考慮基底層阻尼的自由阻尼結(jié)構(gòu)損耗因子修正公式

吳晴晴，王敏慶

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072)

自由阻尼結(jié)構(gòu)通常是在金屬類剛性較大的結(jié)構(gòu)上敷設(shè)一層起到阻尼作用的材料(粘彈材料為主)，這類結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用在機(jī)艙壁、艇殼以及汽車薄壁和管道等結(jié)構(gòu)中，用以提高結(jié)構(gòu)的阻尼性能。自由阻尼結(jié)構(gòu)是最簡單的附加阻尼結(jié)構(gòu)，由基底層和阻尼層兩層結(jié)構(gòu)構(gòu)成。

經(jīng)典的附加阻尼理論包括復(fù)剛度法及變形能法[1-5]。Oberst等[1]首先提出當(dāng)自由阻尼結(jié)構(gòu)簡諧振動(dòng)時(shí)，其彎曲剛度可被視為復(fù)數(shù)，虛部與實(shí)部之比就是結(jié)構(gòu)的損耗因子。Kerwin和Ungar等[2-5]將復(fù)剛度理論推廣到夾芯阻尼結(jié)構(gòu)并提出能量概念，在振動(dòng)為無衰減的簡諧振動(dòng)假設(shè)下，利用復(fù)剛度法和應(yīng)變能法得到夾芯阻尼結(jié)構(gòu)的損耗因子公式。遺憾的是，經(jīng)典阻尼理論的損耗因子公式中都忽略了基底層的阻尼。而后，臧獻(xiàn)國等[6,11]將應(yīng)變能法應(yīng)用到自由阻尼結(jié)構(gòu)的厚度優(yōu)化上，Sainsbury等[7]應(yīng)用變形能法計(jì)算自由阻尼圓柱殼的阻尼，Lepoittevin等[8]則利用變形能與模態(tài)數(shù)據(jù)對(duì)約束阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)?；趶?fù)剛度法的復(fù)模量測試及理論研究也在不斷深入。

隨著阻尼技術(shù)的發(fā)展，金屬基阻尼合金、纖維增強(qiáng)型復(fù)合材料等新型材料被研制開發(fā)出來，這類材料不僅能具有良好的力學(xué)特性，本身也具有一定的阻尼減振能力。如阻尼合金B(yǎng)aTiO3/Al[9]、Mg-10Gd-6Y-xZn-0.6Zr[12]在低頻時(shí)的損耗因子能達(dá)到0.02以上，武海鵬等[13]研究的玻璃纖維復(fù)合材料的損耗因子在0.01以上，洪暄清等[14]研究的纖維增強(qiáng)改性阻尼材料其損耗因子則可以高達(dá)0.1以上。若在此類新型復(fù)合材料上敷設(shè)粘彈阻尼材料，作為基底層的新型材料本身的阻尼特性不可忽略，經(jīng)典的自由阻尼結(jié)構(gòu)損耗因子公式不再適用。因此有必要針對(duì)基底阻尼較大的自由阻尼結(jié)構(gòu)開展阻尼理論研究，對(duì)以往的結(jié)構(gòu)損耗因子公式進(jìn)行修正。

1 理論模型

1.1 變形能法損耗因子修正公式

根據(jù)變形能理論，自由阻尼結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)損耗因子為:

(1)

圖1 自由阻尼結(jié)構(gòu)截面圖

圖2 自由阻尼結(jié)構(gòu)受力分析

(2)

設(shè)x處的角位移θ*(x)簡諧變化，即

θ*(x)=θ*coskx

(3)

(4)

(5)

(6)

用αn表示各耗能子結(jié)構(gòu)的拉伸損耗因子，βn表示各耗能子結(jié)構(gòu)的剪切損耗因子，則

(7)

(8)

(9)

只考慮彎曲振動(dòng)，結(jié)構(gòu)單位長度的變形能包括三部分：拉伸變形能、彎曲變形能、剪切變形能。由于應(yīng)變是關(guān)于位置x的函數(shù)，所以沿著軸向方向的變形能是不相等的，在全波長上的能量也是不同的。通常計(jì)算損耗因子需要在一定尺度內(nèi)平均，將單位長度的能量在全波長λ=2π/k上積分并除以波長，就得到能量密度平均值，繼而根據(jù)能量表達(dá)式求得損耗因子。

簡諧振動(dòng)情形下，拉伸變形能的能量密度可表示成

(10)

彎曲變形能的能量密度為

(11)

剪切變形能的能量密度為

(12)

根據(jù)損耗因子應(yīng)變能公式，任意附加結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)損耗因子就可以用如下公式表示

(13)

