用傅里葉定律分析無(wú)限大平行平板中的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)

羅 宏

(蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

1 引 言

準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法測(cè)量材料的熱物性是一種較精確的動(dòng)態(tài)測(cè)量方法，在各類(lèi)固、液以及納米材料的熱物性測(cè)量中得到了應(yīng)用[1-4]. 其特點(diǎn)是效率高，所得數(shù)據(jù)較多. 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)作為測(cè)量比熱容和導(dǎo)熱系數(shù)的方法也引入了大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中[5-6]，作為一種應(yīng)用動(dòng)態(tài)方法的實(shí)驗(yàn)，開(kāi)闊了學(xué)生的思路和視野.

2 無(wú)限大平行平板中準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)分析

在實(shí)驗(yàn)中常采用第二類(lèi)邊界條件下的無(wú)限大平板模型作為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)[1,3-5]. 導(dǎo)熱系數(shù)及比熱容的計(jì)算式由平板的溫度分布函數(shù)導(dǎo)出[5，7]. 進(jìn)一步了解溫度分布函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程則涉及到解第二類(lèi)邊界條件下的熱傳導(dǎo)微分方程:

(1)

用到分離變量法，以及傅里葉分析等[8].

將以上方法應(yīng)用到實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，存在2個(gè)問(wèn)題，其一是對(duì)大部分學(xué)生而言理論基礎(chǔ)要求過(guò)高，其二是公式的推導(dǎo)過(guò)程并沒(méi)有幫助學(xué)生了解準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)是怎樣的物理過(guò)程及其特點(diǎn).

本文根據(jù)一維情況下的傅里葉定律

(2)

結(jié)合比熱容的定義

dQ=cmdt,

(3)

分析了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)物理過(guò)程及其物理特征，并推出導(dǎo)熱系數(shù)的計(jì)算公式，得到了與解偏微分方程一致的結(jié)果.

如圖1所示，無(wú)限大各向同性的均勻平行平板厚度為d，一個(gè)表面絕熱，另一個(gè)表面的熱流密度-qc為常量，此處負(fù)號(hào)是考慮其方向?yàn)樨?fù). 假設(shè)平板的導(dǎo)熱系數(shù)λ、比熱容c和密度ρ不隨溫度變化. 建立如圖1所示坐標(biāo)，使x軸垂直于平行平面，原點(diǎn)位于絕熱表面上.

圖1 恒熱流密度下的無(wú)限大平行平板

由系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性知，熱流密度必然與x軸平行，并且x相同的位置，熱流密度相同，熱流密度是x的一維函數(shù). 平板被持續(xù)加熱，其溫度必然不斷升高. 但由于流入的熱流密度始終為常量，可以合理猜想流入的熱量被平板各處均勻吸收. 當(dāng)然這是經(jīng)過(guò)初始過(guò)渡過(guò)程之后，達(dá)到“穩(wěn)定”的狀態(tài)，即準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)時(shí)的情況. 由以上分析，假設(shè)平板中的熱流密度為

q=ax+b,

(4)

以下由微元法，通過(guò)物理過(guò)程說(shuō)明這正是系統(tǒng)“穩(wěn)定”后的狀況，并求出常量a，b.

將平板沿平行于表面的方向分為無(wú)窮多個(gè)等厚的薄層，薄層厚度Δx趨向于無(wú)窮小. 任取相鄰的2個(gè)薄層Vi+1，Vi+2，如圖2所示. 圖中所示熱流密度為箭頭所指面上所流過(guò)的熱流密度. 因薄層為任取，以下的討論具有普遍性.

圖2 平板中的2個(gè)薄層微元

研究Vi+1，由熱容式(3)及能量守恒知，時(shí)間dτ內(nèi)，流入流出的熱量差等于溫度變化而吸收的熱量

ΔQ=(qi-qi+1)Adτ=cΔmdti+1,

(5)

由Δm=ρAΔx(ρ為板的密度)，式(5)變?yōu)?/p>

(6)

當(dāng)Δx趨向于無(wú)窮小，等式左端即熱流密度的導(dǎo)數(shù)dq/dx. (6)式以及(2)式描述了熱量在板內(nèi)流動(dòng)、吸收的情況，限定了熱流密度和溫度的關(guān)系，是熱流密度和溫度必須滿足的等式.

以下類(lèi)比力學(xué)中穩(wěn)定平衡的概念，通過(guò)說(shuō)明(4)式所代表的狀態(tài)是平衡且穩(wěn)定的，來(lái)說(shuō)明這種狀態(tài)會(huì)自發(fā)、持續(xù)存在.

