以創(chuàng)新能力培養(yǎng)為核心的高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)及實(shí)踐

楊玉華

[摘要]如何培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新能力是高等教育的重要目標(biāo)，也是經(jīng)濟(jì)社會(huì)高速發(fā)展的迫切需要。為了實(shí)現(xiàn)這一培養(yǎng)目標(biāo)，大學(xué)生的創(chuàng)新能力培養(yǎng)必須從基礎(chǔ)課開始。本文分析了目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀及存在的問題，對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容如何設(shè)計(jì)改進(jìn)行研究和探索，通過改革教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法達(dá)到培養(yǎng)工程類高級(jí)人才的目的。

[關(guān)鍵詞]創(chuàng)新能力 高等數(shù)學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì)

一、高等數(shù)學(xué)的目前的“教”與“學(xué)”

《高等數(shù)學(xué)》是理工科院校的一門重要基礎(chǔ)理論課，很多學(xué)校已經(jīng)將數(shù)學(xué)課列入了通式識(shí)教育的范疇。也就是所有專業(yè)、所有大學(xué)生都必須進(jìn)行數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。但是由于我國基礎(chǔ)教育長期以來受傳統(tǒng)的教育思想影響，采用的教學(xué)方式大部分是“講解式教學(xué)”、學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是“接受性學(xué)習(xí)”。教師往往把教學(xué)理解為講解知識(shí)技能、概念、原理，進(jìn)行灌輸式的教學(xué)，使學(xué)生對(duì)教師產(chǎn)生了很強(qiáng)的依賴心理，忽視了學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。學(xué)生也往往把學(xué)習(xí)理解為習(xí)誦、模仿和做題，缺乏研究性學(xué)習(xí)的動(dòng)力。高等教育的跨越式發(fā)展，從精英教育到大眾教育，學(xué)生的整體水平下移；功利性學(xué)習(xí)，特別是為了某種目的學(xué)習(xí)，使這一現(xiàn)象在學(xué)生當(dāng)中更是普遍存在。這與高等學(xué)校培養(yǎng)人才的培養(yǎng)目標(biāo)相差甚遠(yuǎn)。如何改變這種現(xiàn)狀是廣大教學(xué)工作者的責(zé)任。針對(duì)基礎(chǔ)課教學(xué)，首先要讓學(xué)生對(duì)你所教的內(nèi)容有興趣，這就需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí).在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，能逐步領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法，在潛移默化中積累優(yōu)良的素質(zhì)；更重要的是通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，不僅積累數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，掌握必要的工具和技巧，而是培養(yǎng)學(xué)生的工程能力和創(chuàng)新能力以，及提高學(xué)生將數(shù)學(xué)有效地用于解決實(shí)際的能力。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想

（1）強(qiáng)化基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)中的微積分內(nèi)容是牛頓、萊布尼茨在前人基礎(chǔ)上通過純清概念、提煉方法、創(chuàng)設(shè)符號(hào)而創(chuàng)造的。牛頓說自己是“站在巨人的肩上”。因此，教學(xué)內(nèi)容和方法應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生掌握《高等數(shù)學(xué)》的基本概念、基本理論、基本方法；加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的推理論證，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

（2）面向創(chuàng)新

創(chuàng)新往往是發(fā)現(xiàn)“異中之同”，牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立微積分，分別是從物理與幾何的不同思想基礎(chǔ)、不同研究方向出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了表面上完全不同的微分與積分的聯(lián)系，建立了“牛頓———萊布尼茨公式”，找到了求積分的簡(jiǎn)易方法。這就是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題從而解決問題的過程，多疑必會(huì)多思，多思就可以達(dá)到多悟。以發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題為主要思路，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

（3）突出實(shí)踐

以研究性、開放性問題的設(shè)計(jì)為線索，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。

三、高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)

（1）加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的建設(shè)

