天基攔截器過渡軌道優(yōu)化研究

高浩, 張科, 王佩

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

0 引言

天基攔截器的概念是隨著實(shí)施空間攻防對抗、空天作戰(zhàn)的要求而提出的,主要針對彈道導(dǎo)彈、臨近空間飛行器等高超聲速目標(biāo)進(jìn)行攔截打擊。具有快速進(jìn)入、精確接近、高度自主、大范圍機(jī)動(dòng)等特點(diǎn),且發(fā)射不受領(lǐng)空、領(lǐng)土的限制,能有效適應(yīng)多種作戰(zhàn)任務(wù)需求,反應(yīng)速度快,生存能力強(qiáng)[1]。典型的高超聲速飛行器均具有5倍聲速以上的飛行速度。當(dāng)預(yù)警衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)來襲目標(biāo)時(shí),天基攔截器必須迅速機(jī)動(dòng)變軌再入,對目標(biāo)進(jìn)行攔截。在整個(gè)攔截過程中,過渡段將耗費(fèi)大量時(shí)間,因而必須對過渡段彈道進(jìn)行優(yōu)化研究,以滿足快速攔截要求。

天基攔截器的過渡軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)質(zhì)是尋找一條使性能指標(biāo)最優(yōu)并滿足路徑約束的飛行軌跡,即軌跡優(yōu)化問題。考慮軌道優(yōu)化間接法求解的精度較高,但基于極小值原理推導(dǎo)最優(yōu)解的過程較為復(fù)雜和繁瑣,求解兩點(diǎn)邊值問題時(shí)的收斂域很小。而直接法不需要推導(dǎo)一階最優(yōu)性條件,收斂域相對于間接法更寬廣,對初值估計(jì)精度要求不高,不需要猜測協(xié)調(diào)變量的初值,但直接法容易收斂到局部最優(yōu)[2]。因此,綜合考慮軌道優(yōu)化直接和間接算法的優(yōu)缺點(diǎn),本文采用組合優(yōu)化算法以確保算法收斂到全局最優(yōu)的同時(shí)滿足速度、精度要求,獲取時(shí)間最短的轉(zhuǎn)移軌道。

1 軌道動(dòng)力學(xué)模型

將攔截器視為質(zhì)點(diǎn),基于沖量理論及二體問題假設(shè)建立攔截器慣性坐標(biāo)系下過渡段無量綱化運(yùn)動(dòng)模型[3]:

(1)

式中,vr為法向速度;vt為切向速度;r為中心引力體到飛行器矢徑;F為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;u為推力與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角,推力在水平方向之上為正;ρ為極角;ve為燃料噴射速度;對于終端時(shí)刻tf未定情況,令t=τp(τ∈[0,1],p=tf)。

飛行器在再入段過程中采用“彈道-升力式”返回,得出升力式再入飛行器高超聲速再入大氣的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[4]如下:

(2)

式中,r為地心到飛行器質(zhì)心的距離;v為速度;γ為飛行路徑角;θ為經(jīng)度;ψ為航向角;φ為緯度;σ為速度傾斜角。

2 最優(yōu)控制問題描述

在過渡段飛行過程中,攔截器在方向可控的固定推力發(fā)動(dòng)機(jī)作用下再入大氣層,以發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向角u作為控制變量建立系統(tǒng)最優(yōu)控制模型。根據(jù)龐特里亞金極大值原理將打擊軌道的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)邊值問題。

對最短過渡時(shí)間問題,性能指標(biāo)為:

J=tf

(3)

設(shè)飛行器初始軌道為圓軌道,再入點(diǎn)位置和速度給定,則初始條件為:

x(t0)=[vr(t0),vt(t0),r(t0),θ(t0),m(t0)]T

(4)

對應(yīng)終端約束:

(5)

構(gòu)造哈密爾頓函數(shù):

(6)

由極小值條件?H/?u=0,?2H/?u2>0可得:

(7)

根據(jù)極大值原理可得歸一化后的協(xié)態(tài)變量方程為:

(8)

由于協(xié)態(tài)方程(8)關(guān)于協(xié)態(tài)變量的微分方程是線性齊次的,因此,有一個(gè)協(xié)態(tài)變量的初值可以任意確定,不失一般性,假設(shè)λm(t0)=1,且λθ≡0,這樣還有三個(gè)協(xié)態(tài)變量的初值λvr(t0),λvt(t0),λr(t0)和時(shí)間參數(shù)p未知,與式(5)中4個(gè)約束條件構(gòu)成兩點(diǎn)邊值問題,這樣連續(xù)推力最優(yōu)變軌問題就變成尋求兩點(diǎn)邊值問題的解。

