最優(yōu)化建模實驗中的可視化設計

李明奇， 杜鴻飛

(電子科技大學數(shù)學科學學院，四川成都610054)

1 引 言

隨著計算機仿真技術的發(fā)展，很多實驗和設計可以通過計算機仿真實現(xiàn). 利用計算機仿真技術進行實驗，可使學生獲得感性知識，經(jīng)歷從實踐到理論的認知過程. Matlab軟件在基礎課程的仿真教學實踐中，常?？梢詮浹a常規(guī)實驗方法中實驗成本高、實驗環(huán)境要求高，實驗效率較低等諸多缺陷. 如何將傳統(tǒng)的純理論推導與計算機仿真結合起來，提高學生的編程能力和創(chuàng)新思維能力，越來越受到各課程一線教師的重視[1，2].

本文以函數(shù)最優(yōu)解為教學設計內(nèi)容，探討如何通過對相同問題進行不同層面的Matlab模擬仿真，展示函數(shù)的性質(zhì), 促進學生對優(yōu)化問題求解方法的深入思考. 通過各個不同角度展現(xiàn)函數(shù)的圖形特征，加深學生對所研究問題求解過程的理解和求解方法的掌握，增強直觀性改善教學效果.

2 函數(shù)特征分析

函數(shù)極值點的分布是許多最優(yōu)化問題中的關鍵問題. 因此，函數(shù)的圖形特征描述是微積分、微分方程、最優(yōu)化等課程中的重要內(nèi)容[3-5]. 下面，以二元函數(shù)

u(x,y)=x2+y2-cos3πx-cos4πy+x+y+1

(1)

為例，尋找其極值點的分布規(guī)律. 根據(jù)函數(shù)極值點的駐點特征知，函數(shù)u(x，y)的兩個偏導等于零，于是

(2)

直接求解方程組(2)不容易. 為此，可以用Matlab作其三維曲面圖(如圖1)，通過圖形尋找極值分布規(guī)律. 從圖1看出，函數(shù)u(x，y)具有無窮的極值點，且曲面具有波動性. 如果需要在給定的范圍內(nèi)尋找函數(shù)的最大值，那么從圖1就可以觀察到其最大值點的大概分布位置. 據(jù)此，可以通過設計算法，快速收斂到我們需要的最值點，避免由于算法設計的局限性收斂到某個局部的極大值點.

圖1 函數(shù)u(x,y)的曲面

通過圖1可以看出極值點所處的范圍. 然而，要通過圖1給函數(shù)u(x，y)極值點定位還是不行的. 為此，可以換一個角度，從等高線圖的分布進行研究. 函數(shù)u(x，y)的二維等高線分布和顏色分布顯示函數(shù)值的分布特征，如圖2. 以此，可以對極值點進行更準確的定位.

圖2 函數(shù)u(x,y)的二維等高線圖

為了進一步了解函數(shù)值的趨勢，可以引入羽箭圖，箭頭方向指示函數(shù)值增大的方向，如圖3. 圖3更清楚地顯示的等高線數(shù)值和羽箭可以非常直觀顯示函數(shù)值隨自變量的變化趨勢. 同時，圖3顯示了極值點的位置信息，為其坐標的估計提供參考. 函數(shù)u(x，y)的三維等高曲線圖如圖4，其中的封閉曲線都是等高線.

圖3 函數(shù)u(x,y)的二維等高線與梯度圖

圖4 函數(shù)u(x,y)的三維等高線圖

通過圖1至圖4對函數(shù)u(x，y)從四個不同角度演示，學生可以感受到直觀和抽象的過程. 三維圖1符合視覺習慣最容易理解. 雖然等高線圖2是二維圖形比較抽象，但是其位置信息非常明確，定位性好. 圖3不僅可以定位，而且表明了函數(shù)的確切趨勢，其信息量比圖2豐富. 圖4給出了函數(shù)在空間中等高線，以了解函數(shù)值的空間分布.

3 教學思考

市場上還有許多其他最優(yōu)化軟件，如Lindo和Lingo等. 這些軟件是工程設計和教學訓練中的基本工具，是否能夠熟練地掌握這些應用軟件將影響到其他專業(yè)課的學習和潛力發(fā)揮.

雖然本文所選例子不是非常復雜，但通過該部分內(nèi)容的課程設計，一方面可以讓學生體會到準確找到我們需要的曲面上的最值點需要進行認真的有效的分析. 另一方面，可以培養(yǎng)學生對未知問題的分析能力，加強學生的動手能力的培養(yǎng)，提升學生的編程仿真能力. 事實上，學生只有在充分了解所討論問題的性質(zhì)和有一定的計算機編程基礎的情況下才能根據(jù)問題本身的特點設計相應的高效搜索算法. 可視化的結果在引起學生好奇心的同時，展現(xiàn)了所研究問題的許多細節(jié)，也有助于學生興趣的培養(yǎng).

[參 考 文 獻]

[1] 郭美榮，侴愛輝，夏德宏,等. 可視化教學法在實驗教學中的應用[J]. 實驗室研究與探索, 2012, 31(11): 128-130.

[2] 郝興偉，龍世立，鞏裕偉. 基于網(wǎng)絡的計算機基礎教學過程管理研究與實踐[J]. 中國大學教學, 2010 (3):49-51.

[3] Nocedal J， Wright S J . Numerical Optimization[M]. Berlin：Spring-Verlag Press，1999.

[4] 博南J F, 夏皮羅A．最優(yōu)化問題的擾動分析[M]．張立衛(wèi)譯.北京：科學出版社，2000.

[5] Boyd S, Vandenberghe L. Convex Optimization[M]. London：Cambridge University Press, 1999.