可換半群作用下的n 敏感

曾眺英

(嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 梅州 514015)

0 引言

設(shè)X 是以d 為其度量的緊致度量空間，f，g：X→X 為可換的連續(xù)映射，即gof=fog.令

則S 關(guān)于映射的復(fù)合構(gòu)成一個(gè)可換的幺半群，并且關(guān)于其上的離散拓?fù)?S，o)是一個(gè)有有限生成元(f，g，IdX)的拓?fù)浒肴?以(X，S)表示由S 在空間X上的作用所定義的動(dòng)力系統(tǒng).

在N2上定義加法運(yùn)算，(m，n)+(p，q)=(m+p，n+q)，那么(N2，+)是一個(gè)關(guān)于離散拓?fù)涞耐負(fù)淙海⑶?N2，+)與(S，o)同構(gòu).

假設(shè)(X，S)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，其中X 是一個(gè)完備度量空間，S={fmgn：(m，n)∈N2}，f，g：X→X 為X 上的可換連續(xù)自映射.易見ρ：(X×X)×(X×X)→R+，ρ((x，y)，(u，v))=max{d(x，u)，d(y，v)}為X×X 上的一個(gè)完備度量.此外，對(duì)于任意(m，n)∈N2，由可換映射f，g：X→X 誘導(dǎo)了X×X 上的連續(xù)自映射(fmogn)×(fmogn)：X×X→X×X，其定義如下：

((fmogn)×(fmogn))(x，y)=(fmogn(x)，(fmogn(y)).在集合S?S：={(fmogn)×(fmogn)：(m，n)∈N2}上規(guī)定乘法“*”如下：((fmogn)×(fmogn))*((fpogq)×(fm+pogn+q)×fm).易見S?S，仍然是一個(gè)幺半群.將S?S 在X×X 上的作用定義的動(dòng)力系統(tǒng)簡(jiǎn)記為(X×X，S?S).

動(dòng)力系統(tǒng)中的n 初值敏感的概念是熊金城教授在文獻(xiàn)［1］提出的.對(duì)給定的整數(shù)n≥2，系統(tǒng)(X，T)稱為n 初值敏感的是指，存在ε＞0，使得對(duì)任意非空開集U 均存在互異的點(diǎn)x1，x2，…，xn∈U 和自然數(shù)m∈N 滿足min{d(Tmxi，Tmxj)：1≤i≠j≤n}≥ε.這樣的ε＞0 稱為系統(tǒng)(X，T)的一個(gè)n 初值敏感常數(shù).

用Furstenberg 族的語言探討拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)是近年來的熱點(diǎn)問題.族的概念最早可追溯到在一般拓?fù)鋵W(xué)與數(shù)理邏輯中濾子的使用，但這種用族的觀點(diǎn)來研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的思想首先在1955 年由Gottschalk 和Hedlund 引入的.之后許多數(shù)學(xué)工作者沿著這一思想進(jìn)行了有意義的討論.但真正得到發(fā)揚(yáng)光大的是Furstenberg 及其合作者，他在其經(jīng)典著作［2］中將這一思想進(jìn)行了深刻而又漂亮的闡述，他的工作將拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)與遍歷理論的應(yīng)用深刻置入組合數(shù)論與Ramsey 理論之中，對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)分支有著廣泛而深遠(yuǎn)的影響.在最近的幾十年，F(xiàn)urstenberg 的追隨者根據(jù)這一想法在各個(gè)相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行了富有成效的研究.文獻(xiàn)［3］用族語言探討了n初值敏感性，并得到了一些基本性質(zhì).

本文嘗試?yán)肍urstenberg 族的語言，討論在可換半群作用下的n 初值敏感性.Furstenberg 族的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，詳情請(qǐng)參見文獻(xiàn)［4］.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S 為自然數(shù)集的笛卡兒積N2的所有子集構(gòu)成的集合.??S 稱為一個(gè)Furstenberg 族，如果它是向上遺傳的，即若F1?F2并且F1∈?，則F2∈?.一個(gè)Furstenberg 族? 是一個(gè)常義Furstenberg 族當(dāng)?∈? 且N2∈? 僅當(dāng)?∈p 且N2∈p.Furstenberg 族的對(duì)偶族定義為：

κ?={F∈S：N2-F??}={F∈S：F∩F'≠?，對(duì)于所有F'∈? 成立}.易見，它也是一個(gè)族.若?為常義族，則κ? 也是常義族.如果F，F(xiàn)1和F2都是常義族，則有κ(kF)=F，并且F1?F2蘊(yùn)涵κF2?κF1.?1與?2的乘積?1·?2定義如下：?1·?2={F1∩F2：F1∈?1，F(xiàn)2∈?2}.以β 表示由N2的所有無限子集構(gòu)成的族，則β 是一個(gè)Furstenberg 族，并且其對(duì)偶族κβ 是所有余有限集所構(gòu)成的族.一個(gè)Furstenberg 族F 稱為滿的，如果它為常義族并且滿足κ?·??β.

對(duì)于U，V?X，記Nf，g(U，V)={(m，n)：(fmgnU)∩V≠?}，稱為集合U 和V 的碰撞時(shí)間集.特別地，當(dāng)U 是某獨(dú)點(diǎn)集{x}，我們簡(jiǎn)單地記Nf，g({x}，V)為Nf，g(x，V)，并且稱之為點(diǎn)x 在集合V 中的回復(fù)時(shí)間集.