通過學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的了解，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)內(nèi)容中，對(duì)重要概念我們可以追根求源，介紹一些數(shù)學(xué)大師發(fā)現(xiàn)這些概念的過程，讓學(xué)生感受大師們的人格魅力。例如，最早的導(dǎo)數(shù)的概念及表現(xiàn)形式，是誰提出來，與現(xiàn)在我們使用的概念有何異同？經(jīng)歷了怎樣的進(jìn)化過程？結(jié)合這些微積分的重要概念的形成過程，讓同學(xué)們感受這些數(shù)學(xué)大師們的為科學(xué)的獻(xiàn)身精神，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)不能太功利，要想成功就應(yīng)該有一種為科學(xué)獻(xiàn)身的精神。再例如，討論空間解析幾何時(shí)，可以簡(jiǎn)單的介紹一下解析幾何的奠基人笛卡爾。笛卡兒是法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家、生物學(xué)家。也許正是由于研究生物、航海之需，笛卡爾曾經(jīng)參與望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡的設(shè)計(jì)，這就需要研究幾何問題。他痛感當(dāng)時(shí)占數(shù)學(xué)統(tǒng)治地位的幾何方法有兩大弊端，一是過于依賴對(duì)圖形的的繪制和度量，很難準(zhǔn)確。二是過于依賴精巧的邏輯思維，往往一個(gè)幾何問題一個(gè)方法，效率太低。能否用代數(shù)方法計(jì)算幾何量？能否用代數(shù)方程描述幾何圖形及證明幾何性質(zhì)？這就是催生解析幾何的背景。他的基本思想是要建立起一種普遍的數(shù)學(xué)，使算術(shù)、代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來.笛卡兒的功績是把數(shù)學(xué)中兩個(gè)研究對(duì)象“形”與“數(shù)”統(tǒng)一起來，并在數(shù)學(xué)中引入“變量”，完成了數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)劃時(shí)代的變革。

（2）規(guī)范教學(xué)內(nèi)容

從問題開始，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過想象、猜測(cè)，對(duì)某些復(fù)雜的疑難問題進(jìn)行探索，利用基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法進(jìn)行創(chuàng)造性聯(lián)想，吸引學(xué)生，抓住學(xué)生思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。然后引導(dǎo)學(xué)生去分析、研究、探索，歸納、總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

例如，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂判定定理教學(xué)設(shè)計(jì)：

復(fù)習(xí)級(jí)數(shù)收斂的概念----部分和數(shù)列有極限及數(shù)列收斂的幾何意義。觀察數(shù)列收斂和交錯(cuò)級(jí)數(shù)部分和數(shù)列的幾何圖形：

提出問題：?jiǎn)栴}1.兩張幾何圖形有何不同？讓學(xué)生自己給出觀察結(jié)果：第一張圖曲線越來越平緩，曲線的縱坐標(biāo)越來越接近一個(gè)確定的數(shù)值。第二張圖形是鋸齒狀的，這是由于交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)確定的。

問題2.要使級(jí)數(shù)收斂，從幾何圖形上看應(yīng)該做些什么？

問題3.縮小鋸齒的高度，讓鋸齒高度趨近于零，在數(shù)學(xué)上怎樣體現(xiàn)？

學(xué)生自己會(huì)提出交錯(cuò)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)中un單調(diào)減小且趨于零。在回答問題中提練出交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的條件，也就是萊布尼茲判別法。通過教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)培養(yǎng)了學(xué)生分析問題解決問題的能力。

（3）加強(qiáng)創(chuàng)新能力問題的設(shè)計(jì)

在掌握了《高等數(shù)學(xué)》的基本概念、基本理論、基本方法的基礎(chǔ)上，學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng)是學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的一個(gè)重要方面。根據(jù)所學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)一些創(chuàng)新能力培養(yǎng)的問題。

例如，針對(duì)極限運(yùn)算法則可以設(shè)計(jì)這樣的問題：若果條件不成立，會(huì)出現(xiàn)什么情況？讓學(xué)生對(duì)各種不同情況舉出反例。連續(xù)函數(shù)的復(fù)合定理：u=g（x）在x0處連續(xù)，且u0=g（x0），而y=f（u）在u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f（g（x））在x0處連續(xù)；我們可以給學(xué)生提出帶有啟發(fā)性的問題，若u=g（x）在x0處間斷，且u0=g（x0），而y=f（u）在u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f（g（x））在x0處是否連續(xù)，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

