對一道數(shù)學(xué)例題的教學(xué)思考

馬海龍

摘 要 本文結(jié)合一道課堂例題，從數(shù)學(xué)、學(xué)生、教學(xué)三個角度深入分析造成學(xué)生“假懂”的原因，進(jìn)而闡述了在教學(xué)中既要正視學(xué)生的思維水平現(xiàn)實，放低教學(xué)的思維起點(diǎn)，又要充分借助學(xué)生的原有知識經(jīng)驗，以生動活潑的思維教學(xué)為主線，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象，最終實現(xiàn)在理性思維的層面理解和運(yùn)用概念，實現(xiàn)為促進(jìn)學(xué)生的理解而教學(xué)。

關(guān)鍵詞 假懂 理解 思維 理性

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）15-0036-03

一、從一個教學(xué)片斷說起

教師：回顧上述解題思路，數(shù)列求和型的不等式，要向有利于求和的方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化（不少同學(xué)似有所悟，微微點(diǎn)頭回應(yīng)）。

教師：下面請看下一題。

課后，筆者問坐在教室后排的兩位同學(xué)：“懂了嗎？”他們說：“懂了！”筆者接著問：“答案蓋住，自己做下試試看。”兩位同學(xué)想了想，試著寫了一下，放縮還是無法完成。

可見，學(xué)生的“懂”是“假懂”，而非“真懂”。

二、學(xué)生“假懂”的原因分析

1.從數(shù)學(xué)的角度看

上文的例題，其解答的思維過程包括一下兩個方面：

一是要熟知高中數(shù)列常見的求和方法，如：常數(shù)列求和，周期數(shù)列求和，等差數(shù)列求和，等比數(shù)列求和，倒序相加求和，錯位相減求和，裂項相消求和法等，解題時要能從題目信息中聯(lián)想到已知的求和方法。從求和式Tn=++++…+的結(jié)構(gòu)特征可以提示我們應(yīng)采用的是裂項相消求和法，這是后續(xù)推理活動的鋪墊，是題意理解的一個關(guān)鍵。

二是通項bn2（n≥2）本事不具有裂項求和法的結(jié)構(gòu)特征，從目標(biāo)分析，需要適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化放大，而“適當(dāng)”說的輕松做起并不容易，這也是本題的一個難點(diǎn)所在。通過以上分析，解題時的目標(biāo)是明確的，即需要尋找這樣一個等差數(shù)cn，能夠使得，當(dāng)n≥2時，bn2≤成立，而后式能用裂項相消求和，但注意不要放得過度。

2.從學(xué)生的角度來看

面對上文的例題，學(xué)生的困難主要來自以下三個方面：

一是兩個小題相互關(guān)聯(lián)，前面小題是為后面小題做鋪墊的，因此對部分學(xué)生而言，第（1）小題結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，一下子難以找到突破口， 找尋到突破口還要謹(jǐn)小慎微，細(xì)致討論下才能得到正確結(jié)論，這已經(jīng)就是一只攔路虎。在沒有能全面解對情況下，第（2）小題對他來說沒有任何意義；

二是看到求和型的不等式時，學(xué)生心理上不適應(yīng)。首先司空見慣的是求數(shù)列的前n項的和問題，學(xué)習(xí)的都是具體而相對簡單的數(shù)列求和問題，基本思維還希望數(shù)列本身能是上述求和類型的。而現(xiàn)在要求和的數(shù)列既不是等差也不是等比的，哪怕是等差乘以等比的通項公式也可以，理想很豐滿，現(xiàn)實很骨感，這樣對于題設(shè)中的求和與目標(biāo)中的不等式內(nèi)在邏輯聯(lián)系存在困惑。其次，這與學(xué)生接觸不等式問題少密切相關(guān)，現(xiàn)行高中課本必修部分不等式問題獨(dú)立成章的，主要內(nèi)容是解不等式和二元的均值不等式為主。從這個方面分析，學(xué)生不能將數(shù)列求和與不等式聯(lián)系起來。

三是在以上兩個問題在思維層面都解決了，想到向裂項相消求和轉(zhuǎn)化，但在放縮時卻遇到一個更大的攔路虎。放縮法是說起來容易操作起來困難，始終感覺到放縮很神秘，高不可攀，一步小心就放縮過頭，實屬不易。要在課堂和考試的有限時間內(nèi)獨(dú)立完成，也許需要的是技巧和好運(yùn)氣了，但好運(yùn)氣不是時時會有的。

3.從教學(xué)的角度來看

上文的例題教學(xué)中，教師的講解思路清晰，邏輯準(zhǔn)確，表述簡潔規(guī)范，可謂“一氣呵成”。那么造成學(xué)生“假懂”的原因，除了前面已述及的例題本身與學(xué)生的知識經(jīng)驗、認(rèn)知發(fā)展的局限性，難道就沒有教學(xué)上的原因？筆者以為：沒有正視學(xué)生的思維水平現(xiàn)實，放低教學(xué)的思維起點(diǎn)。

新課改以來，一直強(qiáng)調(diào)學(xué)生是教學(xué)的主體，教師是教學(xué)的主導(dǎo)，作為主導(dǎo)的教師，從哪里開始導(dǎo)， 導(dǎo)向哪里，怎么導(dǎo)， 是作為教師必須思考的問題。

第一個問題從哪里開始導(dǎo)？筆者的想法是從學(xué)生的原有知識基礎(chǔ)和現(xiàn)有思維水平開始，本題的原有知識基礎(chǔ)最基本的是裂項相消法的一般結(jié)構(gòu)模式，擴(kuò)展起來還有數(shù)列求和的一般方法等?，F(xiàn)有的思維水平，就是學(xué)生想到哪里了，還有那些地方?jīng)]想到。這些問題清楚后， 又要注意正視學(xué)生的思維水平現(xiàn)實，放低教學(xué)的思維起點(diǎn)，這些可作為解此題的出發(fā)點(diǎn)。