對(duì)于A，B?X，定義d(A，B)=inf{d(a，b)：a∈B}.當(dāng)A={a}時(shí)，以d(a，B)表示d(A，B).?δ＞0和X 的任意子集A，記［A］δ={x∈X：dust(x，A)＜δ}，其中dist(x，A)=inf{d(x，y)：y∈A}.并且△δ={x，y}∈X2：d(x，y＜δ)，易知，

稱點(diǎn)x 為集合A 的一個(gè)?-貼附點(diǎn)，如果點(diǎn)x在集合A 中的回復(fù)時(shí)間集屬于?，即N(x，A)∈?.集合A 的所有?-貼附點(diǎn)x 構(gòu)成的集合，記作?(A，S)，稱之為集合A 的?(A，S)貼附集.明顯地有：?稱Furstenberg 族? 是與系統(tǒng)(X，T)兼容的［5］，如果每一個(gè)開集U?X 的?-貼附集?(U，T)是一個(gè)Gδ集.

設(shè)??β 是一個(gè)族，稱系統(tǒng)(X，T)為? 傳遞的，是指對(duì)X 的任意非空開集U，V，N(U，V)∈? 成立.如果存在點(diǎn)x∈X，使得對(duì)X 的任意非空開集U，均有N(x，U)∈?，則稱點(diǎn)x 為系統(tǒng)(X，T)的一個(gè)? 傳遞點(diǎn)，X 的全體傳遞點(diǎn)記為Trans?(X，T).

2 主要結(jié)果

定義［3］??β，對(duì)于取定的自然數(shù)n≥2，系統(tǒng)(X，T)稱為?-n-初值敏感的是指，存在ε＞0，使得對(duì)任意非空開集U 均存在n 個(gè)互異的點(diǎn)x1，x2，…，xn∈U 滿足{m∈Z+：min{d(Tm(xi)，Tm(xj))：1≤i≠j≤n}＞ε}∈?.這樣的ε＞0 稱為系統(tǒng)(X，T)的一個(gè)?-n-初值敏感常數(shù).

定義1??β，對(duì)于取定的自然數(shù)n≥2，系統(tǒng)(X，T)稱為?-ε-n 初值敏感的是指，存在ε＞0，使得對(duì)任意非空開集U 均存在n 個(gè)互異的點(diǎn)x1，x2，…，xn∈U 滿足{(m，n)∈N2：min{d(fmgn(xi)，fmgn(xj))：1≤i≠j≤n}＞ε}∈?.這樣的ε＞0 稱為系統(tǒng)(X，T)的一個(gè)?-ε-n 初值敏感常數(shù).

設(shè)π：X→Y 為連續(xù)映射，如果X 的非空開集在π 下的像集具有非空內(nèi)部，則稱π 為半開的.下面說明，在可換半群作用下的?-ε-n 初值敏感可以被因子映射所提升.

命題1? ?β，設(shè)(X，T)和(Y，S)是兩個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)且因子映射π：X→Y 是半開的.如果(Y，S)是?-ε-n 初值敏感的(n≥2)，那么(X，T)也是?-ε-n 初值敏感的.

證明設(shè)ε＞0 是(Y，S)的?-ε-n 敏感常數(shù).由π 的連續(xù)性知：若d(y1，y2)＞ε 且π(xi)=yi，i=1，2，則存在ε＞0 使d(x1，x2)＞ε.

設(shè)U 是X 的任意非空開集，由于π 是半開的，則π(U)包含了一個(gè)Y 的非空開子集V.于是對(duì)于ε＞0，存在n 個(gè)不同的點(diǎn)y1，…，yn∈V，使得：A=≠j≤n}＞ε'}.選取x1，…，xn∈U 且π(xi)=(yj)，1≤i≤n，則，即系統(tǒng)(X，T)是?-ε-n 初值敏感的.

命題2設(shè)π：X→Y 為系統(tǒng)(X，T)到(Y，S)的因子映射，且是一個(gè)常義族，則

(1)如果(X，T)是? 傳遞的，那么(Y，S)也是?傳遞的；

(2)如果(X，T)的? 傳遞點(diǎn)集非空，則(Y，S)的? 傳遞點(diǎn)集也非空，且

證明(1)任給Y 中的非空開集U，V，π-1U，π-1V 是X 中的非空開集，由條件知：N(π-1U，π-1V)∈?，且A={(m，n)∈N2：(π-1U)∩(T2-nT1-m(π-1V))≠?}∈?，因?yàn)閛π，得(V))≠?}=A∈?，由于π 是滿射，有

∈?，即(Y，S)也是? 傳遞的.

(2)設(shè)x 為X 的? 傳遞點(diǎn)，V 為Y 的任意非空開集，則π-1V 為X 中的非空開集.由條件，對(duì)于系統(tǒng)(X，T)有：N(x，π-1V)∈?，由于，得N(π(x)，V)∈?：對(duì)于系統(tǒng)(Y，S)成立.

定理設(shè)? 是與系統(tǒng)(X，S)兼容的Furstenberg族，并且κ? 是可數(shù)生成的，若存在ε＞0，使得系統(tǒng)是?-ε-n 初值敏感的，則集合X2-?(X2-是第一綱的Fσ集.

證明設(shè)г 是κ? 的可數(shù)生成元，則

下證：任意F∈?，

即存在(x，y)∈X2，和λ＞0，使得

對(duì)于任意(z1，…，zn)∈B(x，λ)和(m，n)∈N2，因?yàn)?/p>

(?F0∈г ?κ?.故因此對(duì)任意(z1，…，zn)∈B(x，λ)，NS?S((z1，…，zn)，

這與S 是?-ε-n 初值敏感矛盾，定理得證.