從考研數(shù)學(xué)閱卷來(lái)分析考生的學(xué)習(xí)質(zhì)量及應(yīng)對(duì)策略

蘇德礦， 童雯雯， 周利平

(浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系,杭州310027)

通過(guò)2014年考研數(shù)學(xué)閱卷及對(duì)真題的內(nèi)容做了一些簡(jiǎn)單分析.從考研數(shù)學(xué)2014年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三整體來(lái)看，2014年考研試題難度平穩(wěn)，圍繞考研數(shù)學(xué)大綱的要求，在重視基礎(chǔ)的原則下，考察的形式更加靈活、新穎，更能檢查考生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，反映考生的學(xué)習(xí)效果，對(duì)教師的教學(xué)有很大的幫助.

在這里，我們對(duì)某地區(qū)考生的試卷進(jìn)行分析，僅對(duì)2014年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三中考生感到最困難的題目進(jìn)行分析，可管中窺豹略見(jiàn)一斑.

數(shù)一考生感到最困難的題目：

考生平均得分1.95分，除去該題0分試卷，平均得分3.23分.

數(shù)二、數(shù)三中考生感到最困難的題目是相同的題目：

數(shù)二、三(19)題(滿(mǎn)分10分).設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)單調(diào)增加，0≤g(x)≤1，證明

數(shù)二考生平均得分3.44分，除去該題0分試卷，平均得分3.93分；數(shù)三考生平均得分2.96分，除去該題0分試卷，平均得分3.72分.

這兩題是不是真的難，我們先看看解答過(guò)程：

(ii)因?yàn)?/p>

數(shù)二、三(19)題證明.(i)因?yàn)?≤g(x)≤1，由定積分不等式性質(zhì)，有

考生考得差的原因是什么呢？由于數(shù)一(19)平均得了1.95分，第一小題是5分，說(shuō)明這一小題做得也很差.實(shí)際上數(shù)一(19)的第一小題是中學(xué)的三角函數(shù)題目與高數(shù)沒(méi)有關(guān)系，說(shuō)明考生對(duì)中學(xué)的三角函數(shù)掌握的不好.因?yàn)橹袑W(xué)刪去了很多的三角函數(shù)內(nèi)容，如反三角函數(shù)、而三角函數(shù)中的和差化積、積化和差公式在高中不作要求.但是，在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及三角函數(shù)或反三角函數(shù)的求導(dǎo)及積分運(yùn)算，如果學(xué)生沒(méi)有學(xué)反三角函數(shù)和熟練掌握三角函數(shù)的恒等變形就很難熟練地求三角函數(shù)、反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分.說(shuō)明中學(xué)三角函數(shù)的削弱，極大地影響了高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與效果.第二小題是典型的用級(jí)數(shù)的比較判別法的極限形式，歸結(jié)到求極限問(wèn)題.這是一個(gè)常見(jiàn)的求極限并不難，需要對(duì)極限的思想要理解.

數(shù)二、三(19)題的第一小題由定積分不等式性質(zhì)，有

是所有考生都應(yīng)當(dāng)做出來(lái)的，但是有不少考生這題是0分.第二小題看起來(lái)復(fù)雜，其實(shí)典型，就是用比較函數(shù)值的大小，利用單調(diào)性定理.這樣的題目在歷年的研究生數(shù)學(xué)考試中也多次考過(guò).例如;

F(λ)≥F(1)

(1)

成立. 由F(t)在[0,1]上連續(xù),在[0,1]內(nèi)可導(dǎo)，且

其中0≤c≤t,知f(c)≥f(t),有F′(t)≤0,知F(t)在(0,1]上遞減. 又0<λ<1，有F(λ)≥F(1),即(1)式成立，由每一步可遞，故原等式成立.

類(lèi)似這題的經(jīng)典題目在一般參考資料中出現(xiàn)的也很多.

只要證

F(b)≥F(a)

(2)

成立.由F(t)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

其中a≤c≤t,又f(x)在[a,b]遞增,有f(c)≤f(t),知F′(t)≥0,從而F(t)F在[a,b]遞增.由b>a得F(b)≥F(a).即(2)式成立.由每一步可逆，故原不等式成立.

