng)一元二次方程的解。如果不等式符號(hào)小于0，則它的解集為兩解之間；如果不等式符號(hào)大于0，則它的解集為兩解之外；如果不等式符號(hào)含等于的，則它的解集包括兩解。

例4 解不等式：x2+5x>0。

解：x2+5x>0

=

x（x+5）>0，因?yàn)榉匠蘹（x+5）=0 的兩個(gè)解為x1=-5，x2=0，所以不等式x2+5x>0的解集為（-∞，-5） ∪（0，+∞）。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉朝斌.解一元二次不等式的幾點(diǎn)技巧[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004（03）.

[2]賀小虎.一元二次不等式的新解法[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（02）.

（作者單位：深圳市第二職業(yè)技術(shù)學(xué)校）