首先說(shuō)明(4)式代表“平衡”的狀態(tài)，即可以持續(xù)存在的狀態(tài). 由(6)式可看出，等式左側(cè)熱流密度對(duì)空間的導(dǎo)數(shù)處處為常量時(shí)[熱流密度為空間的線性函數(shù)，即(4)式]，等式右側(cè)所有薄層中溫度對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)為常量. 當(dāng)各處溫度的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為常量時(shí)，其空間梯度必為時(shí)不變函數(shù)，則由(2)式，要求熱流密度為時(shí)不變函數(shù). (4)式滿足這一要求. 同時(shí)也要求外加熱流密度為常量，這正是假設(shè)的條件. 由此(4)式滿足了(2)和(6)式，同時(shí)是時(shí)不變的狀態(tài)，可以持續(xù)存在. 此時(shí)，熱流密度線性變化，各薄層吸熱速率相同，導(dǎo)致溫升速率相同. 相同的溫升速率說(shuō)明溫度梯度不隨時(shí)間變化，又保證了此熱流密度不發(fā)生改變，狀態(tài)持續(xù)存在. 溫升速率相同，是準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的特征，此狀態(tài)為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài).

接下來(lái)，說(shuō)明其是“穩(wěn)定平衡”，也就是如果系統(tǒng)不在此狀態(tài)，會(huì)自發(fā)地向此狀態(tài)演化. 需要考慮2個(gè)相鄰的薄層，分析熱流密度偏離上述狀態(tài)之后，系統(tǒng)如何自我調(diào)節(jié). 如果qi-qi+1>qi+1-qi+2，則由(6)式知ti+1升高的速率大于ti+2，導(dǎo)致兩薄層間的溫度差加大，由(2)式知qi+1將增大，其結(jié)果是qi-qi+1減小，qi+1-qi+2增大，上面不等式兩端的差距縮小. 若qi-qi+1

由以上文中分析可以得出，無(wú)限大平行平板系統(tǒng)趨向且穩(wěn)定于熱流密度隨x線性變化的狀態(tài). 此時(shí)，所有部分溫升速率相同，這正是準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的特征.

根據(jù)邊界條件及(4)式，q(0)=b=0，q(d)=-qc=ad，則b=0，a=-qc/d,代入(4)式得：

(7)

將(7)式代入傅里葉定律(2)式，

(8)

將上式從0到x積分，得到x處溫度

(9)

可見(jiàn)溫度場(chǎng)為拋物線函數(shù). 若x=d，則可得

(10)

式中Δt=t(d)-t(0),為平板2個(gè)表面的溫度差，上面已經(jīng)說(shuō)明，其為常量. 此式為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下，利用無(wú)限大平行平板測(cè)量導(dǎo)熱系數(shù)的計(jì)算公式. (9)和(10)兩式與用熱傳導(dǎo)微分方程(1)推導(dǎo)出的結(jié)果相同[7]，驗(yàn)證了結(jié)果正確.

3 結(jié)束語(yǔ)

準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下的平行平板問(wèn)題在熱物性參量的測(cè)量中常被用到. 本文從熱流密度著手，這正是從準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的特點(diǎn)出發(fā). 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的特點(diǎn)是物體中所有點(diǎn)的溫升速率都相等，由傅里葉定律知，這就導(dǎo)致空間中的熱流密度不隨時(shí)間變化. 從不變量著手可以更容易地解決問(wèn)題，所以從熱流密度著手有其合理性. 熱傳導(dǎo)微分方程(1)式本身就是建立在傅里葉定律和比熱容定義式基礎(chǔ)之上. 所以本文的方法和傳統(tǒng)的方法有相同的基礎(chǔ). 只是本文的方法更強(qiáng)調(diào)物理的概念和過(guò)程. 相對(duì)于解偏微分方程的方法，更簡(jiǎn)單易懂，利于教學(xué). 學(xué)生反復(fù)應(yīng)用物理的概念、分析物理過(guò)程，有利于學(xué)生熟悉物理概念、建立物理直覺(jué).

參考文獻(xiàn)：

[1] 周樂(lè)平，王補(bǔ)宣. 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法測(cè)量納米顆粒懸浮液的熱物性[J]. 工程熱物理學(xué)報(bào)，2003,24(6):1038-1039.

[2] 何茂剛，鐘秋，薛榕,等. 變?nèi)莘e量熱器法測(cè)量液體比熱容研究[J]. 熱科學(xué)與技術(shù)，2008,7(1):70-74.

[3] 周孑民,曾文輝,葉良春,等. 有機(jī)玻璃熱物性準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法實(shí)驗(yàn)研究[J]. 工業(yè)計(jì)量，2005,15(6):10-12.

[4] 盧建航,孫宏,尹海山. 用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法測(cè)定橡膠及橡膠基復(fù)合材料的導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容[J]. 輪胎工業(yè),2001,12(5):305-309.

[5] 趙海發(fā)，劉世剛，金恩培,等. 新型準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法不良導(dǎo)體熱物性參數(shù)測(cè)定儀的原理與應(yīng)用研究[A]. 全國(guó)高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程教育學(xué)術(shù)研討會(huì)[C]. 2008:400-402.

[6] 張紅佳，郭永利，李正,等. 真空熱流法測(cè)定不良導(dǎo)體的導(dǎo)熱系數(shù)[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2012,32(9): 5-7.

[7] 郭重雄，余其錚，薛洪福. 導(dǎo)熱系數(shù)和比熱準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)測(cè)量方法的分析[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1984(2):62-72.

[8] 雷柯夫 A B. 熱傳導(dǎo)理論[M]. 裘烈鈞，丁履得，譯. 北京：高等教育出版社，1955:155-157.