Zygmund型空間上的廣義復合算子

張 穎,胡俊云,吳 艷

(1.浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院,浙江金華321004; 2.嘉興學院數(shù)學研究所,浙江嘉興314001)

Zygmund型空間上的廣義復合算子

張 穎1,胡俊云2,吳 艷2

(1.浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院,浙江金華321004; 2.嘉興學院數(shù)學研究所,浙江嘉興314001)

討論了單位圓盤D上Zygmund型空間(小Zygmund型空間)之間的廣義復合算子的有界性和緊性,找到了算子:Zα→Zβ為有界和緊性的幾個充要條件.把結(jié)論進一步推廣,得到復合算子Cφ:Zα→Zβ為有界和緊性的幾個充要條件.

Zygmund型空間;廣義復合算子;有界性;緊性

0 引言

定義1 D上的Zygmund空間是指滿足下面條件的函數(shù)全體:

由文獻[1]中的定理5.3和閉圖像定理可知,f∈Z的充要條件是(1-z2)f″(z)＜∞.在范數(shù)‖f‖z＝f(0)+f′(0)(1-z2)f″(z)下,Zygmund空間是一個Banach空間.

定義4 小Zygmund型空間是滿足f∈Zα且(1-z2)αf″(z)＝0的函數(shù)全體,記為.顯然,是Zα的閉子空間.

李頌孝和stevic′在文獻[2]中對復合算子進行了推廣,定義了廣義復合算子:

本文中C表示與變量無關(guān)的正常數(shù),不同的地方表示不一樣的常數(shù).

1 若干引理

引理1[3]若f(z)∈Zα,則:

引理2 設0＜α,β＜∞,φ是單位圓盤D上的解析自映射,則Cgφ:Zα→Zβ是緊算子當且僅當下列兩個條件成立:

(ⅱ)對任意有界序列{fn}?Zα,若fn(z)在單位圓盤的任意緊子集上一致收斂0,則‖fn‖Zβ→0(n→∞).

證明 本引理類似于文獻[4]命題3.11的證明.

引理3[5]設0≤α＜1,f{}

n是Zα的任意有界列且在單位圓盤D上內(nèi)閉一致收斂于0,則

2 主要結(jié)果

定理1 設0＜α,β＜∞,g∈H(D)以及φ是單位圓盤D上的解析自映射,則以下條件等價:

證明 (ⅰ)?(ⅱ)顯然.

(ⅱ)?(ⅲ) 根據(jù)引理1,分3種情形討論.

對任意的w∈D,設

因為

所以,得

對任意的w∈D,設

則類似于上述fφ(w)的討論,易得

同理,易得

則有

結(jié)合式(2),易得:

情形3 易證.

(ⅲ)?(ⅰ)只證明當α＞1時的情況,而α＝1、0＜α＜1時的證明類似.

定理2 設0＜α,β＜∞,g∈H(D)以及φ是單位圓盤D上的解析自映射,則以下條件等價:

證明 (ⅰ)?(ⅱ)顯然.

(ⅱ)?(ⅲ)設Cgφ:Zα0→Zβ是緊算子,則Cgφ:Zα0→Zβ是有界算子當且僅當Cgφ:Zα→Zβ是有界算子.

根據(jù)引理1,分3種情況討論.

情形1 當α＞1時,設(zk)k∈N∈D,使得φ(zk)→1(k→∞).令

則易得fk∈,‖fk‖zα＜∞,fk在D上內(nèi)閉一致收斂于0.

經(jīng)計算可得

由引理2,可得

由引理2,可得

情形2 設(zk)k∈N∈D,使得φ(zk) →1(k→∞),令

又因為

則可以得

fk在D上內(nèi)閉一致收斂于0,由引理2,可得

如果至少有一個極限存在,則有

則hk∈,‖＜∞,hk在D上內(nèi)閉一致收斂于0,有

結(jié)合式(4),得

情形3 當0＜α＜1,易證.

(ⅲ)?(ⅰ)只證明當α＞1的情形,當α＝1、0＜α＜1的證明類似,其中0＜α＜1時的證明要使用引理3.

由式(3)得

對任意的ε＞0,存在δ∈(0,1),使得當δ＜φ(z)＜1時,有

因為fk在D上內(nèi)閉一致收斂于0.由柯西積分估計,得到

推論1 設0＜α,β＜∞及φ是單位圓盤D上的解析自映射,則以下條件等價:

(ⅰ)Cφ:Zα→Zβ是有界算子;

(ⅱ)Cφ:→Zβ是有界算子;

注:運用定理1將g＝φ′代入,則得到了復合函數(shù)Cφ:Zα→Zβ有界的等價條件.

推論2 設0＜α,β＜∞及φ是單位圓盤D上的解析自映射,則以下條件等價:

(ⅰ)Cφ:Zα→Zβ是緊算子;

(ⅱ)Cφ:→Zβ是緊算子;

(ⅲ)Cφ:Zα→Zβ是有界算子以及

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[2]LI S,STEVIC S.Generalized composition operators on Zygmund spaces and Bloch type space[J].J.Math.Appl,2008 (338):1282-1295.

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[4]COWEN C,MACCLUER B.Composition operators on Space of Analytic function[M].CRC Press:Stud.Adv.Math, 1995:117-129.

[5]張金芳,徐輝明.球上Zygmund型空間和F(p,q,s)空間上的點乘子[J].數(shù)學物理報,2011(31A):188-195.

(責任編輯 劉偉俠)

Generalized Composition Operators on Zygmund Type Spaces

Zhang Ying1,Hu Junyun2,Wu Yan2
(1.College of Mathematics and Information Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua,Zhejiang 321004; 2.Mathematics Institute,Jiaxing University,Jiaxing,Zhejiang 314001)

The boundedness and compactness of generalized composition operators on Zygmund type spaces in the unit disk are investigated in this paper.Further,we obtain the necessary and sufficient condition for the boundedness and compactness of composition operators on Zygmund type spaces in the unit disk.

Zygmund type space;generalized composition operator;boundedness;compactness

O177.5

A.

1671-3079(2014)03-0042-07

10.3969 /i.issn.1671-3079.2014.03.008

2014-03-03

國家自然科學基金(11301224);浙江省自然科學基金(LQ12A01015)

張穎(1988- ),女,浙江江山人,浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院2011級碩士研究生,研究方向為算子理論.

時間:2014-04-10 14:07 網(wǎng)絡出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/33.1273.Z.20140519.1650.011.html