基于FFT算法的艦載導彈發(fā)射彈位影響研究

鐘 洲, 姜 毅

(北京理工大學 宇航學院，北京 100081)

艦載導彈是現(xiàn)代海軍的主要武器裝備，為了保證火力強度，通常會在一艘艦船上不同位置配置多個共架發(fā)射系統(tǒng)。由于海戰(zhàn)的特殊性，海浪的搖擺運動也會對導彈的發(fā)射精度產(chǎn)生影響[1]，表現(xiàn)在不同發(fā)射位置的導彈具有數(shù)值上較大差異的出筒姿態(tài)。因此，為了滿足制導系統(tǒng)要求，對艦載導彈發(fā)射彈位影響的研究具有非常重要的意義。

本文利用Lagrange方程和修正的Craig-Bampton法建立了艦載導彈剛柔耦合發(fā)射動力學模型；通過參數(shù)化腳本語言(.cmd)[2]和C++編譯程序，進行了參數(shù)化動力學仿真，獲得了大量的導彈出筒姿態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)。同時，基于快速傅里葉變換法[3]對惡劣發(fā)射彈位導彈的動力學響應進行頻譜分析，研究了發(fā)射精度的影響因素，并進一步分析了發(fā)射彈位對發(fā)射精度的影響，為艦載武器的設計和發(fā)射提供了參考依據(jù)。

1 快速傅里葉變換法

1.1 信號的頻域處理方法

通常，我們利用試驗或仿真得到的數(shù)據(jù)是時域信號，其反映的是不同時刻的響應情況。本文為了從艦艇運動方面來分析彈位對導彈發(fā)射精度的影響，需要進行時域信號的頻域處理，顯露出時域信號里隱藏的信息。目前，傅里葉變換是進行頻域分析的重要手段，用于計算機處理的方法是離散傅里葉變換。

設有N點有限長序列x(n)，則其離散傅里葉變換(DFT)為

(1)

式中:k=0,1,2,…,N-1

逆變換(IDFT)為

(2)

1.2 FFT算法

假設DFT的抽樣點數(shù)N=2m，那么對于偶數(shù)序號的基2算法為

(3)

對于奇數(shù)序號的基4算法為

(4)

(5)

式(3)～式(5)組成了分裂基算法中的L型算法結構。該算法是快速傅里葉變換算法中公認最好的，具有最少的乘法和加法次數(shù)。

2 艦載發(fā)射動力學建模

2.1 修正的Craig-Bampton

結構動力學中傳統(tǒng)的Craig-Bampton(簡稱C-B)方法是基于彈性體沒有大范圍剛體運動的假設，分析的是線性動力學問題。子結構裝配時，嵌入到C-B約束模態(tài)中包含六個剛體自由度，并且約束模態(tài)的本質(zhì)是靜力縮聚情況下計算出的模態(tài)，其模態(tài)和頻率不能相互對應。而在多體系統(tǒng)動力學中，已經(jīng)定義了構件的剛體位移，同時構件在慣性坐標系中有大范圍運動，屬于非線性動力學問題，因此必須對傳統(tǒng)Craig-Bampton子結構法進行適當修正，使其能滿足多體系統(tǒng)動力學計算的需要。

易知，在C-B模態(tài)坐標下，子結構的結構動力學方程為

(6)

式中:Mi,Ci,Ki、Ri分別為C-B模態(tài)基下的子結構質(zhì)量，阻尼，剛度和外力矩陣。

求解式(6)所對應無阻尼振動方程的特征值和特征向量：

(7)

(8)

因此，子結構的物理自由度可以表示為

(9)

利用上述正交轉換修正后，使得對界面坐標依次固定時產(chǎn)生的模態(tài)，被無約束的模態(tài)近似代替；約束模態(tài)被邊界特征向量所取代。因此，可以除去零頻率對應的六個剛體運動模態(tài)，并且所有模態(tài)和頻率能相互對應。

2.2 多體系統(tǒng)剛柔耦合動力學方程

如果物體坐標系的位置,使用它在慣性參考系中的笛卡爾坐標X=(x,y,z)T和反映剛體方位的歐拉角ψ=(ψ,θ,φ)T來表示，并且模態(tài)坐標用式q=(q1,…,qM)T表示(M為模態(tài)坐標數(shù))，那么柔性體的廣義坐標可以表示為ξ=(X,ψ,q)T。

