物理學(xué)中的絕熱不變量及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

李岸陽(yáng)，王雨雷，魏雅利

(1.中核清原環(huán)境技術(shù)工程有限責(zé)任公司，北京 100037;2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代物理系，安徽 合肥 230026; 3.北京市5111信箱，北京 100094)

1 引 言

絕熱不變量是近代物理學(xué)中的重要概念. 其產(chǎn)生背景可追溯到1911年索爾維(Solvay)會(huì)議[1]. 當(dāng)時(shí)在討論量子力學(xué)問題期間，洛侖茲提出了一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，即當(dāng)單擺的周期緩慢變化時(shí)，其振幅如何變化. 愛因斯坦第一個(gè)回答了這個(gè)問題，并提出了絕熱不變量概念.

簡(jiǎn)諧振子等周期問題是物理學(xué)中少有的幾個(gè)能夠被嚴(yán)格解析解決的問題. 然而，真實(shí)世界中，嚴(yán)格的周期系統(tǒng)并不存在. 大部分我們熟知的周期系統(tǒng)，如行星公轉(zhuǎn)、水波傳播、心率等都不嚴(yán)格. 它們實(shí)際是具有近似周期行為的準(zhǔn)周期系統(tǒng). 在研究準(zhǔn)周期系統(tǒng)時(shí)，一方面周期的嚴(yán)格定義需要重新被考慮，如何準(zhǔn)確描述準(zhǔn)周期系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間演化成為一個(gè)極富實(shí)踐意義的問題. 另一方面，在周期性系統(tǒng)中存在的守恒量在準(zhǔn)周期系統(tǒng)中并不嚴(yán)格成立，這大大增加了對(duì)準(zhǔn)周期系統(tǒng)進(jìn)行研究的難度. 絕熱不變量的提出使我們找到了準(zhǔn)周期系統(tǒng)中相對(duì)應(yīng)的“守恒量”，具有重要意義. 在許多情況下，絕熱不變量并不被廣泛認(rèn)識(shí)，絕熱不變量和近似不變量之間經(jīng)常被混淆.

總的來(lái)說(shuō)絕熱不變量與近似不變量的差別在于物理量在長(zhǎng)時(shí)間時(shí)的性質(zhì). 由于準(zhǔn)周期系統(tǒng)的參量一般都隨時(shí)間緩慢變化，因此許多相應(yīng)物理量也隨時(shí)間緩慢變化，在很長(zhǎng)時(shí)間后由于不斷積累，該物理量會(huì)變化很大，這就是近似不變量的概念. 而絕熱不變量在短時(shí)間內(nèi)變化可能和近似不變量同一量級(jí)，但經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間后，絕熱不變量的變化仍然很小.

本文擬從絕熱不變量的定義出發(fā)，詳細(xì)闡釋其性質(zhì)與重要意義. 通過設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的準(zhǔn)周期系統(tǒng)物理實(shí)驗(yàn)，可以測(cè)定系統(tǒng)中的絕熱不變量，從而加深對(duì)絕熱不變量性質(zhì)的理解.

2 準(zhǔn)周期系統(tǒng)中的絕熱不變量

周期系統(tǒng)不變量的研究在物理領(lǐng)域有著基本的意義. 幾乎所有的系統(tǒng)都可以轉(zhuǎn)化為周期系統(tǒng)進(jìn)行考慮，如通過傅里葉變換等方法將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解為不同周期性的正弦函數(shù)，從頻域角度分析問題. 周期系統(tǒng)不變量反映了系統(tǒng)的對(duì)稱性，這不僅可以簡(jiǎn)化物理問題，而且能夠幫助人們抓住問題的物理本質(zhì)，加深對(duì)相關(guān)系統(tǒng)的理解.

理想諧振子為周期系統(tǒng)，其哈密頓量為[2]

(1)

p=mωqcotQ，

(2)

(3)

方程(1)形式上變?yōu)?/p>

H=ωP.

(4)

由于H不顯函Q，變換后的動(dòng)量，P=H/ω，為守恒量. 這個(gè)守恒量不僅揭示了理想諧振子系統(tǒng)的本質(zhì)屬性，而且它可以很自然的推廣到其他的大部分周期系統(tǒng)中. 因此守恒量的意義可見一斑.

