駐波法之聲壓極小值測聲速研究

田玉仙，李紹蓉，陳 丹，龔 安，楊 易

(西安科技大學 理學院，陜西 西安 710054)

1 引 言

對于駐波干涉法[1]測聲速的實驗原理，教材只是簡單推導了兩行波疊加形成的駐波方程，利用駐波相鄰波節(jié)間距離是半個波長，記錄下示波器顯示的正弦波振幅最大時接收器坐標，逐差法處理數(shù)據即可計算波長，從而測定聲速. 但學生不明白形成穩(wěn)定駐波時，接收器處恒為波節(jié)，振幅應該恒為零，為什么測定示波器顯示的正弦波振幅最大時接收器坐標，就可以測定波長……，二者間有何聯(lián)系？利用該法測試聲速中，示波器顯示的正弦波常超出示波器屏幕范圍，導致振幅最大無法判斷，為讓實驗得以進行，只能隨時減小示波器Y偏轉增益，這樣又會增加實驗誤差，對此問題如何解決？朱方璽等[2]針對原有聲速測量儀中存在的不足，利用單片機、步進電機等器件構建控制電路，通過識別信號強度強弱變化來代替原有實驗儀中手動操作，提高了實驗精度. 鄭慶華[3]分析了考慮空氣對聲波的吸收及反射截面損耗下利用相鄰兩聲壓極大值之間的距離為λ/2測聲速的原理. 王開圣等[4]分別導出了平面波、球面波函數(shù)下考慮空氣吸收后接收聲壓的表達式，分析了聲壓隨探頭間距的變化規(guī)律. 張寶峰等[5]對聲波在發(fā)射器和接收器2個端面之間反射形成極大值的位置、條件以及聲波強度隨距離變化的規(guī)律作了研究. 張正康等[6]介紹了基于Cassy Lab軟件下的超聲波干涉實驗，根據干涉理論推導了峰谷法測量聲速的計算公式.從文獻[4,5]中聲強隨距離變化實驗、模擬圖片都可以看出，共振干涉法測聲速時，聲壓極小值也按接收器位置呈半波長的周期性變化，對此，二文獻均未提及. 文獻[6]雖然提出了干涉峰谷法測量聲速理論，但其采用了與現(xiàn)行絕大多數(shù)工科院校大學物理聲速實驗完全不同的儀器設備，因此不具有可比性。本文將針對工科院校大學物理實驗中駐波干涉法測聲速常規(guī)儀器設備，詳細詳細推導無數(shù)往返行波疊加形成的穩(wěn)定駐波方程和駐波的能量方程，將之與壓電陶瓷聲電轉換理論結合起來，從而揭示形成穩(wěn)定駐波時示波器顯示正弦波形振幅與接收器媒質能量關系，看從理論上找到聲壓極小值法測聲速的依據并用實驗驗證.

2 駐波方程的推導

駐波法測聲速實驗裝置如圖1所示. 實驗前，調節(jié)接收器S2，使之與發(fā)射器嚴格平行且同軸等高，并選擇性能較好的輸出頻率穩(wěn)定的低頻信號發(fā)生器. 當信號發(fā)生器輸出正弦波信號，接至壓電陶瓷超聲波換能器(電聲轉換)S1，發(fā)射出超聲平面波(聲源). 該超聲波經空氣正向入射到相距一定距離L的壓電陶瓷接收器(聲電轉換)S2后，將沿發(fā)射器和接收器軸線在接收器表面作垂直反射，形成逆向反射波，該反射波逆向傳輸至發(fā)射器時，又會沿二者軸線在反射器表面垂直反射，發(fā)出二次正向入射波，接著又會在接收器表面垂直反射，形成二次逆向反射波……如此往返地傳播，S1和S2之間可有無窮多個正向入射行波和逆向反射行波傳播著.由于空氣的阻抗小于鋁材料制成的壓電陶瓷換能器阻抗，故在發(fā)射器和接收器表面的每次反射中都存在半波損失. 由于超聲波聲強隨距離增加衰減較小，可忽略空氣對超聲波能量的吸收. 反射端面很平整、光滑且同軸等高，反射界面的能量反射損失也可以忽略.

圖1 駐波干涉法測聲速連線圖

選擇游標卡尺主尺0線為坐標原點，沿游標尺方向建立x軸，聲源S1坐標x=x0，選擇適當?shù)挠嫊r零點使1次入射波初相為零，則各次理想的正向入射波和逆向反射波波函數(shù)為

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x為各媒質位置坐標，可從游標卡尺讀出.