運用拉格朗日方程可以建立柔性體的運動微分方程：

(10)

式中:K和D分別為模態(tài)剛度矩陣和模態(tài)阻尼矩陣；Kξ和Dξ分別為物體內(nèi)部由于彈性變形和阻尼引起的廣義力；fg為廣義重力；λ對應于約束的拉格朗日乘子；Q為對應于外力的廣義力。

將柔性體的計算結果和多剛體理論方法相結合可以進一步得到多體系統(tǒng)的剛柔耦合動力學方程。通過文獻[5-6]可以推導出使用拉格朗日乘子得到的第i個柔體或剛體的方程形式為：

(11)

式中:K為動能的表達式，Qi為廣義力，包括單元彈性變形和外加載荷(包括單元間載荷)引起的廣義力。將式(11)與約束方程C(q,t)=0聯(lián)立，即構成剛柔耦合多體動力學方程。

2.3 艦載導彈剛柔耦合動力學模型

根據(jù)艦載發(fā)射動力學知識及武器系統(tǒng)的子部件功能關系，對整個艦船模型進行合理處理，簡化后的模型主要分為艦體和垂直發(fā)射裝置。其中，垂直發(fā)射裝置主要由彈庫、發(fā)射筒、導彈和導軌組成：導彈和導軌間隙裝配，利用閉鎖機構定位；導軌通過螺栓固定于發(fā)射筒中；彈庫垂直內(nèi)置于艦體中，其上下端部與艦體焊接。

艦載導彈垂直發(fā)射時的力學環(huán)境非常復雜，為了描述武器系統(tǒng)發(fā)射時的動力學特性，特作如下假設：除了導軌和導彈，其他結構件均視為剛體，不考慮其柔性；忽略螺栓固定和焊接處的柔性效應；不考慮發(fā)射過程中導彈的變質(zhì)量特性；實際中導彈與艦體質(zhì)量相差懸殊，忽略導彈運動對艦體產(chǎn)生的影響。

由實際工程經(jīng)驗可知，導彈在內(nèi)彈道過程中，其本身的柔性效應和導軌的變形會對出筒姿態(tài)產(chǎn)生嚴重的影響，因此需要利用相關技術手段對導彈(包括彈體和定向鈕)和導軌進行柔性體建模：Adams/Flex是采用修正的Craig-Bampton法來描述彈性體的變形，同時它給Adams和Ansys提供了雙向數(shù)據(jù)交換接口。對于復雜結構件，可以先利用有限元軟件Ansys對構件實體模型進行網(wǎng)格劃分，定義好附著點(施加力與約束副的外部節(jié)點)和構件實際連接處節(jié)點的關系，然后通過Adams connection命令得到模態(tài)中性文件(MNF)，再將模態(tài)中性文件導入Adams便能生成所需的柔性體，提高仿真的精確度。本文最后生成的柔性體共有64個附著點和802 324個節(jié)點數(shù)。圖1為使用Ansys軟件生成的柔性體中導軌的有限元模型，其材料特性密度為2.7×103kg/m3，彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3。

圖1 導軌有限元模型

由于導彈發(fā)射采用冷發(fā)射方式，發(fā)射過程中導彈所受主要激勵為彈射力、閉鎖擋彈器的閉鎖力以及導彈定向鈕與導軌的接觸碰撞力。其中閉鎖力的效果利用Adams中的傳感器sensor激發(fā)，當彈射力大于閉鎖力時開始讓導彈解鎖運動。

模型中的導彈和導軌為柔性體，發(fā)射過程中定向鈕和導軌的接觸力用Contact(Flex body to flex)工具定義，其本質(zhì)為：接觸碰撞采用等效彈簧阻尼模型，即彈簧接觸力根據(jù)Hertz接觸理論計算，同時用阻尼器模擬接觸過程中的能量損失；間隙處的切向摩擦力采用coulomb摩擦模型計算。Contact工具中的具體參數(shù)值與接觸材料有關，定向鈕和導軌的材料分別為鋼和鋁，可根據(jù)試驗數(shù)據(jù)和軟件提供的經(jīng)驗數(shù)據(jù)設定：接觸剛度為3.8×104N/mm；阻尼系數(shù)為28 N·s/mm；力貢獻指數(shù)為1.5；最大穿透深度0.1 mm；靜摩擦系數(shù)為0.3；動摩擦系數(shù)為0.1。