學(xué)習(xí)了極限的夾逼定理和導(dǎo)數(shù)概念，可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問題：導(dǎo)數(shù)有夾逼定理嗎？

通過這些問題，讓他們學(xué)生認(rèn)真鉆研教材，與老師、同學(xué)交流，給出自己的結(jié)論并加以說明，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。通過創(chuàng)設(shè)富有吸引力的數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成學(xué)生主動(dòng)探索新知的學(xué)習(xí)氛圍，使形式多樣且富有趣味性的教學(xué)活動(dòng)構(gòu)成研究性學(xué)習(xí)的主線。

四、實(shí)踐情況

目前，上述研究內(nèi)容已在我校2011級(jí)、2012級(jí)試行。每年實(shí)驗(yàn)班容量60人，動(dòng)力班30人，電力班30人。高等數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)思想是：強(qiáng)化基礎(chǔ)、面向創(chuàng)新、突出實(shí)踐。為了適應(yīng)這一培養(yǎng)目標(biāo)，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，適當(dāng)?shù)匾肓艘恍?shù)學(xué)文化內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)了重要概念的發(fā)現(xiàn)過程，加強(qiáng)了研究性、開放性問題的設(shè)計(jì)。

為了考察實(shí)驗(yàn)班的教學(xué)效果，實(shí)驗(yàn)班考試的內(nèi)容與普通班略有不同?；A(chǔ)題和普通班比有所減少。提高了中等難度和難題比例。普通班只有一個(gè)難題，占10分；二實(shí)驗(yàn)班有兩個(gè)難題，占20%。實(shí)驗(yàn)將難題放在了自選難度部分。自選難度部分試題分為兩種：一種是難題，有兩個(gè)題占20分。一種是中等難度占10分。若選難題雖然得分高，但冒的風(fēng)險(xiǎn)也比較大，可能解答不出來。以2012-2013（1）的期末考試成績?yōu)槔?，全年?jí)考試的優(yōu)秀率下降的非常多，全年級(jí)的優(yōu)秀率在5%左右，而實(shí)驗(yàn)班的成績優(yōu)秀率達(dá)到45.9%。

令一方面，研究性作業(yè)在兩個(gè)年級(jí)采用的形式不同。2011級(jí)同學(xué)采用自選一些研究性問題，完成一篇小論文或?qū)懸黄獙W(xué)習(xí)體會(huì)。有的同學(xué)談的學(xué)習(xí)體會(huì)非常深刻。充分認(rèn)識(shí)到了“極限”的基礎(chǔ)作用。正是極限思想的誕生，解決了生活中不能解決的問題。從“正數(shù)、有理數(shù)”到“實(shí)數(shù)”，從“平均速度”到“瞬時(shí)速度”、“變化率”等問題迎刃而解。有的同學(xué)著重于開拓性問題和研究性問題。將定理的條件和結(jié)論進(jìn)行推廣。大家都知道，極限有夾逼定理，根據(jù)這一結(jié)論，實(shí)驗(yàn)班有三、四個(gè)同學(xué)提出了導(dǎo)數(shù)存在的夾逼定理形式、級(jí)數(shù)收斂的夾逼定理形式。有同學(xué)討論了定理?xiàng)l件的改進(jìn)。例如，有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界這一定理中的連續(xù)條件可以改進(jìn)嗎，可不可用其它條件代替。如果連續(xù)改成有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，結(jié)論還成立嗎？像這類問題還很多，不一一列舉。

通過這說明兩年的教學(xué)實(shí)踐，說明我們的教學(xué)內(nèi)容和方法是行之有效的。不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，掌握必要的工具和技巧，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的工程能力和創(chuàng)新能力以，及提高學(xué)生將數(shù)學(xué)有效地用于解決實(shí)際的能力。

[參考文獻(xiàn)]

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（作者單位：華北電力大學(xué)河北保定）