滲透數(shù)學(xué)思想和方法，發(fā)展學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)能力

徐芳

2011版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把原來的“雙基”改成了“四基”，增加了基本思想和基本活動經(jīng)驗。其中數(shù)學(xué)思想是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是最上位的思想?；緮?shù)學(xué)思想有著四大育人功能：一是有利于完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，二是可以提升學(xué)生的認(rèn)知水平，三是可以發(fā)展學(xué)生的思維能力，四是有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。這就為數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求，要求數(shù)學(xué)教師必須為兒童的學(xué)習(xí)和個人發(fā)展提供最基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)準(zhǔn)備和發(fā)展方向，促進兒童健康成長，使人人獲得良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。教師在教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，將數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想和方法融為一體，因勢利導(dǎo)，水到渠成，畫龍點睛，有利于發(fā)展學(xué)生的各種能力，關(guān)注學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。

一、轉(zhuǎn)化思想為新知識找到一個合適的生長點

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分。它是從未知領(lǐng)域出發(fā)，通過數(shù)學(xué)元素之間的因果聯(lián)系向已知領(lǐng)域轉(zhuǎn)化，從中找出它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，使問題得以解決的一種思想方法。數(shù)學(xué)的任何一個新知識，都是在原有知識的基礎(chǔ)上發(fā)展和轉(zhuǎn)化而來的。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把新問題轉(zhuǎn)化成一些與之相關(guān)的、學(xué)生比較熟悉的問題，并利用已有的知識和方法加以解決，有利于學(xué)生快速高效地學(xué)習(xí)新知，而已有的知識就是這個新知的生長點。

以小學(xué)六年級數(shù)學(xué)為例，我們可以用轉(zhuǎn)化的思想推導(dǎo)圓柱和圓錐的體積公式，把圓柱體轉(zhuǎn)化成與之等底等高的長方體，把圓錐轉(zhuǎn)化成與之等底等高的圓柱。前者的長方體和后者中的圓柱就是學(xué)生新知的生長點，引導(dǎo)學(xué)生把無從下手的新知識從這些生長點出發(fā)，運用已有的知識探索出新的結(jié)論，這樣新知識的發(fā)現(xiàn)過程便水到渠成了。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中，不僅圖形問題可以運用轉(zhuǎn)化思想，代數(shù)中也運用了大量的轉(zhuǎn)化思想。如分?jǐn)?shù)除法的運算轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的分?jǐn)?shù)乘法的運算；異分母的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母的分?jǐn)?shù)，等等，因此教師在教學(xué)過程中要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺的轉(zhuǎn)化意識，讓學(xué)生學(xué)會尋找新知識的合適生長點。這既能加強舊知識與新知識的聯(lián)系，使所學(xué)知識系統(tǒng)化，又能使各個知識點之間自然銜接。學(xué)生在自然而然的探索過程中不僅獲得了新的知識，而且學(xué)會了解決問題的方法，有利于培養(yǎng)能力，對后續(xù)學(xué)習(xí)有很大的幫助。

二、類比思想為新知識找到一個關(guān)鍵的突破口

類比是利用兩個對象的某些相似性，由此對象的某些性質(zhì)或結(jié)論，猜測乃至證明另一對象的相應(yīng)性質(zhì)或結(jié)論，由處理此對象的某些方法，利用相似性移植或稍加改動后移植于另一系統(tǒng)，用以處理另一對象的相似的性質(zhì)或結(jié)論。

類比思想可以教會學(xué)生由此及彼，靈活應(yīng)用知識，因為很多數(shù)學(xué)問題的解題思路常常是相通的。通過滲透類比思想，學(xué)生能學(xué)會舉一反三，迅速找到探索新知識的突破口，從而促進知識和方法的遷移。六年級數(shù)學(xué)中圓柱的體積公式的推導(dǎo)可以類比圓的面積公式的推導(dǎo)，比的基本性質(zhì)可以類比除法的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的四則運算與小數(shù)、整數(shù)的四則運算都是可以類比的。例如在分?jǐn)?shù)的四則混合運算的教學(xué)過程中，我把例題■×18+■×18中的■和■轉(zhuǎn)化成0.4和0.6，提出一個問題：這個式子你們能計算嗎？這樣學(xué)生立即就類比到小數(shù)混合運算的順序，相當(dāng)于找到了分?jǐn)?shù)混合運算這個新知識的突破口。有了這個突破口，學(xué)生就會舉一反三，在接下來探究分?jǐn)?shù)運算律的這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生自然而然地類比小數(shù)或整數(shù)得到：交換律，結(jié)合律，分配律都可以在分?jǐn)?shù)運算中運用。從中我們可以看出類比思想的魅力，正如康德所說：“每當(dāng)理智缺乏可靠的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進?！迸c當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家波利亞所說的一樣：類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉。