彈射力由提拉桿式彈射裝置提供，采用隨體單向力模擬該載荷，作用點位于提彈梁質(zhì)心，方向近似平行于導軌，載荷大小為：

F(t)=P(t)·S

(12)

式中：P(t)為試驗測得各時刻燃氣壓強；S為活塞筒截面積。采用AKISPL函數(shù)擬合，得到彈射力曲線。

海面上的艦艇由于海浪的波動性，會產(chǎn)生6自由度的搖蕩運動，包括3個沿坐標軸方向的往復平移運動和3個繞坐標軸的往復旋轉運動。根據(jù)對發(fā)射精度的影響程度大小，一般僅考慮橫搖、縱搖和垂蕩3自由度方向上的運動，認為是幅值服從瑞利分布的簡諧振動的疊加[7]。利用Adams中的多自由度點驅動工具(Point Motion)可以用來模擬艦艇在5級海況中的運動：橫搖周期為8 s，幅值為12°；縱搖周期為5 s，幅值為2.5°；垂蕩周期為5 s，幅值為1.9 m。

最后根據(jù)子部件真實運動關系對各部分連接施加相應約束，就搭建完成整個系統(tǒng)剛柔耦合模型,主要部分具體拓撲連接如圖2示。

圖2 拓撲連接

為了便于說明具體彈位，采用x-y格式進行描述(x表示彈庫編號，y代表導彈編號)。對彈庫以及導彈編號如圖3所示。

圖3 彈庫和導彈編號

2.4 參數(shù)化自動仿真及結果分析

為了找出惡劣發(fā)射彈位，需要獲取所有彈位在不同發(fā)射時刻下的導彈姿態(tài)，由于艦船彈庫分布的對稱性，本模型僅研究四個彈庫(1,3,5,7)?？紤]到工況眾多(選擇最小運動周期40 s，采樣點間隔0.25 s，所有工況總和640種)，因此利用參數(shù)化設計，通過編譯C++程序自動修改腳本文件的發(fā)射時間和發(fā)射彈位來實現(xiàn)自動仿真，其仿真控制流程如圖4示。

圖4 仿真控制流程圖

仿真完成所有工況后，對保存的數(shù)據(jù)結果進行統(tǒng)計，列出各個彈庫的角速度峰值對應彈位情況如表1所示。

表1 出筒角速度峰值

取5級海況下1-1和7-8位置對應的各六發(fā)試驗彈相應數(shù)據(jù)，用以驗證原模型仿真結果。1-1位置對應的導彈俯仰角速度最大為20.5 deg/s，偏航角速度最大為10.4 deg/s，滾轉角速度最大為10.1 deg/s；7-8位置對應的導彈俯仰角速度最大為10.3 deg/s，偏航角速度最大為22.5 deg/s，滾轉角速度最大為12.7 deg/s。與表1數(shù)值仿真結果相比，最大值在量級上基本一致，且誤差在4%～10%之間，主要是由于動力學模型和海浪運動的簡化處理造成。根據(jù)工程應用精度要求，文中提出的動力學仿真方法適用于工程計算和分析，計算結果是可信的。

3 發(fā)射彈位影響分析

使用數(shù)學軟件工具對表1所列各惡劣彈位動力學響應信號進行頻譜分析，限于篇幅所限，圖5僅顯示7-8彈位導彈的俯仰，偏航和滾轉各姿態(tài)的頻域信號圖。

其中，俯仰姿態(tài)頻譜圖在頻率為0.2 Hz時出現(xiàn)主峰值，遠遠高于其他峰值；偏航姿態(tài)頻譜圖則在頻率為0.125 Hz時出現(xiàn)主峰值；而滾轉姿態(tài)頻譜圖則包含多個大小相近的峰值。

由力學知識可知，影響導彈姿態(tài)的主要因素有以下三點：導彈的重力作用，海浪使艦船產(chǎn)生的搖擺運動和發(fā)射裝置的結構特征引起的導彈滑塊和導軌的相互碰撞力作用。通過動力學頻譜分析可以方便的看出各因素的影響程度。