式中:N表示系統(tǒng)有N個(gè)子結(jié)構(gòu)，l表示有l(wèi)個(gè)子結(jié)構(gòu)耗損拉伸、彎曲變形能，m表示有m個(gè)子結(jié)構(gòu)耗損剪切變形能。

進(jìn)一步有

(15)

由力學(xué)關(guān)系可知彎曲剛度的實(shí)部與拉伸剛度的實(shí)部有如下

(16)

其中:rn是子結(jié)構(gòu)n的中性面到原點(diǎn)的距離。

對(duì)于均勻梁板類結(jié)構(gòu)，有如下幾何關(guān)系

(17)

(18)

將上述幾何關(guān)系代入式(15)可得:

(19)

經(jīng)過化簡并略去高階小量，可最終得到考慮基底阻尼的自由阻尼結(jié)構(gòu)損耗因子公式

(20)

式中:α1為基底層材料的拉伸損耗因子；α2為阻尼層材料的拉伸損耗因子。

實(shí)踐中阻尼材料的拉伸損耗因子和剪切損耗因子非常接近，即阻尼層α2≈β，若忽略基底層阻尼，即α1=0，此時(shí)就能得到著名的自由阻尼結(jié)構(gòu)損耗因子公式[4, 10]

(21)

1.2 復(fù)剛度法損耗因子修正公式

根據(jù)復(fù)剛度定義，將結(jié)構(gòu)的復(fù)彎曲剛度表示為B*=B(1+iη)，η為結(jié)構(gòu)損耗因子。

考慮自由阻尼結(jié)構(gòu)的拉伸變形，根據(jù)經(jīng)典復(fù)剛度法可得自由阻尼結(jié)構(gòu)總的復(fù)彎曲剛度與基底層復(fù)彎曲剛度有如下比值關(guān)系[10]

(22)

從上式可以看出，復(fù)剛度比值與阻尼層、基底層的厚度比h及復(fù)楊氏模量比e*有關(guān)。

定義α1為基底層的材料損耗因子，α2為阻尼層的材料損耗因子，則式(22)變?yōu)?/p>

(23)

為方便計(jì)算，將復(fù)楊氏模量比e*表示為

(24)

將式(24)代入式(23)，取左右兩邊的實(shí)部和虛部分別相等，可得

(25)

(26)

由上式可得結(jié)構(gòu)損耗因子修正公式

(27)

(28)

求出結(jié)構(gòu)損耗因子η后，代入式(25)就能求得自由阻尼結(jié)構(gòu)總的彎曲剛度。

2 分析討論

2.1 兩種修正公式對(duì)比

上述自由阻尼結(jié)構(gòu)的兩種理論都只考慮結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)，且假設(shè)角位移、軸向位移、剪切變形等均為簡諧變化。在分析中均忽略了振動(dòng)中的剪切變形，復(fù)剛度法只考慮了阻尼層和基底層的拉伸變形，而變形能法除此之外還考慮了各層結(jié)構(gòu)的彎曲變形。比較變形能法的損耗因子修正公式(20)和復(fù)剛度法的損耗因子修正公式(27)，可以看出變形能法的修正公式更為簡潔，更方便工程應(yīng)用，而計(jì)算組合結(jié)構(gòu)的總彎曲剛度時(shí)則可以利用復(fù)剛度法得到的修正公式(25)。

取自由阻尼結(jié)構(gòu)基底層和阻尼層的材料損耗因子分別為α1=0.01,α2=0.5，阻尼層與基底層的楊氏模量比為e=10-3，利用復(fù)剛度法與變形能法的修正公式計(jì)算結(jié)構(gòu)損耗因子，隨厚度比變化的曲線如圖3所示。

由仿真結(jié)果可見，復(fù)剛度法和變形能法修正公式所得的結(jié)構(gòu)損耗因子曲線幾乎重合，這說明在自由阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)中，起耗能主導(dǎo)作用的是拉伸變形，彎曲變形和剪切變形均可忽略不計(jì)。分析二者的求解公式也知，復(fù)剛度法只比變形能法多出一些高階小項(xiàng)，仿真結(jié)果說明這些高階項(xiàng)影響不大，可忽略不計(jì)，所以兩種方法的求解結(jié)果始終一致。

2.2 修正公式適用范圍

取自由阻尼結(jié)構(gòu)阻尼層的材料損耗因子為α2=0.5，阻尼層與基底層的楊氏模量比分別為e=10-3、e=10-4、e=10-5，利用變形能法修正公式(20)求解考慮基底阻尼情況下的結(jié)構(gòu)損耗因子，利用經(jīng)典公式(21)求解忽略基底阻尼情形下的結(jié)構(gòu)損耗因子，當(dāng)基底阻尼分別取為α1=0.001、α1=0.01時(shí)，對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)損耗因子仿真曲線分別如圖4(a)、(b)所示，修正前后損耗因子的相對(duì)誤差如圖5(a)、(b)所示。