另外，初中數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)可以類比的知識有很多，如果打好小學(xué)數(shù)學(xué)的知識基礎(chǔ)并注重類比思想的滲透，對于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就會有很大益處，也可以說是真正關(guān)注了學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。如在代數(shù)中，與整數(shù)的運算順序和運算律相類比，可以導(dǎo)出有理數(shù)和整式的運算順序和運算律；與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)相類比，可以導(dǎo)出分式也具有類似的性質(zhì)，并且可以推出它和分?jǐn)?shù)一樣能夠進行化簡、運算。

三、特殊到一般為新知識找到一個合理的探索途徑

一般包含特殊，特殊屬于一般。特殊到一般可以讓學(xué)生從特殊情況出發(fā)，進行觀察，分析出它們具有的共同特征，然后探索出一般的結(jié)論。例如比例這一章中的《面積的變化》，是解決一個圖形按n：1放大后圖形的面積與原圖形面積之間的比。我在教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生從特殊的長方形、正方形、三角形、圓入手，推廣到所有圖形；比例尺也從特殊的2：1，3：1，4：1推廣到n：1。最終學(xué)生得出一個一般性的結(jié)論：一個圖形按n：1放大后，圖形的面積與原圖形面積之間的比為n■：1。從中不難看出特殊到一般這個活動過程為這個新知識提供了一個合理的探索途徑。

其實在學(xué)生的思維中，特殊占據(jù)了很重要的位置，因為它更貼近學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，形象直觀，便于計算，易于理解。無論是選擇還是填空或者判斷，學(xué)生一旦無從下手時，首先想到的就是特殊情況，學(xué)生會拿特殊的數(shù)字，或者特殊情況去計算、去嘗試、去考慮。所以只要我們在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中適當(dāng)引導(dǎo)，就能把學(xué)生的這種本能激發(fā)出來，讓學(xué)生主動地嘗試用特殊到一般的探索途徑，發(fā)展學(xué)生的探索能力。為后續(xù)的初中幾何學(xué)習(xí)中很多從特殊到一般的定理探索提供初步認(rèn)識。

四、猜測驗證為新知識找到一個完善的解釋過程

人類絕大多數(shù)知識的發(fā)現(xiàn)源于“猜想”。新大陸的發(fā)現(xiàn)源于當(dāng)時人們對地圓說的猜想，牛頓萬有引力的發(fā)現(xiàn)源于他對于蘋果落地后產(chǎn)生的一連串的猜想。不僅如此，嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)也可以經(jīng)過合理猜想這一非邏輯手段而得到。如，現(xiàn)已經(jīng)被美國的數(shù)學(xué)家證明了的“四色猜想”，以及至今未得到解決的著名的“哥德巴赫猜想”、“費馬猜想”等。由此可見，猜想是一種重要的思維方法，是創(chuàng)新、創(chuàng)造的前奏。

例如：在學(xué)習(xí)圓錐的體積時，我讓學(xué)生用課本后的模型剪下，做成等底等高圓柱和圓錐，讓學(xué)生先猜測這兩個物體的體積之間的關(guān)系，然后自己操作放入米或沙通過多次傾倒進行驗證。課堂上我利用等底等高圓柱和圓錐，借助水進行演示實驗，再次驗證了之前學(xué)生的猜想，最后由學(xué)生歸納總結(jié)得出：圓錐的體積是與之等底等高的圓柱體積的三分之一。可以說猜測驗證這一方法為圓錐體積公式的推導(dǎo)給出了一個完善的解釋過程。這種對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和呈現(xiàn)方式都是開放式的教學(xué)方式，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動、活潑地學(xué)習(xí)，能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的個性，從而進一步提高課堂教學(xué)的有效性。引導(dǎo)學(xué)生主動地從事觀察、猜測、實驗、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，與新課程倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)的精神相吻合，促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更富有個性化，促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提高，有助于學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展。

現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材編排無論是在知識點的安排，內(nèi)容的深度與廣度，還是呈現(xiàn)方式上都是呈螺旋式上升，所以很多小學(xué)的數(shù)學(xué)思想在初中教材中會有更多的體現(xiàn)。我們在教學(xué)中要注意根據(jù)教材特點，創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，有意識地滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，為學(xué)生的終生學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)，讓學(xué)生更快地融入初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。