周期系統(tǒng)具有嚴(yán)格固定的頻率及相應(yīng)的守恒量，然而實(shí)際的物理問題中，理想的周期系統(tǒng)是不存在的. 對(duì)于非周期系統(tǒng)，宏觀意義上的“頻率”、“相位”等概念都變得模糊不清，大部分系統(tǒng)只能從微觀意義上定義“瞬時(shí)頻率”. 為了簡(jiǎn)化問題，考慮瞬時(shí)頻率隨時(shí)間演化相對(duì)極慢的系統(tǒng)，即

(5)

其中，ω(t)為系統(tǒng)瞬時(shí)頻率. 這種系統(tǒng)稱為絕熱系統(tǒng)，其隨時(shí)間的演化就是絕熱演化過程. 從物理意義上來(lái)說(shuō)，絕熱系統(tǒng)比周期系統(tǒng)更貼近物理實(shí)在，因此，此系統(tǒng)守恒量的研究也就極為重要. 絕大多數(shù)絕熱系統(tǒng)存在3種不變量：守恒量、近似不變量和絕熱不變量. 守恒量就是嚴(yán)格不含時(shí)的物理量，然而，近似不變量和絕熱不變量很容易混淆，他們的區(qū)別就是長(zhǎng)時(shí)間性質(zhì)不同.

近似不變量定義為：在時(shí)間區(qū)間0

(6)

其中，ω(t)滿足式(5). 定義物理量

(7)

其中，參量s>0，ps(t)和qs(t)滿足方程

(8)

方程(8)實(shí)際就是以t=s時(shí)刻的ω(s)為固定頻率的哈密頓量，方程(7)則定義了瞬時(shí)周期和相應(yīng)的作用量. Arnold證明，如果0

絕熱不變量的定義與近似不變量相似，但是絕熱不變量沒有時(shí)間上的限制，即對(duì)任意時(shí)刻t，如果物理量A(t)的增量ΔA=A(t)-A(0)～O(ε)，則該物理量就是絕熱不變量[4]. 近似不變量與絕熱不變量的性質(zhì)可以通過圖1來(lái)定性說(shuō)明. 圖1中A1為近似不變量，A2為絕熱不變量，經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間后，A1變化可能很大，而A2與t=0時(shí)刻相差仍為一階小量.

圖1 近似不變量與絕熱不變量的對(duì)比

3 變擺長(zhǎng)單擺的絕熱不變量

單擺是物理學(xué)中的非常簡(jiǎn)單的問題，在物理實(shí)驗(yàn)和教學(xué)領(lǐng)域，單擺被廣泛關(guān)注[5-7]. 但如果單擺的擺長(zhǎng)隨時(shí)間改變，那么系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的求解就變得很復(fù)雜[1]. 如果單擺的擺長(zhǎng)絕熱演化，單擺就變成了絕熱系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中存在絕熱不變量.

變擺長(zhǎng)單擺實(shí)驗(yàn)裝置如圖 2所示. 擺長(zhǎng)為l，牽引裝置A的轉(zhuǎn)盤半徑為R，角速度為ωr，要求ωr滿足絕熱條件

(9)

擺線與木板B的孔O的摩擦可以忽略，小孔經(jīng)過拋光、潤(rùn)滑等處理，θ為擺線與垂直線的夾角，為了保證單擺條件，要求整個(gè)過程中θ<10°，由于擺幅與轉(zhuǎn)盤速度相關(guān)，因此，實(shí)驗(yàn)中可以通過人為調(diào)整轉(zhuǎn)速來(lái)達(dá)到單擺條件.

圖2 變擺長(zhǎng)單擺實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

固定擺長(zhǎng)單擺系統(tǒng)的拉氏量為

(10)

利用拉格朗日方程和單擺條件易得運(yùn)動(dòng)方程為

(11)

對(duì)于變擺長(zhǎng)單擺，方程(11)可寫為

(12)

(13)

滿足絕熱條件.

設(shè)w(t)為任意含時(shí)物理量，w(t)滿足方程

(14)

可以通過方程(12)和(14)得到該變擺長(zhǎng)單擺系統(tǒng)的一個(gè)守恒量[1, 4]，

(15)

可以很容易驗(yàn)證dI/dt=0. 考慮到Ω(t)隨時(shí)間變化很慢，可以將其重參量化為Ω=Ω(T)，其中T=εt. 方程(14)形式上變?yōu)?/p>

(16)

令w=u0+εu1+ε2u2+…，逐級(jí)求解方程(16)，可得[4]

w=Ω-1/2+O(ε2)，

(17)

(18)

基于I定義一個(gè)新的守恒量

(19)

將(17)式和(18)式代入(19)式，可以得到

(20)

(21)

定義物理量

(22)

對(duì)比(20)和(22)式易得

Ap=Ip+O(ε)，

(23)

考慮到Ip為守恒量，因此，在任意t時(shí)刻，有

[Ap(t)-Ap(0)]～O(ε)，

(24)

因此，Ap為變擺長(zhǎng)單擺系統(tǒng)的絕熱不變量.