第二個問題導(dǎo)向哪里？這是一個目標(biāo)分析的問題，要有大局觀，要求的是學(xué)生和教師對試題總體方向的把握，也需要解題經(jīng)驗的積累。對于本題直接求和在學(xué)生現(xiàn)有的水平上已是不能完成的任務(wù)的情況下，就要考慮其向已有的求和方法上轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到那種求和方法需要根據(jù)求和式的結(jié)構(gòu)特征分析。

第三個問題是怎么導(dǎo)，順應(yīng)學(xué)生的思維方式是最為有效的。這是最為關(guān)鍵的問題，前面有了引導(dǎo)的基礎(chǔ)和方向，具體落實時就是怎么樣過渡過去，基礎(chǔ)是此岸，目標(biāo)是彼岸，采取什么方式渡過中間的河流呢？該式<出現(xiàn)的過于突然，仔細(xì)思考的話，分?jǐn)?shù)值放大，可以采用分子增加也可以分母減少，選擇分母減少，減少多少為有效？為什么會偏偏減少3n呢？減少1或4不行嗎？放縮的難點(diǎn)也就在這里，應(yīng)該向?qū)W生解釋清楚其中的思維過程。這樣關(guān)鍵步驟的缺失導(dǎo)致例題的無效。

三、為促進(jìn)學(xué)生的理解而教

以放縮方法的本身技巧性強(qiáng)的特性而采用“告訴式”“結(jié)果式”的教學(xué)方式，客觀上是一種教師逃避責(zé)任的行為，事實上，正是由于在學(xué)生看來放縮法艱澀難懂，變化靈活，才為教師開展創(chuàng)造性教學(xué)提供了巨大的空間。通過上面例題的教學(xué)，教師完全可以達(dá)到深化學(xué)生對放縮方向和尺度的把握，提升數(shù)列與不等式綜合題的解題和理解能力的目的，為學(xué)生后來更好的學(xué)習(xí)和研究數(shù)列奠定基礎(chǔ)。

1.目標(biāo)引領(lǐng)思維，順勢而為達(dá)到水到渠成

康托爾說過：“在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要。”在例題講解過程中，教師要密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)動態(tài)，并不失時機(jī)地提出問題，通過引導(dǎo)、啟發(fā)、指導(dǎo)、點(diǎn)撥、評價矯正，拓展思路，開闊視野，提煉精要，升華情感化，繁為簡作用，讓師生對話得以持續(xù)，將學(xué)生單一的思維系統(tǒng)化，使教學(xué)目標(biāo)迅速達(dá)成。經(jīng)過教師的適時提問，學(xué)生的自主、合作、探究才能順暢，學(xué)生的思維才有可能從懵懂走向頓悟，內(nèi)心才有可能從迷惘變得敞亮。

本例可以嘗試從以下問題引領(lǐng)思維：

問題1：我們常見的數(shù)列求和方法有那些？本題數(shù)列求和與哪種相似度大？

問題2：裂項相消求和方法有什么結(jié)構(gòu)特征？

對于這兩個問題，作為剛剛復(fù)習(xí)過數(shù)列的學(xué)生而言，都易解決，屬于知識層面，其設(shè)計意圖是在已有知識和未知問題直接建立起跨越的橋梁，為學(xué)生繼續(xù)思考打下基礎(chǔ)。這時學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)我們現(xiàn)在需要找到這樣的一個等差數(shù)列{cn}，能滿足當(dāng)n≥2時，bn2≤成立，也就是

即<<，這是筆者得到的最好結(jié)果。

最后說明的一點(diǎn)是 和式?jīng)]有初等的解析表達(dá)式。

一點(diǎn)啟示：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若教師善于引導(dǎo)學(xué)生對典型例習(xí)題進(jìn)行解法探究、推廣、發(fā)展，乃至應(yīng)用，則可幫助學(xué)生鞏固和深化有關(guān)概念，完善某個知識點(diǎn)的結(jié)論，掌握某些解題規(guī)律和某種數(shù)學(xué)思想方法，這樣處理典型例習(xí)題恰與新課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)，探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識”的本質(zhì)相吻合。

高中數(shù)學(xué)人教A版系列教材在”主編寄語”中指出，“數(shù)學(xué)是自然的”“數(shù)學(xué)是清楚的”。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)同樣應(yīng)該是“自然的”和“清楚的”：自然的概念形成教學(xué)，自然的邏輯分析引導(dǎo)，清楚的數(shù)學(xué)符號解析和合乎學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的思維點(diǎn)撥等。高中學(xué)生知識經(jīng)驗不足，認(rèn)知能力也存在局限性，這給他們學(xué)習(xí)放縮帶來了困難，教學(xué)中既要正視學(xué)生的思維水平現(xiàn)實，放低教學(xué)的思維起點(diǎn)，又要充分借助學(xué)生的原有知識經(jīng)驗，以生動活潑的思維教學(xué)為主線，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象，最終實現(xiàn)在理性思維的層面理解和運(yùn)用概念，數(shù)學(xué)法則以及由數(shù)學(xué)內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法目的，最大限度地克服學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“會而不懂”“會而不全”的現(xiàn)象，實現(xiàn)“為遷移而教”的教育目標(biāo)。這樣不但教會學(xué)生解題，還能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，必將使數(shù)學(xué)成為人們在成長過程中，提高思辨能力和創(chuàng)新能力的終身受益的一門學(xué)科。

（責(zé)任編輯 全 玲）