基于連續(xù)時間T－S模糊模型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

李 麗 芳

（吉林警察學(xué)院信息工程系，長春 130117）

基于連續(xù)時間T－S模糊模型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

李 麗 芳

（吉林警察學(xué)院信息工程系，長春 130117）

針對一類連續(xù)時間非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題，提出一種基于Takagi－Sugeno模糊模型的穩(wěn)定性分析新方法.在模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析過程中，通過加入松弛矩陣技術(shù)，能充分考慮模糊隸屬函數(shù)時間導(dǎo)數(shù)的有用信息，并顯著增加穩(wěn)定性分析的自由度，從而獲得比已有穩(wěn)定性判據(jù)保守性更小的連續(xù)時間Takagi－Sugeno模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù).所提出的穩(wěn)定性判據(jù)以線性矩陣不等式形式給出，可方便地通過MATLAB數(shù)值軟件求解.仿真實驗驗證了所提方法的有效性.

非線性系統(tǒng)；穩(wěn)定性分析；T－S模糊模型；松弛矩陣

本文針對基于模糊Lyapunov函數(shù)的連續(xù)時間T－S模糊模型的穩(wěn)定性分析問題，提出一種比已有研究結(jié)果保守性更小的穩(wěn)定性分析方法.在設(shè)計過程中充分考慮了模糊隸屬函數(shù)導(dǎo)數(shù)的有用信息，提出一種松弛矩陣技術(shù)，獲得了比已有結(jié)果保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù).仿真結(jié)果對比分析驗證了本文提出方法的有效性.

1 模糊系統(tǒng)預(yù)備知識和引理

考慮由如下r條IF－THEN型模糊規(guī)則描述的連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)［1］：

其中：x（t）∈Rn表示n維系統(tǒng)狀態(tài)向量；ξ1（t），…，ξp（t）表示模糊模型的前件變量；Mij（i＝1，2，…，p；j＝1，2，…，r）表示模糊集；Ai∈Rn×n表示模糊模型的已知參數(shù)矩陣.

根據(jù)標準的T－S模糊推理方法，系統(tǒng)（1）的總體模糊模型可表示為

在已有采用模糊Lyapunov函數(shù)進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，人們試圖通過在設(shè)計中考慮模糊隸屬函數(shù)隨時間的導(dǎo)數(shù)信息減少所得穩(wěn)定性判據(jù)的保守性，并常用如下關(guān)于模糊隸屬函數(shù)導(dǎo)數(shù)的假設(shè)條件：

假設(shè)1 對于連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)（2），假設(shè)其模糊隸屬函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變換界滿足如下條件［14］：

其中λi為模糊建模時確定的實數(shù).

為方便，本文用x，hi和˙hi分別代替x（t），hi（ξ（t））和˙hi（ξ（t））.文獻［10－15］證明了假設(shè)條件（3）在實際應(yīng)用中的可行性，并給出了針對具體問題時φi的計算方法.文獻［15］通過引入自由矩陣X，顯著減少了連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性.

定理1［15］考慮滿足假設(shè)1的連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)（3），若存在適當維數(shù)的矩陣M1和M2，對稱矩陣M3和Pi（i＝1，2，…，r），使得下列線性矩陣不等式成立：

引理1 對于適當維數(shù)的對稱矩陣X和R，如下兩個命題成立：

1）對于－φi≤˙hi≤0，?ξ（t），1≤i≤r，若有R＜0和－φiX＋R＜0成立，則˙hiX＋R＜0成立；

2）對于－φi≤˙hi≤φi，?ξ（t），1≤i≤r，若有φiX＋R＜0，R＜0和－φiX＋R＜0成立，則˙hiX＋R＜0成立.

證明：1）對于對稱矩陣X和非零向量x可知必有xTXx＜0或者xTXx≥0.于是，在－φi≤˙hi≤0，?ξ（t），1≤i≤r條件下，如果xTXx≥0，則有˙hixTXx≤0；否則有˙hixTXx≤－φixTXx.對于對稱矩陣R，如果xTXx≥0，則有xT（˙hiX＋R）x≤xT（R）x；否則有xT（˙hiX＋R）x≤xT（－φiX＋R）x，命題得證.

2）的證明與1）類似，故略.

2 主要結(jié)果

為進一步減少已有基于Lyapunov函數(shù)的連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性，本文提出一種松弛矩陣技術(shù)，能更有效地考慮模糊隸屬函數(shù)時間導(dǎo)數(shù)的有用信息，獲得比文獻［15］保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù).

定理2 考慮滿足假設(shè)1的連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)（3），若存在適當維數(shù)的矩陣Mi1和Mi2，對稱矩陣Xi和Pi（i＝1，2，…，r），使得下列線性矩陣不等式成立：

證明：對于連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)（3）使用模糊Lyapunov函數(shù)

不等式（4）保證了上述Lyapunov函數(shù)的合理性.

