求解Black-Scholes模型下美式看跌期權(quán)的有限差分法

李景詩,王智宇,朱本喜,宋海明

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012)

求解Black-Scholes模型下美式看跌期權(quán)的有限差分法

李景詩,王智宇,朱本喜,宋海明

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012)

考慮Black-Scholes模型下美式看跌期權(quán)的定價(jià)問題.采用有限差分法和Newton法耦合求解Black-Scholes方程,得到了期權(quán)價(jià)格和最佳實(shí)施邊界的數(shù)值逼近結(jié)果.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性.

Black-Scholes模型； 美式看跌期權(quán)； 最佳實(shí)施邊界

0 引 言

Black-Scholes模型在美式期權(quán)定價(jià)問題中應(yīng)用廣泛.令S,t,σ,r,q,T和K分別表示原生資產(chǎn)價(jià)格、 時(shí)間、 原生資產(chǎn)的波動(dòng)率、 無風(fēng)險(xiǎn)利率、 原生資產(chǎn)的紅利率、 期權(quán)的到期日和敲定價(jià)格,則美式看跌期權(quán)[1]P(S,t)滿足的Black-Scholes模型為

其中:Z+=max{0,Z};B(t)為美式看跌期權(quán)的最佳實(shí)施邊界,它把美式期權(quán)的求解區(qū)域分成兩部分,如果S≤B(t),則選擇實(shí)施期權(quán),否則繼續(xù)持有.

求解Black-Scholes模型下美式看跌期權(quán)定價(jià)問題目前主要存在以下困難:

1) 求解區(qū)域左端的最佳實(shí)施邊界B(t)是一條未知曲線,求解區(qū)域不規(guī)則;

2) 求解區(qū)域右端無界,無法直接應(yīng)用數(shù)值算法;

3) 給出的算法需要同時(shí)確定期權(quán)價(jià)格P(S,t)和最佳實(shí)施邊界B(t).

針對(duì)1),2),本文采用Front-Fixing變換[2-3]和完全匹配層技巧(PML技巧)[4],將問題(1)化成一個(gè)有界規(guī)則區(qū)域上的拋物問題.對(duì)于3),本文采用有限差分法和Newton法交替迭代求解截?cái)嗪蟮姆匠?進(jìn)而得到期權(quán)價(jià)格P(S,t)和最佳實(shí)施邊界B(t).

1 Front-Fixing變換

由于方程(1)是一個(gè)變系數(shù)方程,因此為簡化模型,可通過變量替換

將Black-Scholes方程(1)化為一個(gè)常系數(shù)方程:

其中:

做Front-Fixing變換

則方程(3)可化為

至此解決了第一個(gè)難點(diǎn),將方程(1)的左邊界B(t)化成了x=0的一條直線.注意到,拋物問題(6)是定義在半無窮區(qū)域上的,數(shù)值求解時(shí)需要進(jìn)行截?cái)?若直接做人工截?cái)?則會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定或數(shù)值不精確[4].本文采用PML技巧對(duì)無界區(qū)域進(jìn)行截?cái)?

2 PML技巧

下面解決第二個(gè)難點(diǎn).通過PML截?cái)嗉记?

問題(6)可化為如下有界規(guī)則區(qū)域上的拋物問題:

至此解決了第二個(gè)難點(diǎn).Black-Scholes方程(1)已轉(zhuǎn)化為一個(gè)有界矩形區(qū)域上的拋物問題.該問題可以采用有限差分法[5-7]進(jìn)行數(shù)值求解.

3 數(shù)值解法

考慮求解方程(9)的數(shù)值方法----有限差分法.對(duì)方程(9)采用θ格式的有限差分法進(jìn)行離散化,為此需引入時(shí)間剖分:

空間剖分:

Ih: 0=x0

及差分近似:

方程(9)在點(diǎn)(τm,xn)處對(duì)應(yīng)的θ格式如下：

fm為如下向量:

證明： 由b(τ)的定義可知bm<0.下面先證明系數(shù)矩陣A是一個(gè)M矩陣.當(dāng)n=1,2,…,N-1時(shí),

當(dāng)n=0時(shí),

故系數(shù)矩陣A為M矩陣.

下面證明右端fm各項(xiàng)均非負(fù).對(duì)于固定的m,

由于

采用Newton法求解非線性方程(10),其中

算法如下：

1)b(0)=bm-1-km-1,1

2) 對(duì)于j=1,2,…

③ 如果|bj-b(j-1)|≤ε,令bm=b(j),終止循環(huán);

實(shí)際計(jì)算時(shí),取b0=Kmin(r/q,1),ε=10-6.

4 數(shù)值算例

考慮對(duì)美式看跌期權(quán)定價(jià)問題(1)進(jìn)行數(shù)值模擬,在方程(1)中,令σ=0.2,K=100,T=1,r和q取以下兩種情形: 1)r=0.05,q=0.05; 2)r=0.1,q=0.01.

為了驗(yàn)證本文算法得到的數(shù)值結(jié)果不依賴于θ的選取,對(duì)于情形1)和情形2),分別選取不同的θ,數(shù)值結(jié)果如圖1和圖2所示.其中:t表示時(shí)間;S表示股票價(jià)格;P表示期權(quán)價(jià)格.圖1給出了本文算法得到的最佳實(shí)施邊界與二叉樹法[8]最佳實(shí)施邊界的對(duì)比結(jié)果.情形1)中取θ=0.5,M=500,N1=1 000,N=1 010,σ0=10,β0=3; 情形2)中取θ=0,M=500,N1=1 000,N=1 010,σ0=10,β0=3； 對(duì)于這兩種情形,二叉樹法中都選取M=1 000.圖2給出了兩種情形下本文算法得到期權(quán)價(jià)格的三維圖像.由數(shù)值結(jié)果可見,本文算法能較精確地?cái)M合出最佳實(shí)施邊界和期權(quán)價(jià)格.

圖1 本文方法和二叉樹法計(jì)算出的最佳實(shí)施邊界Fig.1 Optimal exercise boundary of FDM and BM

(A) r=0.05,q=0.05; (B) r=0.1,q=0.01.

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(責(zé)任編輯： 趙立芹)

FiniteDifferenceMethodforSolvingAmericanPutOptionundertheBlack-ScholesModel

LI Jingshi,WANG Zhiyu,ZHU Benxi,SONG Haiming
(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

This paper deals with the American put option pricing problem governed by the Black-Scholes equation.Applying finite difference method coupled with Newton’s method to solve the Black-Scholes equation,we can get the numerical approximations of the option price and the optimal exercise boundary simultaneously.Numerical experiments verify the efficiency of the method.

Black-Scholes model; American put option; optimal exercise boundary

2013-09-26.

李景詩(1990—),女,漢族,碩士研究生,從事隨機(jī)偏微分方程數(shù)值解的研究,E-mail: jsli12@mails.jlu.edu.cn.通信作者: 朱本喜(1979—),女,土家族,碩士,講師,從事隨機(jī)偏微分方程數(shù)值解的研究,E-mail: zhubx@jlu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào): 11271157).

O241.8

A

1671-5489(2014)05-0949-05