例3設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，且滿(mǎn)足0≤f′(x)≤1及f(0)=0,證明

只要證

F(1)≥F(0)

(3)

成立，由F(t)在[0,1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且

由于0≤f′(t)≤1,知f(t)在[0,1]上遞增.當(dāng)t∈(0,1]時(shí),f(t)≥f(0)=0.令

則

g′(t)=2f(t)-2f(t)f′(t)=2f(t)(1-f′(t))≥0.

知g(t)在[0,1]上遞增，當(dāng)t∈(0,1]時(shí),g(t)≥g(0)=0,從而F′(t)≥0.因此F(t)在[0,1]上遞增，由1>0，得F(1)≥F(0),即不等式(3)成立，且每一步可逆，故原不等式成立.

實(shí)際上，在考研數(shù)學(xué)中的證明題不論是微分中的證明題還是積分中的證明題，都是圍繞下列七大類(lèi)型.希望考生要認(rèn)真總結(jié)，活學(xué)活用.

一、證明方程根的存在性

把要證明的方程轉(zhuǎn)化為f(x)=0的形式.對(duì)方程f(x)=0用下述方法：

1. 根的存在定理.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0,則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0.

2. 若函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)在[a,b]上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，則f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零值點(diǎn).

3. 看到高階導(dǎo)數(shù)，證明方程根的存在性，用泰勒公式證明方程根去嘗試 .

4. 實(shí)常系數(shù)的一元n次方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0 (a0≠0)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，至少有一個(gè)實(shí)根.

5. 實(shí)系數(shù)的一元n次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)復(fù)數(shù)根，至多有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

6. 若f(x)在區(qū)間Ι上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，則f(x)=0在Ι內(nèi)至多有一個(gè)根.若函數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù)(或極限)值同號(hào)，則f(x)=0無(wú)根，若函數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù)(或極限)值異號(hào)，則f(x)=0有一個(gè)根.

7. 求具體連續(xù)函數(shù)f(x)=0在其定義域內(nèi)零值點(diǎn)的個(gè)數(shù)：首先求出f(x)的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)，若有m個(gè)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間，則至多有m個(gè)不同的根.至于具體有幾個(gè)根，按照6研究每個(gè)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間是否有一個(gè)根.

8. 若函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)在某點(diǎn)x0處取極值，在x0處導(dǎo)數(shù)也存在，由費(fèi)馬定理知F′(x0)=0，即f(x0)=0(用的較少).

9. 方程中含有字母常數(shù)，討論字母常數(shù)取何值時(shí)，方程根有幾個(gè)根的方法：(i)把要證明的方程轉(zhuǎn)化為g(x)=k的形式，求出g(x)的單調(diào)區(qū)間、極值，求出每個(gè)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間兩端函數(shù)(極限)值，畫(huà)草圖，討論曲線與y=k軸相交的情況，確定方程根的個(gè)數(shù)；(ii)把要證明的方程轉(zhuǎn)化為f(x)=0的形式.求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，極值，求出每個(gè)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間兩端函數(shù)(極限)值，畫(huà)草圖，討論曲線與x軸相交的情況，確定方程根的個(gè)數(shù).

二、證明適合某種條件下ξ的等式

1. 常用的方法有羅爾定理、泰勒公式、根的存在定理、柯西定理、拉格朗日定理.

2. 如果證明適合某種條件下ξ,ζ的等式，要用兩次上面的定理.

lnf(x)=-g(x)+lnC,f(x)=Ce-g(x)，f(x)eg(x)=C.

令F(x)=f(x)eg(x), 則F′(x)=(C)′,從而f′(x)+f(x)g′(x)=0.故對(duì)F(x)在[x1,x2]上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)ξ∈(x1,x2),使F′(ξ)=0,即

f′(ξ)+f(ξ)g′(ξ)=0.

三、證明不等式的方法

1. 拉格朗日定理適用于已知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的條件，證明涉及函數(shù)(值)的不等式.

2. 泰勒公式適用于已知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的條件，證明涉及函數(shù)(值)或低階導(dǎo)函數(shù)(值)的不等式.