從各次正向入射波和逆向反射波波函數(shù)可以看出，當發(fā)射器和接收器端面之間的距離L=nλ/2時，所有正向入射波、逆向反射波分別同相位，相互疊加后各自的合成波振幅都取最大值. 把所有正向入射波等效為一列波y入，把所有逆向反射波等效為一列波y反，則得到穩(wěn)定駐波波動方程為

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3 駐波的能量

在發(fā)射器S1和接收器S2間任意取一體積元dV=Sdx，S是媒質截面積，dx是體積元線度. 設空氣密度為ρ，楊氏模量為Y(Y=ρu2)，正向入射波和逆向反射波傳輸過程中，都會引起該體積元振動并發(fā)生形變，引起振動動能和形變勢能的改變. 其振動速度、形變量、振動動能、形變勢能和機械能分別為

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dW=dWk+dWp.

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由上述計算公式知，各體積元的振動速度、形變量、動能、勢能和機械能都隨時間作同周期性的變化. 結合圖2和圖3可以看出，波節(jié)處，振動速度始終為零，體積元始終保持靜止，動能為零，而其形變量及形變勢能均隨時間按照余弦規(guī)律作同周期性變化.t=(2k+1)T/4時形變量及勢能最大，最大勢能值為dWp-max=2ρA*2ω2Sdx，t=2kT/4時形變量為零，勢能為零.

波腹處，體積元形變量始終為零，勢能始終為零，但其振動速度及動能也隨時間按照余弦規(guī)律作同周期性變化.t=2kT/4時振動速度最大，動能最大，最大動能dWk-max=2ρA*2ω2Sdx，且dWk-max=dWp-max，t=(2k+1)T/4時振動速度為零，動能為零.

圖2 波節(jié)處?y/?x及波幅處v隨t變化

圖3 波節(jié)處dWp及波幅處dWk隨t變化

相鄰波節(jié)和波腹之間媒質的總能量

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不隨時間變化. 也就是說，任一相鄰波腹和波節(jié)間λ/4長的一段駐波，作為一個整體，其能量變化與諧振子類似，波節(jié)處只有勢能，波幅處只有動能，且波節(jié)處媒質最大形變勢能與波幅處媒質最大振動動能相等，在任一時刻，波節(jié)處2波的能流密度矢量大小相等，方向相反，疊加后能流密度矢量為零，波腹處的能流密度矢量也為零，即無能量流過波節(jié)和波幅.而波節(jié)和波幅間的其他媒質，既有勢能又有動能，駐波的勢能和動能在相鄰波節(jié)和波幅間相互轉化，轉化周期剛好為波動周期的T/4，駐波無能量的定向傳播.

4 聲壓方程

本實驗中，超聲波的發(fā)射和駐波信號的接收都是通過壓電陶瓷換能器來完成的. 壓電陶瓷換能器由壓電陶瓷片和一輕一重2種不同金屬組成，在一定的溫度下經極化處理后，具有壓電效應，利用它能夠將機械能和電能互相轉換. 當正弦交流電信號加到發(fā)射器上時，會引起壓電陶瓷振動并產生伸縮形變，發(fā)射超聲波.當超聲波正入射到達接收器時，會在接收器表面垂直反射，二者都會引起組成接收器的壓電陶瓷換能器振動，在縱向上發(fā)生伸縮形變，并在形變的相反方向上產生與形變量成正比例的彈性壓力(應力)，設應力的合力F=-k?y/?x. 在此應力作用下，壓電陶瓷表面會產生電荷，而在極化方向上產生一定的電壓U(聲壓)，該聲壓U與應力F滿足線性關系

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該式也是聲學理論中所述的一維情況下，忽略媒質對聲波吸收時接收器端面處的聲壓波動方程[7]，比例常量k和ks分別為彈性系數(shù)和壓電常量，與材料性質有關. 壓電陶瓷就是通過這種方式，將聲壓變化轉變?yōu)殡妷鹤兓瘉斫邮章曅盘柕?