對上述模糊Lyapunov函數(shù)沿系統(tǒng)（3）軌跡求取時間導(dǎo)數(shù)可得：

不失一般性，在任意時刻必有某個模糊隸屬函數(shù)時間導(dǎo)數(shù)滿足

因此，由假設(shè)1、條件（9）和引理1可得到保證˙V（x）＜0成立的充分條件為如下兩個矩陣不等式成立：

其中此時，若有線性矩陣不等式（5），（6）成立，則矩陣不等式（13），（14）也成立，即連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)（3）是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

注1 在定理2中，本文通過提出一種有效的松弛矩陣技術(shù)，引入了更多自由矩陣變量Mi1，Mi2和Xi，使所推導(dǎo)的穩(wěn)定性判據(jù)在其設(shè)計過程中充分考慮了模糊隸屬函數(shù)時間導(dǎo)數(shù)的有用信息，能顯著減小結(jié)果的保守性.此外，與文獻［15］相比，強約束條件Pi＋M3≥0（i＝1，2，…，r）在定理2中被合理去除，進一步增大了穩(wěn)定性分析的解空間，減少了保守性.

3 仿真驗證

使用T－S建模方法建立上述非線性系統(tǒng)的模糊模型：

圖1 不同方法得到系統(tǒng)參數(shù)λ的最大值比較Fig.1 Comparison between system parameterλ values obtained via different methods

本文使用MATLAB的LMItools計算在相同假設(shè)1條件下分別利用本文提出的定理2和文獻［15］提出的定理1進行求解，并進行可變系統(tǒng)參數(shù)λ穩(wěn)定范圍的比較.本文將假設(shè)1中的參數(shù)設(shè)定為φi∈｛0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0｝（i＝1，2）.圖1給出了在不同φi條件下分別使用文獻［15］方法和本文方法得到的系統(tǒng)參數(shù)λ的最大值比較結(jié)果.由圖1可見，對于每個φi，本文方法得到的λ最大值均大于文獻［15］方法得到的對應(yīng)值，即本文提出的連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域大于文獻［15］得到的系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域，本文提出的穩(wěn)定性判據(jù)具有更小的保守性.

下面在φi＝0.5條件下選擇λ＝16.7，該點在文獻［15］的T－S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)計算下是不穩(wěn)定點，但本文的定理2能保證其為穩(wěn)定點，即此時只有使用本文提出的定理2才能保證非線性系統(tǒng)在φi＝0.5條件下當λ＝16.7時是全局漸近穩(wěn)定的.使用MATLAB LMI工具箱，求解線性矩陣不等式（4）～（6），可得到如下兩個可行的Lyapunov矩陣：

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)向量軌跡Fig.2 Trajectory of system state variables

圖3 V1（x（t）），V2（x（t））和V（x（t））隨時間的變化軌跡Fig.3 Time trajectories of V1（x（t）），V2（x（t））and V（x（t））

綜上所述，本文提出了一種連續(xù)時間T－S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析問題的新判據(jù).通過使用有效的松弛矩陣技術(shù)，充分考慮了模糊隸屬函數(shù)時間導(dǎo)數(shù)的有用信息，可顯著減少所得系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性.仿真驗證結(jié)果表明，本文方法與已有結(jié)果相比具有更好的優(yōu)越性和有效性.

［1］ Takagi T，Sugeno M.Fuzzy Identification of Systems and Its Application to Modeling and Control［J］.IEEE Transactions on Syst Man Cybern，1985，15：116－132.

［2］ WANG Lixin，Mendel J M.Fuzzy Basis Functions，Universal Approximation，and Orthogonal Least－Squares Learning［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，1992，3（5）：807－814.

［3］ Tanaka K，Ikeda T，Wang H O.Fuzzy Regulators and Fuzzy Observers：Relaxed Conditions and LMI－Based Designs［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，1998，6（2）：250－265.

［4］ Kim E，Lee H.New Approaches to Relaxed Quadratic Stability Conditions of Fuzzy Systems［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2000，8（5）：523－534.

［5］ LIU Xiaodong，ZHANG Qingling.New Approaches to H∞Controller Designs Based on Fuzzy Observers for T－S Fuzzy Systems via LMI［J］.Automatica，2003，39（9）：1571－1582.

［6］ Sala A，Ari?o C.Asymptotically Necessary and Sufficient Conditions for Stability and Performance in Fuzzy Control［J］.Fuzzy Sets and Syetms，2007，158（24）：2671－2686.

［7］ Sala A，Arino C.Relaxed Stability and Performance Conditions for T－S Fuzzy Systems with Knowledge on Membership Function Overlap［J］.IEEE Transactions on Syst Man Cybern：Part B，2007，37（3）：727－732.