由仿真可以看出，當(dāng)基底層阻尼較小時(shí)(α1<0.01)，對(duì)于厚度比大于1的自由阻尼結(jié)構(gòu)，基底層阻尼可以忽略不計(jì)。但若基底層的材料阻尼很大(α1≥0.01)，在阻尼層與基底層的厚度比h較小時(shí)，忽略基底層阻尼將導(dǎo)致自由阻尼結(jié)構(gòu)的損耗因子計(jì)算值偏小，引起很大的誤差，且模量比e越小，基底層阻尼的影響越顯著。此時(shí)應(yīng)考慮基底層阻尼，必須應(yīng)用損耗因子修正公式，修正公式對(duì)于一般的自由阻尼結(jié)構(gòu)阻尼計(jì)算均適用。

圖3 兩種修正公式得到的結(jié)構(gòu)損耗因子曲線對(duì)比

圖5 修正前后結(jié)構(gòu)損耗因子的相對(duì)誤差

3 仿真驗(yàn)證

利用ANSYS軟件建立1.2 m×1.0 m自由阻尼矩形板的實(shí)體模型，各層的具體材料參數(shù)見表1，其中基底層材料有兩種設(shè)置：鋼材質(zhì)和玻璃鋼材質(zhì)。阻尼層材料的阻尼參數(shù)有兩種設(shè)置：損耗因子為定值0.5；動(dòng)態(tài)阻尼特性如圖6所示。進(jìn)行諧響應(yīng)分析后，提取輸入功率以及自由阻尼結(jié)構(gòu)各層的變形能，利用輸入功率法和變形能法得到的計(jì)算結(jié)果對(duì)損耗因子修正公式進(jìn)行仿真驗(yàn)證。修正公式解析解與有限元數(shù)值解的仿真對(duì)比如圖7、8所示。

表1 自由阻尼結(jié)構(gòu)各層材料參數(shù)

圖7 基底層材質(zhì)為鋼的自由阻尼結(jié)構(gòu)損耗因子曲線(α1=0.005)

由仿真與理論公式計(jì)算結(jié)果對(duì)比可以看出，無論是基底阻尼較小的鋼還是基底阻尼較大的玻璃鋼材料，變形能法修正公式的解析解均與有限元變形能法的數(shù)值解相吻合，相對(duì)誤差不超過10%。由于輸入點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)隨頻率變化且略高于平均速度，輸入功率法求得的有限元數(shù)值解高于變形能法的數(shù)值解，且隨頻率波動(dòng)，但兩種方法得到的損耗因子曲線趨勢完全相同。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)基底層阻尼較大的自由阻尼結(jié)構(gòu)開展了阻尼理論研究。不同于經(jīng)典阻尼公式，在應(yīng)力分析中考慮了基底層的應(yīng)變，而后分別利用變形能理論和復(fù)剛度理論推導(dǎo)得到修正的損耗因子公式。為了驗(yàn)證修正公式的正確性，利用ANSYS軟件建立自由阻尼矩形板的實(shí)體模型并進(jìn)行諧響應(yīng)分析，分別利用變形能法和輸入率法求得結(jié)構(gòu)損耗因子的數(shù)值解。

通過兩種修正公式的解析解與有限元數(shù)值解的對(duì)比，得出以下結(jié)論：

(1) 對(duì)于基底層材料損耗因子大于0.01的自由阻尼結(jié)構(gòu)，在阻尼層與基層厚度比較小時(shí)忽略基底阻尼會(huì)導(dǎo)致組合結(jié)構(gòu)的阻尼計(jì)算偏小，需要利用修正公式進(jìn)行阻尼計(jì)算。

(2) 分析自由阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，變形能法同時(shí)考慮了兩層結(jié)構(gòu)的拉伸變形和彎曲變形，復(fù)剛度法只考慮了拉伸變形，但兩種損耗因子修正公式的解析解完全吻合，這說明自由阻尼結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)中起耗能主導(dǎo)作用的是拉伸變形，彎曲變形和剪切變形均可忽略不計(jì)。變形能法的損耗因子修正公式更為簡潔明了，更方便工程應(yīng)用。

(3) 無論阻尼層材料的阻尼為常值或呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)特性，對(duì)于基底材料不同的自由阻尼結(jié)構(gòu)，修正公式的解析解與兩種有限元數(shù)值解均一致，這證明了變形能法損耗因子修正公式是正確的，可用于一般基底層的自由阻尼結(jié)構(gòu)計(jì)算。

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