3 軌道優(yōu)化問題求解

由上述分析可知,若已知狀態(tài)變量、協(xié)態(tài)變量的初始值,就可以通過數(shù)值積分得到問題的解。因而,獲取最短時(shí)間過渡軌道問題的關(guān)鍵在于獲取協(xié)態(tài)變量初值,加上代表過渡段終端時(shí)刻約束的再入點(diǎn)速度v、再入角γ,從而構(gòu)成待優(yōu)化參數(shù)集:

x(t0)=[λvr(t0),λvt(t0),λr(t0),p(t0),

v(t0),γ(t0)]T

本文采用“人工魚群算法+序列二次規(guī)劃”的組合優(yōu)化算法來求解待優(yōu)化參數(shù)初值。

人工魚群算法(AFSA)是一類基于動(dòng)物行為的群體智能優(yōu)化算法,它通過模擬魚類的覓食、聚群、追尾、隨機(jī)等行為在搜索域中進(jìn)行尋優(yōu)[5]。算法具有較好的全局尋優(yōu)能力,對初值參數(shù)選擇不敏感,魯棒性強(qiáng)。而在處理軌道優(yōu)化問題上,序列二次規(guī)劃算法(SQP)具有初值魯棒性強(qiáng)、局部搜索能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[6]。因此將魚群算法和序列二次規(guī)劃算法相結(jié)合,使各算法之間的優(yōu)勢互補(bǔ),找到了較好的解決問題的方法。算法流程如圖1所示。

圖1 組合優(yōu)化算法流程圖Fig.1 Flow chart of the combinatorial optimization algorithm

算法步驟如下:

(1)初始化設(shè)定人工魚群的群體規(guī)模N、最大迭代次數(shù)M、人工魚移動(dòng)最大步長d、感知距離S、迭代次數(shù)n和擁擠因子δ等參數(shù)。

(2)將取值范圍給定的優(yōu)化參數(shù)按浮點(diǎn)數(shù)編碼原則排列在一起成為一個(gè)個(gè)體,隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)這樣的個(gè)體作為初始魚群。

(3)由過渡段終端約束式(5)可定義人工魚群食物濃度函數(shù)為:

Y(k)=J(x(k))=pk+K1(vrfk-vksinγk)2+

K2(vtfk-vkcosγk)2+K3(rfk-rf)2

(9)

式中,K1～K3為懲罰系數(shù),取值范圍為107～108。

(4)行為選擇:各人工魚分別模擬追尾行為和聚群行為,選擇行動(dòng)后食物濃度Y值較大的行為實(shí)際執(zhí)行,缺省行為方式為覓食行為。

(5)判斷是否達(dá)到終止條件,若不滿足,轉(zhuǎn)到步驟(4)重新進(jìn)行下一步魚群優(yōu)化過程。經(jīng)過若干次迭代后輸出人工魚群算法尋優(yōu)值。

(6)利用序列二次規(guī)劃法在該全局優(yōu)化值附近進(jìn)行局部尋優(yōu),產(chǎn)生高精度全局最優(yōu)值。

(7)算法結(jié)束,輸出最優(yōu)解。

4 仿真結(jié)果及分析

仿真初始參數(shù)為:軌道高度h=350 km;初始質(zhì)量m=100 kg;vr=0 m/s;vt=7697 m/s;F=1000 N;ve=4500 m/s。初始時(shí)刻天基攔截器位于350 km的圓軌道上,在接收到作戰(zhàn)任務(wù)后,進(jìn)行速度和姿態(tài)調(diào)整進(jìn)入過渡段軌道飛行,通過連續(xù)固定推力轉(zhuǎn)移到高度為100 km的再入點(diǎn)處,而穿過稠密大氣層的再入軌跡受過載、熱流、動(dòng)壓、滑翔段約束的嚴(yán)格限制,通過再入段分析計(jì)算確定再入點(diǎn)速度范圍6.5～7.0 km/s,再入角γ∈[-5°,-1°],待優(yōu)化協(xié)態(tài)變量取值范圍[-100,100],p∈[0,20]。人工魚群算法初始參數(shù)為:N=100，M=300，d=0.3，S=2.5，δ=0.618;覓食嘗試最大次數(shù)ts=100。

利用“人工魚群算法+序列二次規(guī)劃”進(jìn)行組合尋優(yōu),獲取過渡時(shí)間最短條件下待優(yōu)化變量初值。以前兩個(gè)待優(yōu)化變量為例,進(jìn)行300次魚群算法迭代尋優(yōu),尋優(yōu)結(jié)果如圖2所示,算法可有效獲取待優(yōu)化變量全局最優(yōu)初值。