［8］ Montagner V F，Oliveira R，Peres P L D.Convergent LMI Relaxations for Quadratic Stabilizability and H∞Control of Takagi－Sugeno Fuzzy Systems［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2009，17（4）：863－873.

［9］ Tanaka K，Ohtake H，Wang H O.A Descriptor System Approach to Fuzzy Control System Design via Fuzzy Lyapunov Functions［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15（3）：333－341.

［10］ Xie X P，Ma H J，Zhao Y，et al.Control Synthesis of Discrete－Time T－S Fuzzy Systems Based on a Novel Non－PDC Control Schems［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2013，21（1）：147－157.

［11］ Lam H K.Stability Analysis of T－S Fuzzy Control Systems Using Parameter－Dependent Lyapunov Functions［J］.IET Control Theory and Applications，2009，3（6）：750－762.

［12］ ZHANG Huaguang，XIE Xiangpeng.Relaxed Stability Conditions for Continuous－Time T－S Fuzzy－Control System via augmented Multi－indexed Matrix Approach［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2011，19（3）：478－492.

［13］ Tognetti E S，Oliveira R，Peres P.Selective H2and H∞Stabilization of Takagi－Sugeno Fuzzy Systems［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2011，19（5）：890－900.

［14］ Mozeli L A，Palhares R M，Souza F O，et al.Reducing Conservativeness in Recent Stability Conditions of T－S Fuzzy Systems［J］.Automatica，2009，45（6）：1580－1583.

［15］ Mozeli L A，Palhares R M，Avellar G.A Systematic Approach to Improve Multiple Lyapunov Function Stability and Stabilization Conditions for Fuzzy Systems［J］.Information Sciences，2009，179（8）：1149－1162.

（責任編輯：韓 嘯）

Stability Analysis of Nonlinear Systems Based on Continuous－Time Takagi－Sugeno Fuzzy Model

LI Lifang
（Department of Information Engineering，Jilin Police College，Changchun130117，China）

A novel stability analyisis method was proposed for addressing the problem of stability analysis of continuous－time nonlinear systems based on the Takagi－Sugeno fuzzy model.In the process of stability analysis，a slack matrix method was applied to further considering the useful underlying fuzzy membership functions’time derivative.Owing to more freedom can be introduced in virtue of the slack matrix method，the obtained stability criteria are less conservative than those existing ones.Furthermore，the stability criteria proposed are given in terms of linear matrix inequality，which is easily solved via MATLAB numerical software.Finally，a numerical example was given to illustrate the effectiveness of the proposed result.

nonlinear systems；stability analysis；T－S fuzzy model；slack matrix

TP273

A

1671－5489（2014）04－0789－05

現(xiàn)實世界中的系統(tǒng)通常具有非線性物理特征，而系統(tǒng)穩(wěn)定性分析問題是控制論研究的重點.Takagi－Sugeno（T－S）模糊模型［1］有效解決了一類非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模問題.文獻［2］證明了由于T－S模糊模型能以任意精度逼近定義在緊集上的一個連續(xù)非線性函數(shù)，在理論分析上賦予了基于T－S模糊模型非線性系統(tǒng)建模技術(shù)的合法性.在基于T－S模糊模型的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析研究成果中，早期結(jié)果均選用單Lyapunov函數(shù)進行穩(wěn)定性條件的設(shè)計，但由于這種單Lyapunov函數(shù)對于所有的模糊子系統(tǒng)使用同一個Lyapunov矩陣，因而所得到系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的保守性通常較大，在很大程度上限制了T－S模糊模型在非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用［3－8］.為了減少所得穩(wěn)定性條件的保守性，文獻［4］提出了一種附件變量引入技術(shù)減少穩(wěn)定性判據(jù)的保守性.文獻［5－8］在文獻［4］的基礎(chǔ)上進行了改進，得到了保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù).但由于單Lyapunov函數(shù)本身固有的缺點使上述結(jié)論很難從本質(zhì)上對穩(wěn)定性結(jié)果的保守性進行改善，要想進一步減少保守性就必須設(shè)計新型的Lyapunov函數(shù).文獻［9］提出了一種模糊Lyapunov函數(shù)，它能更充分考慮模糊隸屬函數(shù)的有用信息，顯著地減少了結(jié)果的保守性.在此基礎(chǔ)上，人們提出了許多基于模糊Lyapunov函數(shù)的模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析結(jié)果［10－15］.

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.04.30

2014－02－28.

李麗芳（1970—），女，漢族，碩士研究生，副教授，從事控制論的研究，E－mail：lili＿fang99＠163.com.

國家自然科學(xué)基金（批準號：21127010）.