基于有限元方法的木材含水率和密度空間分布模型1)

周 正 孫麗萍 姜 濱

(東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150040)

木材干燥處理前，確定木材的初始含水率和初始密度的空間分布，不但能為木材干燥過(guò)程中各參數(shù)的設(shè)定提供參考依據(jù)，而且對(duì)提高木材干燥質(zhì)量具有重要意義[1]。木材具有各向異性和非均勻性的特點(diǎn)[2]，大部分計(jì)算模型并不能有效地描述木材含水率和木材密度的空間分布。

在工程分析領(lǐng)域，有限元方法是用來(lái)解決邊界問(wèn)題近似解的數(shù)值處理方法[3]。利用有限元方法分析實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能否精確對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行網(wǎng)格劃分，會(huì)對(duì)最終的仿真結(jié)果產(chǎn)生很大的影響[4]。影響選擇網(wǎng)格類型的主要因素有[5]:研究對(duì)象的幾何特征(形狀、尺寸等)，仿真的精度要求，計(jì)算機(jī)的配置和對(duì)計(jì)算時(shí)間的要求等。隨著人們對(duì)有限元法越來(lái)越深入的研究，其應(yīng)用范圍越來(lái)越廣泛[6]，有限元網(wǎng)格的劃分方法也越來(lái)越多[7]，目前應(yīng)用較為廣泛的方法主要有以下幾種:全局正交網(wǎng)格[8]、PEBI網(wǎng)格[9]、角點(diǎn)網(wǎng)格[10]和控制體積有限元網(wǎng)格[11]。根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和試驗(yàn)的需要，本文采用控制體積有限元方法對(duì)板材模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。建立了木材含水率和密度空間分布的數(shù)學(xué)模型。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 有限元網(wǎng)格的生成

試驗(yàn)中，為了減少計(jì)算量，只研究板材的四分之一。劃分有限元網(wǎng)格時(shí)，把板材的立體模擬圖劃分為若干個(gè)三角棱柱體，即:每一個(gè)子單元都為空間圖形，能夠在三維坐標(biāo)中表達(dá)出來(lái)。三維有限元網(wǎng)格的建立方法，是在建立二維有限元網(wǎng)格方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，原理:首先在xy平面上建立三角網(wǎng)格，然后在z軸方向?qū)⒚總€(gè)三角網(wǎng)格延伸形成空間的三角棱柱體。圖1表示在x－y平面上對(duì)板材橫斷面進(jìn)行了網(wǎng)格劃分，共有2045個(gè)子單元;圖2表示在z軸上對(duì)板材徑向進(jìn)行了網(wǎng)格劃分，幾何比率為1.05;圖3是四分之一板材在空間上的網(wǎng)格模型，總共有12270個(gè)子單元。

圖1 x－y平面上的網(wǎng)格劃分

1.2 板材的初始密度分布

試驗(yàn)用板材包括早材與晚材，密度分布在248～1113 kg/m3之間，平均密度為 476.43 kg/m3，木材的紋理角度處于 27.83°～91.40°。根據(jù)板材的密度和紋理角度對(duì)每個(gè)網(wǎng)格進(jìn)行賦值，為了把密度分散到每個(gè)網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)上，用體積加權(quán)平均算法計(jì)算(見(jiàn)式(1))。

式中:ρ0i是在i點(diǎn)木材密度的計(jì)算值;Ei包含了以i點(diǎn)為頂點(diǎn)的子單元;Vj是與節(jié)點(diǎn)i相關(guān)聯(lián)的子單元j的體積;N是整體網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù)。式(1)中的分母等于節(jié)點(diǎn)周圍的體積總和，分子等于分母中節(jié)點(diǎn)i周圍體積的固體質(zhì)量。

圖2 z軸上的網(wǎng)格劃分

圖3 板材的有限元網(wǎng)格模型

1.3 板材的初始含水率分布

由于木材的多孔性，在干燥前板材的溫度分布有一定規(guī)律，假設(shè)板材的最初溫度與周圍溫度相同。板材最初的含水率需要通過(guò)一個(gè)非線性方程確定，這個(gè)非線性方程需要同時(shí)滿足毛細(xì)力的平衡方程和總質(zhì)量平衡方程。對(duì)于一個(gè)具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的有限元網(wǎng)格，N+1階的非線性方程為:

式(2)中的坐標(biāo)函數(shù)為:

式中:解向量 S=(Sw1，Sw2，…，SwN，Pceqm)T，Swi為節(jié)點(diǎn)i處的液體飽和度;Pceqm為平衡毛細(xì)管壓力;ˉX為板材初始平均含水率;Xfsp為板材的纖維飽和點(diǎn);?為板材的孔隙率;Vi為節(jié)點(diǎn)i的體積。

再利用牛頓法解非線性方程組:

式中:δsk為牛頓修正矢量，Am為雅各比矩陣的近似值。

其中，矩陣中的各項(xiàng)能夠根據(jù)一階有限差分逼近原理計(jì)算出來(lái)。未知量的次序保證了系統(tǒng)通過(guò)因式分解獲得牛頓校正，通常情況下，經(jīng)過(guò)十次迭代就能得到木材初始平均含水率的收斂解，然后通過(guò)公式(8)可以求出在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的木材初始含水率。

2 仿真結(jié)果及分析

根據(jù)建立的木材初始密度模型，得到圖4所示的板材四分之一的木材密度分布圖。在圖4中可以明顯地看出，不同年輪周圍板材密度的變化;仿真圖中的深色區(qū)域是密度較低的早材，而淺色區(qū)域則是密度較高的晚材。

圖4 板材的初始密度分布(單位:kg/m3)

根據(jù)建立的木材初始含水率的數(shù)學(xué)模型，得到圖5的板材四分之一的木材含水率分布圖。板材的初始含水率分布在63.2% ～296.7%之間，從仿真圖中可以明顯地看到晚材的含水率低于早材的含水率。

圖5 板材的初始含水率分布(單位:%)

3 結(jié)束語(yǔ)

討論了利用有限元方法建立木材含水率和密度空間分布模型的必要性、可行性和優(yōu)勢(shì)，通過(guò)控制體積有限元方法對(duì)板材模型進(jìn)行了網(wǎng)格劃分，采用了有限元法將方程離散化，從而建立了木材含水率和密度空間分布的數(shù)學(xué)模型，最后通過(guò)建立三維仿真圖驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。因此，利用有限元方法研究木材含水率和密度的空間分布是一種可行的、較為精確的方法。

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