3. 單調(diào)性定理.(i)對(duì)于證明數(shù)的大小比較的不等式，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)(或極限)值大小的比較，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行證明.

(ii) 對(duì)于證明函數(shù)大小比較的不等式，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)上任意一點(diǎn)函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)(或極限)值大小的比較，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行證明.

4. 利用函數(shù)最大值，最小值證明不等式.

把待證的不等式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上任意一點(diǎn)函數(shù)值與區(qū)間上某點(diǎn)x0處的函數(shù)值大小的比較，然后證明f(x0)為最大值或最小值，即可證不等式成立.

5. 利用函數(shù)取到唯一的極值證明不等式.

把待證的不等式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上任意一點(diǎn)函數(shù)值與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)x0處的函數(shù)值大小的比較，然后證明f(x0)為唯一的極值且為極大值或極小值，即f(x0)為最大值或最小值，即可證不等式成立.

6. 用柯西定理證明不等式.

7. 利用曲線的凹凸性證明不等式.

四、涉及到定積分的方程根的存在性的方法

利用積分中值定理，定積分的性質(zhì)，尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理，證明方法與技巧與微分中值定理應(yīng)用的證明思想完全類(lèi)似.

五、涉及到定積分的適合某種條件ξ的等式的方法

利用積分中值定理，定積分的性質(zhì)，尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理，證明方法與技巧與微分中值定理應(yīng)用的證明思想完全類(lèi)似.

六、涉及到定積分的不等式的方法

利用積分中值定理，定積分的性質(zhì)，尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理，證明方法與技巧與微分中值定理應(yīng)用的證明思想完全類(lèi)似.

七、涉及到定積分的等式證明的方法

用變量代換較多或定積分的條件性質(zhì)、周期函數(shù)積分的性質(zhì).

2014年的考研數(shù)學(xué)題目還是強(qiáng)調(diào)了“三基本”，即數(shù)學(xué)考試的目的就是對(duì)基本概念、基本性質(zhì)、基本原理的考察，這類(lèi)考試性質(zhì)沒(méi)有變.應(yīng)該說(shuō)偏題怪題沒(méi)有出現(xiàn).但今年的考題包括一些選擇題，如果平常復(fù)習(xí)僅僅是死記硬背，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)不能靈活掌握運(yùn)用，這種題做起來(lái)會(huì)有困難.

作為考生來(lái)說(shuō)，復(fù)習(xí)肯定要扎扎實(shí)實(shí)的，有所側(cè)重的做題型復(fù)習(xí)也是有必要的，要“抓重點(diǎn)”，抓住重點(diǎn)就可以提高復(fù)習(xí)的效率，要是側(cè)重掌握某些題型、加深印象，這與全面復(fù)習(xí)掌握基礎(chǔ)是不矛盾的.命題老師沒(méi)有把以前考過(guò)的一模一樣的題拿過(guò)來(lái)，但很多題型是重復(fù)的，像是今年考的題型，以前都考過(guò)，但題目和以前不一樣，如果是只會(huì)死記硬背的考生，這樣的題你還是做不出.

總之，2014 年試卷的命題是合理的，題目難度不大，相對(duì)于去年難度持平，連續(xù)幾年降低或平穩(wěn)，沒(méi)有偏題，怪題，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，但是題目的靈活性，綜合性，計(jì)算量和技巧性有一定的深度.通過(guò)28年的考研數(shù)學(xué)題目可以看出，考研數(shù)學(xué)的題型和難度已經(jīng)比較穩(wěn)定.要求考生掌握數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論、基本方法和具有比較熟練的運(yùn)算技能與證明技巧.事實(shí)告訴考生，不要過(guò)分追求那些技巧性的偏題與怪題，要真正把教材內(nèi)容理解透徹，性質(zhì)、定理會(huì)證.這就要求準(zhǔn)備考研的同學(xué)更要打好基礎(chǔ).在掌握基本的概念，性質(zhì)、定理、公式，方法、知識(shí)點(diǎn)后，更要善于把知識(shí)融會(huì)貫通，熟練運(yùn)用所掌握的概念，知識(shí)，綜合運(yùn)用，并要求有一定的計(jì)算能力，才能取得高分.