圖5 角速度頻譜圖

從頻率值來看，俯仰和偏航的頻譜分析中的主峰值對應的頻率在數(shù)值上正好等于艦船的縱搖和橫搖頻率大小，這是由于船艉5，7號彈庫中導彈的俯仰方向與艦船縱搖的方向相同，偏航方向與艦船的橫搖方向相同，船艏1，3號彈庫中導彈的情況則恰好相反。從幅值上看，俯仰和偏航頻譜分析中的直流分量主要是由重力引起的，其它峰值對應的是彈體與導軌的碰撞力，它們的大小相對于因為艦船搖擺運動而產(chǎn)生的主峰值小很多。因此高海情下導彈的偏航和俯仰姿態(tài)主要由艦船對應的搖擺運動引起的，而對于滾轉姿態(tài)來說，其值受到三個因素的綜合影響。

明確了導彈姿態(tài)和艦船搖擺運動的關系后就能詳細的分析發(fā)射彈位對發(fā)射精度的影響。比較表1中四個彈庫里惡劣發(fā)射彈位可知，7-8彈位的角速度模值最大。這是由于相比于5-8彈位，其離橫軸較遠，因而振動幅度更大，發(fā)射環(huán)境更惡劣，造成發(fā)射精度更低；相比于1-1彈位，雖然其離橫軸較近，但是離縱軸較遠，同時船體繞縱軸的橫搖運動幅值12o比繞橫軸的縱搖運動幅值2.5°高了一個數(shù)量級，因此發(fā)射精度相比起來仍然較低。

4 結 論

(1) 利用Matlab可以穩(wěn)定有效的進行快速傅里葉變化，過程簡單，適用于工程技術人員在一般情況下進行頻域處理?；诙嗳狍w動力學理論，在虛擬樣機平臺上建立的發(fā)射動力學模型是精確和高效的，更接近于真實的武器系統(tǒng)。

(2) 對動力學響應進行頻譜分析，可以快速找出現(xiàn)象的本質(zhì)，揭示出內(nèi)在的規(guī)律，為今后類似問題的分析提供有價值的參考。

(3) 高海情下發(fā)射彈位對發(fā)射精度的影響，與艦船的搖擺運動有著密切的關系，主要取決于發(fā)射彈位距艦船橫縱兩軸的距離和艦船搖擺運動的幅值兩個方面：距離越遠則發(fā)射精度越低；如果距離一遠一近，發(fā)射精度則需要考慮艦船對應搖動的幅值大小,進行綜合確定。建議艦艇總體設計時，應該使彈庫分布盡量靠近搖擺中心；同時，盡量避免發(fā)射彈位離橫縱軸均遠的導彈。

[1] 段齊駿,邱亞鋒,張福祥. 艦載武器裝備發(fā)射精度與載體運動關系研究[J].彈道學報,2000,12(2):60-64.

DUAN Qi-jun, QIU Ya-feng, ZHANG Fu-xiang. Study about the relationship between ship sway and launching precision of weapons[J]. Journal of Ballistics, 2000,12(2):60-64.

[2] 陳德民,槐創(chuàng)鋒,張克濤. 精通ADAMS虛擬樣機技術[M].北京: 化學工業(yè)出版社,2010.

[3] 劉益成,穆群英,趙培根. FFT算法運算次數(shù)的差分方程求解研究[J].長江大學學報(自然科學版),2008,5(3):1-3.

LIU Yi-cheng, MU Qun-ying, ZHAO Pei-gen. The method of solving number of operations for FFT algorithm by differential equation[J]. Journal of Yangtze University(Natural Science Edition), 2008,5(3):1-3.

[4] 高西全,丁玉美,闊永紅. 數(shù)字信號處理-原理、實現(xiàn)及應用[M].北京: 電子工業(yè)出版社,2006.

[5] Orlandea N, Chance M A, Calahan D A. A sparsity-oriented approach to the dynamics analysis and design of mechanical system part[J]. Journal of Engineering for Industry, 1977, 99(3): 773-784.

[6] 洪嘉振. 多體系統(tǒng)動力學-理論、計算方法和應用[M]. 上海: 上海交通大學出版社,2006.

[7] 姚昌仁,唐國良,宋廷倫,等. 火箭導彈發(fā)射動力學[M].北京:北京理工大學出版社,1996.