構造法的數學思想及其運用

丁文敏

摘?要：構造的思想方法是解決數學問題常用的思想方法。本文介紹了方程構造法、命題構造法、模型同類構造、解圖形構造、函數構造等構造法的運用。

關鍵詞：數學教學?構造?運用

在數學教學中，我們常常采用構造方法來解決數學問題。因為有的結論難以直接表達，需要借助一定的條件才能轉化到結論，于是就可以利用數學問題的特殊性，進行新的關系結構的設計，間接地尋找解決問題的具體方法。這種方法不是直接解決原問題，而是創(chuàng)造一個與原來問題有關或等價的新問題。它可以用于對經典數學的概念、定理的解釋，也可以用于開發(fā)構造性數學的新領域。在解決初等數學問題時，構造思想方法得到廣泛的應用。

用構造思想解題的巧妙之處在于構造一個與原問題有關的輔助新問題，希望通過它的解決來幫助解決原問題。一般情況下，創(chuàng)設一個比原問題更簡單、更直觀的新問題，使得原問題迎刃而解，此方法的運用就成功了。

一、方程構造法

遇到等量性的問題都可能使用方程這個工具，對于一些計算問題也可運用方程的思想來解決。?倘若一個量不能或難于直接求得，就設法導出它所滿足的方程，于是問題就歸結為求解方程了。我們可以根據解的定義構造方程，可以引入未知數，把問題轉化為方程問題求解，可以用韋達定理逆定理構造方程，可以利用判別式構造方程，可以根據題目特點把問題轉化為方程來解決。

例1：若a+b+c=m，1/a+1/b+1/c=1/m，a、b、c互不相等，求證a、b、c中必有一個等于m。

若將a、b、c看作未知量，由條件可知其和為m，兩兩積和ab+bc+ca=—。這樣就可以設出abc后，按三次方程的韋達定理構造出a、b、c為根的方程。這樣我們可以證明：令abc=n，則ab+bc+ca=—，因此a、b、c是方程t3－mt2+t－n=0的三個根。

方程（t－m）（t2+—)=0有一根t1=m，即a、b、c?中必有一個等于m。

由于我們從條件中求出了一元三次方程韋達定理中諸代數式之值，便可構造出a、b、c為根的三次方程，從而把原題的證明轉化為方程根的討論。

二、命題構造法

構造新命題以實現(xiàn)命題轉換，是設置坡度簡化解法的常用手段。特別是在某種情況下，把原命題強化更易得到證明，這時“強化命題”的結論是原命題結論的充分條件。常用的構造命題法有構造引理法，即在解題過程中，常常需要用某些尚未證明的結論作為引理加以應用。有些條件與結論關系隱晦的問題通過引理鋪設臺階，使問題變得明朗化，有些比較復雜的問題需要構造多個引理來解決或簡化。若解答命題A受阻時，則可把命題A轉化為等價命題B，通過解答命題B，從而獲得命題A的結論的方法叫構造等價命題法。構造的等價命題應是構造成已經解決或比原命題更容易解決的問題，以達到化難為易、化新為舊的目的。

三、模型構造法

模型就是為了便于對實際問題進行研究而建立的抽象的理想客體。它是以客觀存在為原型的，對客觀事物是一種近似反映，把原型抽象成“模型”，既有科學抽象過程，又有形象轉化過程。

從數學思維過程來看，構建數學模型是抽象意識的體現(xiàn)，抽象性在數學概念的形成過程中是必不可少的。在運用模型構造法解題的過程中，要體會與揣摩其中的抽象思想，形成抽象意識，從而能從本質看問題，能有意識地區(qū)分主要因素與次要因素，抓住本質解決問題。從數學思維品質看，構造數學模型是思維的深刻性所要求的。

四、圖形構造法

此方法是古典幾何中的基本方法。圖形不僅是幾何問題的對象，而且可以用于解答似乎與幾何無關的各類問題。

五、函數構造法

觀察問題條件特征，聯(lián)想有關數學知識（定理、法則、公式等）來構造函數是常能奏效的構造方法。函數構造的方法就是由命題及條件的數量關系組成一種新的函數關系，使得原來的問題在新的關系下實現(xiàn)轉化，通過對函數的研究使問題獲得解決。

運用構造的思想方法解題，運用者需要有扎實的數學功底，還必須具備由此及彼、由表及里的思維能力，具有豐富的聯(lián)想能力，才能在具體的解題過程中，有能力弄清題意，借助聯(lián)想，構造出新的數學形式，使所求的問題順利得以轉化、解決。

（作者單位：南陽農業(yè)職業(yè)學院）