圖3為迭代過程中魚群食物濃度變化曲線,其值最終趨于穩(wěn)定,體現(xiàn)了算法的收斂性。

表1列出了待優(yōu)化參數(shù)協(xié)態(tài)變量、過渡時(shí)間t、再入角γ、再入點(diǎn)高度h和再入點(diǎn)速度v的優(yōu)化結(jié)果。人工魚群算法由于視野、步長的隨機(jī)性和隨機(jī)行為存在,導(dǎo)致其最優(yōu)解的精度往往難以很高,借助于“序列二次規(guī)劃”方法的強(qiáng)局部尋優(yōu)特性,可有效提高尋優(yōu)精度,經(jīng)過若干代迭代獲取全局最優(yōu)解。

圖2 魚群算法尋優(yōu)結(jié)果Fig.2 Optimization results of AFSA

圖3 食物濃度變化Fig.3 Variation of the food concentration

待優(yōu)化參數(shù) AFSA AFSA+SQPλvr-2.5993 1.1476 λvt-8.2878 0.2716 λr-5.1120 6.1852 t/s261.4870 256.7780 γ/(°)-1.6129 -1.9991 h/km100.5892 99.9999 v/m·s-16656.5783 6803.1048

根據(jù)以上初始參數(shù)進(jìn)行彈道仿真，仿真曲線如圖4～圖6所示。

由圖可知,攔截器在連續(xù)推力發(fā)動(dòng)機(jī)作用下再入大氣層,再入點(diǎn)速度、高度以及再入角均滿足再入段軌跡約束。

傳統(tǒng)的優(yōu)化算法求解兩點(diǎn)邊值問題要求精確的初值估計(jì)[7],而使用人工魚群算法僅需估計(jì)初值的變化范圍,從而有效解決初值估計(jì)問題,獲取全局最優(yōu)初值。遺傳算法(GA)是具有全局優(yōu)化能力的代表算法之一,在此以求解過渡軌道優(yōu)化問題為例,將人工魚群算法與之進(jìn)行對比。

圖4 狀態(tài)變量軌跡Fig.4 Trajectories of state variable

圖5 協(xié)態(tài)變量軌跡Fig.5 Trajectories of co-state variable

圖6 控制變量軌跡Fig.6 Trajectory of control variable

取遺傳算法求解參數(shù)為:種群規(guī)模K=100;最大進(jìn)化代數(shù)T=300;交叉概率Pc=0.8;變異概率Pm=0.05。由于這兩種算法都存在一定的隨機(jī)性,因此,在對照中分別進(jìn)行了10組實(shí)驗(yàn),最后將結(jié)果求平均。尋優(yōu)結(jié)果對比如表2所示,相同算法初始條件下,“人工魚群算法+序列二次規(guī)劃”的組合優(yōu)化算法可有效克服遺傳算法的局部收斂問題,魯棒性更強(qiáng),尋優(yōu)精度更高。

表2 不同算法尋優(yōu)結(jié)果對比Table 2 Comparison of different optimization algorithms

圖7為遺傳算法進(jìn)化過程圖(P為最佳適應(yīng)度值),與圖3所示人工魚群算法迭代過程相比較,人工魚群算法的收斂速度更快,遺傳算法雖然可以很快收斂到最優(yōu)解的附近,但進(jìn)化后期收斂速度變慢,要達(dá)到真正的最優(yōu)解則需經(jīng)歷更多迭代時(shí)間,甚至無法收斂到全局最優(yōu)。

由仿真結(jié)果可以看出，人工魚群算法具有對初值及參數(shù)選擇不敏感、魯棒性強(qiáng)、收斂速度快、全局尋優(yōu)等特點(diǎn),利用序列二次規(guī)劃方法較強(qiáng)局部尋優(yōu)特性,采用組合的優(yōu)化算法可以規(guī)劃出滿足再入段約束的過渡段時(shí)間最短轉(zhuǎn)移軌道。

圖7 遺傳算法進(jìn)化過程Fig.7 Evolution of genetic algorithm

5 結(jié)束語

本文利用“人工魚群算法+序列二次規(guī)劃”的組合優(yōu)化算法,對天基攔截器過渡軌道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。該組合算法有效克服了傳統(tǒng)優(yōu)化算法中的某些缺陷,如求解兩點(diǎn)邊值問題的初值猜測、遺傳算法的局部收斂問題,可為同類軌道優(yōu)化問題的求解提供參考。定性分析及仿真表明,該組合算法在保證算法收斂到全局最優(yōu)的同時(shí)滿足了速度及精度要求。

由于視野、步長的隨機(jī)性和隨機(jī)行為存在,人工魚群算法優(yōu)化效率有待進(jìn)一步提高。在今后的工作中,將注重研究更為合理的參數(shù)選取方法,以進(jìn)一步提高魚群算法的優(yōu)化效率。

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