利用圖1所示的裝置，可以通過實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證Ap為絕熱不變量. 考慮到單擺系統(tǒng)處在保守勢(shì)場(chǎng)中，并且廣義坐標(biāo)p和q不顯函時(shí)間，所以哈密頓量為單擺的能量，即H=E. 為了減小測(cè)量誤差，可以通過測(cè)量最大擺角θmax來(lái)得到能量，即

H=E=mgl(1-cosθmax).

(25)

設(shè)初始時(shí)刻擺長(zhǎng)為l0，t時(shí)刻裝置A轉(zhuǎn)過的角度為Φ，因此有

l(t)=l0-RΦ.

(26)

(27)

因此，待測(cè)量為Φ(t)和θmax(t)，通過測(cè)量不同時(shí)刻的Ap就可以明確看出Ap的絕熱不變性. 應(yīng)該注意的是，本實(shí)驗(yàn)要求全過程滿足單擺條件，即θ<10°，對(duì)擺長(zhǎng)沒有限制.

4 變參量LC回路的絕熱不變量

LC回路是電學(xué)中簡(jiǎn)諧振蕩的重要實(shí)例，如圖3所示，為了保證回路能量損失較小，電感L與電容C都比較大， 靈敏電流計(jì)的電阻極小， 電

壓表電阻極大. 最簡(jiǎn)單的情況下，認(rèn)為電感與電容不變，這種理想情況下電流i滿足的方程為

(28)

(29)

仍然利用方程(14)獲取LC回路的守恒量

圖3 LC回路實(shí)驗(yàn)示意圖

(30)

進(jìn)一步，利用(16)～(20)的思路，可以得到

(31)

定義物理量

(32)

其中V為電壓表讀數(shù). 利用電感定律V=-Ldi/dt，對(duì)比(31)和(32)式容易看出

ALC(t)=I′+O(ε).

(33)

考慮I′為守恒量，因此對(duì)任意時(shí)刻t，ALC(t)滿足

[ALC(t)-ALC(0) ]～O(ε)，

(34)

ALC為絕熱不變量.

(35)

通過測(cè)量不同時(shí)刻ALC，可驗(yàn)證絕熱不變的性質(zhì).

5 結(jié)束語(yǔ)

討論了準(zhǔn)周期系統(tǒng)中的絕熱不變量. 以變擺長(zhǎng)單擺和LC回路2個(gè)物理系統(tǒng)為例，分別證明和獲得了相應(yīng)的絕熱不變量，并提供了實(shí)驗(yàn)上進(jìn)行測(cè)量的思路和方法. 2個(gè)例子都是含時(shí)諧振子方程的具體表象，大部分物理系統(tǒng)都可以利用含時(shí)諧振子方程研究，其絕熱不變量可以反映大多數(shù)物理系統(tǒng)的“近似”守恒性質(zhì)，因此，盡管這2個(gè)實(shí)例計(jì)算絕熱不變量的過程并不復(fù)雜，但是，其揭示的物理意義是非?；竞椭匾?，對(duì)于理解復(fù)雜物理系統(tǒng)是很有幫助的.

參考文獻(xiàn)：

[1] Kulsrud R M. Adiabatic invariant of the harmonic oscillator [J]. Physical Review， 1957，106(2)：205.

[2] Goldstein H， Poole C， Safko J. 經(jīng)典力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2005：377-379.

[3] Arnold V I. Mathematical Methods of Classical Mechanics [M]. New York： Springer Press， 1989.

[4] Qin H， Davidson R C. An exact magnetic-moment invariant of charged-particle gyromotion [J]. Physical Review Letters， 2006，96(8)：085003.

[5] 秦鳴雷，肖一凡，楊海亮,等. 大角度下阻尼對(duì)單擺擺動(dòng)周期的影響[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2012,32(5)：42-45.

[6] 張虹雪，陳雪芹，樊婷,等. 單擺擺球運(yùn)動(dòng)軌跡控制裝置[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2013,33(12)：36-38.

[7] 蔡霞，吳先球. 基于虛擬儀器實(shí)現(xiàn)單擺法測(cè)量重力加速度[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2012,32(8)：28-29.