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    中心二項式系數的同余性質

    2014-09-14 00:43:57崔漢哲
    上海電機學院學報 2014年5期
    關鍵詞:不等號教學部二項式

    崔漢哲

    (上海電機學院 數理教學部, 上海 201306)

    中心二項式系數的同余性質

    崔漢哲

    (上海電機學院 數理教學部, 上海 201306)

    中心二項式系數;p進賦值函數; 同余性質

    最近,孫智偉[14]證明了

    1 定義與引理

    引理1[14]對于任意正整數n都成立

    定義1對于任意正整數n與素數p,定義p進賦值函數vp(n)為n的素因數分解中p的最高冪次。如對任意素數p有vp(1)=0,v3(9)=v3(36)=v2(36)=v2(4)等。

    以下引理在任何一本數論的標準教材中都可以找到。如文獻[15]中的第一部分第一章的定理1.6。

    引理2對于任意正整數n與素數p都有

    2 定理及其證明

    定理1Sn為奇數?n為2的冪次。

    證明將Sn的分子與分母重新整理,得

    所要證者

    v2(Sn)=v2(n!)+v2((6n)!)-v2((2n)!)-

    v2((2n+1)!)-v2((3n)!)-1=0?n

    為2的冪次。注意到

    v2((2n+1)!)=v2((2n)!)=

    v2(2·4…(2n-2)(2n))=v2(2nn!)=

    n+v2(n!)

    以及類似的

    v2((6n)!)=3n+v2((3n)!)

    可將v2(Sn)化簡為n-v2(n!)-1。以下分兩種情況,利用引理1具體計算該式。

    (1) 當n=2l(l為非負整數)時,

    2l-1=n-1

    此即v2(Sn)=0。

    (2) 當n不為2的冪次時,將n做二進制展開,即

    n=2at+2at-1+…+2a0

    其中,at>at-1>…>a0≥0且均為非負整數。因n不為2的冪次,故有t≥1。此時經簡單計算可得

    若a0=0,則(2a0-1+2a0-2+…+1)理解為0,

    (2at-1-1)+…+(2a0-1)<

    2at+2at-1+…+2a0-1=n

    (注意到t≥1)

    此即v2(Sn)>0。

    證畢

    定理2對任意正整數n,成立2n+3|3Sn。

    證明經簡單計算,可得

    故所要證者即為對于任意素數p,都成立

    vp(3)+vp((n+1)!)+vp((6n)!)≥

    vp((2n)!)+vp((2n+3)!)+vp((3n)!)

    (1)

    也即

    以下分p=2、p=3和p≥5三種情況討論。

    (2) 當p=3時,類似定理1中的證明,有

    v3((6n)!)=2n+v3((2n)!)
    v3((3n)!)=n+v3(n!)

    成立,于是式(1)可簡化為

    1+n+v3((n+1)!)≥v3(n!)+v3((2n+3)!)

    再根據n模3的不同取值分3種情況討論(以下m均為自然數)。

    ①n=3m。經簡單計算可得式(1)不等號左邊=1+4m+v3(m!),右邊=1+3m+v3(m!)+v3((2m+1)!),故此時要證v3((2m+1)!)≤m。而

    v3((2m+1)!)=

    由于m為自然數,此即v3((2m+1)!)≤m。

    ②n=3m+1。經簡單計算可得式(1)不等號左邊=2+3m+v3((3m)!),右邊=1+2m+v3((3m)!)+v3((2m+1)!),故此時要證v3((2m+1)!)≤m+1。由①中結論,這顯然成立。

    ③n=3m+2。經簡單計算可得式(1)不等號左邊=4+4m+v3((m+1)!),右邊=2+3m+v3(m!)+v3((2m+2)!),故此時要證v3((2m+2)!)≤m+2+v3(m+1)。類似①中做法,有v3((2m+2)!)

    (3) 當p≥5時,式(1)為

    vp((n+1)!)+vp((6n)!)≥

    vp((2n)!)+vp((2n+3)!)+vp((3n)!)

    由引理1,只需證明對任意正整數k與n,均有

    (2)

    成立。

    由于式(2)成立與否只依賴于n模pk的值,故以下設n=0,1,…,pk-1。然后,根據n+1,2n,2n+3,3n,6n與pk的不同大小關系逐一驗證式(2)成立。為討論方便,需要固定2n+3與3n的大小關系,即當n≥4時,有2n+3<3n。因此,n=0,1,2,3的情況首先單獨驗證。以下是具體過程(注意p≥5,k≥1)。

    (1) 當n=0時,式(2)為

    (2) 當n=1時,若p=5,且k=1,則式(2)為

    其余情況下,式(2)均為

    (3)n=2和n=3的情形與上文類似,本文省略具體過程。當n≥4時,分以下幾種情況具體計算可得:

    ① 當6n

    ② 當3n

    ③ 當2n+3

    ④ 當2n

    ⑧ 當pk≤n+1,即n=pk-1時,式(2)為

    這樣便證明了對任意正整數k與n,式(2)均成立。

    定理證畢

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    [15] 特倫鮑姆G.解析與概率數論導引[M].陳華一,譯.北京: 高等教育出版社,2011: 15.

    Congruence Property of Central Binomial Coefficients

    CUIHanzhe

    (Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

    central binomial coefficients;p-adic valuation function; congruence property

    2014 - 05 - 26

    崔漢哲(1980-),男,講師,博士,主要研究方向為算子代數與組合數學,E-mail: cuihz@sdju.edu.cn

    2095 - 0020(2014)05 -0288 - 04

    O 151.1

    A

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