綜上所述，當聲速測定儀的發(fā)射器和接收器端面之間的距離L=nλ/2時，發(fā)生器和接收器間可形成穩(wěn)定聲駐波，由于反射時有半波損失，此時接收換能器表面處始終為波節(jié)，媒質始終靜止不動，振幅為零，位移為零，故本實驗中示波器顯示的波形實際上不是接收器端面波節(jié)的位移波形. 從圖1可知，聲速實驗中，是將接收器接收到的聲電轉換信號直接接到示波器Y端，選擇示波器Y工作模式，故示波器屏幕上顯示的正弦波形正是由接收器壓電陶瓷伸縮形變產生的聲壓波形. 由聲壓波動方程可看出，聲壓的值隨接收器位置呈周期性變化，波幅處，聲壓為零，波節(jié)處，聲壓隨時間按照余弦規(guī)律呈周期性變化.t=(2k+1)T/4時，媒質形變量最大，勢能最大，接收器接收到的聲電轉換信號U最大，示波器上顯示的正弦波形振幅也最大，聲壓效應最明顯.t=2kT/4時，媒質形變量為零，勢能為零，理論上接收器接收到的聲電轉換信號U應該為零，示波器上顯示的電信號振幅也應該為零.

5 聲速的測量

5.1 實驗儀器

采用杭州大華儀器制造有限公司生產的SV-DH-7聲速測定儀，共振頻率f=37 090 Hz；SUX-5型綜合聲速測定儀信號源，輸出頻率范圍25～45 kHz；自配示波器為西安紅華電子有限公司生產的20 MHz雙蹤示波器，型號為紅華COS 5020B，最高靈敏度1 mV/div. 聲速測量組合儀實物照片見圖4.

圖4 聲速測量組合儀實物照片

5.2 傳統(tǒng)聲壓極大值法測聲速

移動接收換能器位置，接收器接收到的聲壓極大值將隨S1和S2間距離L呈周期性變化. 因此，若保持聲源的頻率f不變，移動接收器，改變接收器與發(fā)射器間的距離L，則在一系列的距離上可不間斷地測得接收器處聲壓振幅極大值的位置坐標x1,x2,x3,x4,…,x12. 根據相鄰兩聲壓極大值之間接收器位置坐標改變量xi+1-xi=λ/2，采用逐差法，可求出該超聲波在空氣中的波長λ，再用公式u=λf可計算出該超聲波在空氣中的傳播速度.這也是現(xiàn)有的大學物理實驗教材中，駐波干涉法測聲速實驗所采用的通用辦法.

駐波共振干涉法測定聲速中，當接收器接收到超聲波強度的大小發(fā)生微小變化時，示波器能否反映出來，取決于示波器Y偏轉的靈敏度和幅度線性.Y偏轉增益越大，示波器的靈敏度越高，幅度線性越好，就越能反映超聲波強度大小的微小變化，測量結果也就越精確. 而傳統(tǒng)的聲壓極大值法所顯示的聲壓波形幅度受示波器顯示屏大小及幾何尺寸的制約，即波形不能超過屏幕的最大尺寸，否則就無法觀察和比較波形和幅度，所以Y偏轉增益不能過大.故一般示波器的最高靈敏度為1 mv/div，誤差為10%[8].

5.3 聲壓極小值法測聲速

由于超聲波在空氣中傳播時，其能量要被空氣吸收衰減，振幅也要衰減，而低頻超聲波在空氣中吸收系數(shù)較小，這使得聲波衰減速度慢，這樣反射波振幅總小于入射波，但入射波與反射波的振幅相差不大，干涉疊加并形成穩(wěn)定駐波時，接受器處媒質實際的形變量、彈性勢能的極小值不可能為零，示波器接收到的聲壓的極小值也不為零，這與前面對理想駐波推導不符，實驗時需仔細觀察.

表1 駐波法之聲壓極小值法測聲速數(shù)據

聲壓極小值法不受示波器顯示屏大小及幾何尺寸的制約，為提高儀器靈敏度，實驗前可將示波器Y偏轉增益調到最大，即可使實驗誤差減少到儀器所能達到的最小程度.

6 結 論

示波器屏幕上顯示的正弦波形為聲壓波形，其值與接收器壓電陶瓷形變量成正比.t=(2k+1)T/4時最大，t=2kT/4時最小. 連續(xù)監(jiān)測系列聲壓極大值或極小值時S2位置坐標，利用相鄰兩聲壓極大值或極小值間接收器位置坐標改變量都是λ/2，采用逐差法，兼可測定超聲波波長，從而測定聲速. 與傳統(tǒng)聲壓極大值法相比，聲壓極小值法測聲速不受示波器顯示屏大小的限制，實驗前如將Y偏轉增益調到最大，可大大減少實驗誤差，因此，該法更具有優(yōu)勢.

參考文獻：

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[4] 王開圣,趙志敏,劉小廷. 聲速測量實驗原理討論[J]. 物理實驗,2010,30(3):25-28.

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[8] 上海新建儀器設備有限公司. XJ4318型雙蹤示波器技術說明書[Z]. 上海.