一類橢圓邊值問題緊有限差分方法的單調(diào)迭代算法

武文佳

(上海電機學院 數(shù)理教學部, 上海 201306)

一類橢圓邊值問題緊有限差分方法的單調(diào)迭代算法

武文佳

(上海電機學院 數(shù)理教學部, 上海 201306)

對一類二維常系數(shù)半線性橢圓邊值問題的四階緊有限差分方法，建立了有效的單調(diào)迭代算法，給出相應(yīng)的收斂性分析，并通過數(shù)值實驗驗證了理論分析的正確性。

半線性橢圓邊值問題; 單調(diào)迭代算法; 收斂率

橢圓型偏微分方程的邊值問題被廣泛應(yīng)用于物理、生物、工程等很多應(yīng)用領(lǐng)域，對此類問題建立緊有限差分方法，并給出有效的單調(diào)迭代算法有著重要的理論意義和實際的應(yīng)用價值[1-2]。近年來，對此類邊值問題的四階緊有限差分方法得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用[3-10]。在以往的研究中，已經(jīng)對一類常系數(shù)二維半線性橢圓邊值問題建立了四階緊有限差分格式[11]。由于問題本身的非線性，得到的有限差分方程組為線性代數(shù)方程組；對此類方程組，一個基本的問題就是建立有效的單調(diào)迭代算法。本文主要對文獻[11]中的緊有限差分格式建立有效的單調(diào)迭代算法，并給出數(shù)值實驗結(jié)果。

1 緊有限差分格式

本文研究如下的二維半線性橢圓邊值問題：

(1)

式中，Ω?R2為矩形區(qū)域的組合，其邊界平行于x軸或y軸；函數(shù)f(x,y,u)和φ(x,y)在定義域內(nèi)充分光滑；函數(shù)f(·,·,u)關(guān)于u為非線性的、函數(shù)c(x,y)和d(x,y)為Ω上正的光滑函數(shù)。

引入中心差分算子替換方程中的微分算子，通過緊逼近截斷誤差項，文獻[11]中已經(jīng)建立了如下的四階緊有限差分格式：

(2)

它等價于

(3)

式中：

其中，αi,j、βi,j、Ci,j、Di,j、γi,j分別為系數(shù)，即：

ci,j=c(xi,yj)，di,j=d(xi,yj)

且

(4)

式中，σ=hx/hy為步長比。

由式(4)可知，存在正的常數(shù)h*，使得對于所有的hx

(5)

(6)

同樣，由式(4)可知，給定任意非負常數(shù)M，存在正常數(shù)h(M)，使得所有的hx

(7)

2 定義與引理

(8)

引理1假設(shè)式(6)成立，M為非負常數(shù)。若hx

(9)

證明根據(jù)式(9)，結(jié)合文獻[12]206頁中的定理1，顯然可證引理的結(jié)論成立。

(10)

(11)

證明根據(jù)式(10)、(11)，結(jié)合定義2，類似引理1的證明過程，可證引理2結(jié)論成立。

3 單調(diào)迭代算法

(12)

用這些常數(shù)作為參數(shù)，本文給出如下Picard型線性單調(diào)迭代算法：

(13)

本文將證明式(13)具有單調(diào)收斂性。

(14)

證明證明過程與文獻[11]中定理2的證明過程類似(只需將文獻[11]中引理1用本文引理2替代)，此處略。

定理1給出了式(13)的單調(diào)收斂性，但是，顯示收斂率還是未知的，以下給出保證序列幾何收斂的充要條件。

(15)

定理2設(shè)定理1的條件和式(15)成立，且hx

(16)

且

(17)

根據(jù)式(15)，有

(18)

(19)

根據(jù)引理2可知(A-BM*)-1存在且非負，這說明向量Y=(A-BM*)-1E為正，其中，E為所有元素都是1的向量。令Yi為Y的第i個分量，定義D=diag(1/Yi),其中，1/Yi即為導出定理中的Xi,則有

D(A-BM*)D-1E=D(A-BM*)Y=DE>0

或

D(A+BM)D-1E>DB(M+M*)D-1E

由引理2可知(A+BM)-1非負，故有

D(A+BM)-1B(M+M*)D-1E

再根據(jù)M*≥-M可得

因此,由式(19)可知

這就證明了對于極大序列，式(16)成立。同理可證，對于極小序列，式(16)也成立。

式(16)表明，由式(13)得到的極大和極小序列至少為幾何收斂的，收斂率ρ*由式(17)給出。

4 數(shù)值實驗

現(xiàn)將上述單調(diào)迭代算法應(yīng)用于實際應(yīng)用中的模型問題，來說明四階緊有限差分方法的精度和本文提出的單調(diào)迭代算法的有效性。

考慮如下人口增長模型中常見的問題：

(20)

式中，Ω=(0,1)×(0,1)；k為正常數(shù)；函數(shù)ζ(x,y)和φ(x,y)為已知的，使得

u(x,y)=sin(4πx)sin(πy)

為模型問題式(20)的精確解。

選取k=1.5，用本文提出的單調(diào)迭代算法式(13)計算緊有限差分方程組，其中迭代終止的準則為

圖1 極大序列和極小序列在點(0.5,0.5)處的單調(diào)收斂性Fig.1 Monotone convergence of maximal andminimal sequences at (0.5,0.5)

為說明數(shù)值解的四階精度，選擇hx=hy=h。表1給出了取不同h時數(shù)值解的L∞-誤差errorL∞(h)和階數(shù)orderL∞(h)，其中ε=10-13。L∞-誤差和階數(shù)計算如下：

其中，u表示原問題的精確解。

計算結(jié)果如表1所示。由數(shù)值結(jié)果可知，數(shù)值解具有四階精度，這與理論分析相吻合，同時說明了本文提出的單調(diào)迭代算法的有效性。

表1 數(shù)值解的L∞-誤差和階數(shù)Tab.1 L∞-error and order of computed solution

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Monotone Iterative Algorithm of Compact Finite Difference Methodfor a Class of Elliptic Boundary Value Problems

WUWenjia

(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

An effective monotone iterative algorithm is proposed for the fourth-order compact finite difference scheme of a class of two dimensional semi-linear elliptic boundary value problems. We analyze convergence rate of this iterative algorithm, give numerical results to show effectiveness of the algorithm.

semi-linear elliptic boundary value problem; monotone iterative algorithm; convergence rate

2014 - 06 - 16

上海高校青年教師培養(yǎng)資助計劃項目資助(ZZSDJ13020)

武文佳(1985-),女，講師，博士，主要研究方向為偏微分方程數(shù)值解，Email： wuwj@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2014)05 -0283 - 05

O 241.82

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