Belousov-Zhabotinsky化學(xué)反應(yīng)中可逆Lotka-Volterra模型的多項(xiàng)式首次積分

邢 維,田 華

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

Belousov-Zhabotinsky化學(xué)反應(yīng)中可逆Lotka-Volterra模型的多項(xiàng)式首次積分

邢 維,田 華

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

考慮一類描述閉等溫反應(yīng)中振蕩化學(xué)動(dòng)力學(xué)行為的可逆Lotka-Volterra模型的多項(xiàng)式首次積分,利用半擬齊次系統(tǒng)的可積性理論,找到Lotka-Volterra模型的一個(gè)多項(xiàng)式首次積分,并證明了它是Lotka-Volterra模型唯一的多項(xiàng)式首次積分.

Lotka-Volterra模型; 半擬齊次系統(tǒng); 首次積分

0 引 言

Belousov-Zhabotinsky(BZ)反應(yīng)[1-2]是一類化學(xué)振蕩反應(yīng),是非平衡熱力學(xué)的經(jīng)典例子之一.研究表明,化學(xué)振蕩也出現(xiàn)在細(xì)胞相互作用要素的力學(xué)行為中.化學(xué)振蕩反應(yīng)系統(tǒng)一般有兩類: 一類是開放系統(tǒng),允許其周圍的物質(zhì)和能量互相交換； 另一類是封閉系統(tǒng),不允許有交換.開放系統(tǒng)中的化學(xué)振蕩[2-4]及相關(guān)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題目前已得到廣泛研究,如極限環(huán)的存在性[5]、 混沌[6]、 波動(dòng)[7-9]及倍周期分岔[10]等,但對(duì)封閉系統(tǒng)中化學(xué)振蕩的研究報(bào)道較少,文獻(xiàn)[11-13]通過(guò)可逆Lotka-Volterra(LV)反應(yīng)研究了封閉化學(xué)反應(yīng)中化學(xué)振蕩的動(dòng)力學(xué)行為,結(jié)果表明,按照非平衡熱力學(xué)規(guī)律,該反應(yīng)會(huì)達(dá)到一個(gè)平衡狀態(tài)并產(chǎn)生短暫的似穩(wěn)定振蕩.

本文考慮如下包含4類化學(xué)物質(zhì)X,Y,A,B的可逆LV反應(yīng)[11-12]:

類似可得,物質(zhì)Y,A,B的變化速率方程分別如下:

綜合上述結(jié)果,得到描述化學(xué)反應(yīng)(1)的動(dòng)力學(xué)方程組為

本文主要考慮系統(tǒng)(2)多項(xiàng)式首次積分的存在性與唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

下面簡(jiǎn)要介紹半擬齊次系統(tǒng)的定義及相關(guān)結(jié)果[14-15].考慮解析系統(tǒng)

其中g(shù)(x)=(g1(x),g2(x),…,gn(x))在原點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)是光滑的.

定義1如果對(duì)任意η∈+,x=(x1,x2,…,xn),向量場(chǎng)g=(g1,g2,…,gn)的所有分量都滿足

gj(ηs1x1,ηs2x2,…,ηsnxn)=ηsj+m-1gj(x1,x2,…,xn),

則系統(tǒng)(3)稱為指數(shù)為s1,s2,…,sn(si∈,i=1,2,…,n)的m階擬齊次系統(tǒng).其中:m∈,m>1;E是單位矩陣;S=diag(s1,s2,…,sn);ηE-S=diag(η1-s1,η1-s2,…,η1-sn).

稱為系統(tǒng)(3)的擬齊次截?cái)?

設(shè)系統(tǒng)(3)是半擬齊次的,則在變換

下,系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

（6）

假設(shè)代數(shù)方程

Hc+gm(c)=0

有非平凡解c=ξ,則系統(tǒng)(4)有擬齊次射線形式的特解

x0(t)=t-Hξ,

其中H=αS.做變量變換

x=t-H(ξ+u),

則系統(tǒng)(4)變?yōu)?/p>

其中

稱為Kowalevski矩陣,而

由定理1可得如下推論.

證明： 設(shè)Φ(x)是系統(tǒng)(3)的多項(xiàng)式首次積分,其擬齊次階數(shù)為q.利用矩陣S,Φ(x)可重寫為如下形式:

Φ(x,η)=Φq(x)+η-1Φq-1(x)+…+η-qΦ0(x).

2 主要結(jié)果

系統(tǒng)(2)可寫成如下形式:

其中:x=(x1,x2,x3,x4);

因此系統(tǒng)(8)是指數(shù)為s1=1,s2=1,s3=1,s4=0的負(fù)半擬齊次系統(tǒng),且m=2,α=1,H=αS.

考慮系統(tǒng)(8)的擬齊次截?cái)嘞到y(tǒng)

（9）

計(jì)算得矩陣K的特征根為

φ(x)=x1h1(x4)+x2h2(x4)+x3h3(x4),

整理得

由x1,x2,x3,x4的任意性,有

解得h1(x4)=h2(x4)=h3(x4)=a(任意實(shí)數(shù)).不失一般性,取a=1,則φ(x)=x1+x2+x3是系統(tǒng)(9)的首次積分.

綜上,可得:

其次尋找系統(tǒng)(8)的首次積分.設(shè)Φ(x)是系統(tǒng)(8)的多項(xiàng)式首次積分,利用矩陣S,Φ(x)可重寫為如下形式:

Φ(x)=Φ0(x)+Φ1(x)+…+Φp(x),

其中

因?yàn)橄到y(tǒng)(8)是負(fù)半擬齊次系統(tǒng),所以Φp(x)是系統(tǒng)(9)的非平凡擬齊次積分.由推論1和定理2知,p=1,且Φ1(x)=x1+x2+x3.由推論2知,Φ(x)的擬齊次階數(shù)是1.于是

Φ(x)=Φ0(x)+Φ1(x)=h(x4)+x1+x2+x3.

整理得

[h′(x4)k3-k3]x2+[k-3-h′(x4)k-3]x4=0.

由x2,x4的任意性,得

h′(x4)k3-k3=0,k-3-h′(x4)k-3=0,

于是

h′(x4)=1,h(x4)=x4+b,

其中b是任意實(shí)數(shù).不失一般性,取b=0,則Φ(x)=x1+x2+x3+x4是系統(tǒng)(8)的首次積分.

綜上,可得:

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(責(zé)任編輯： 趙立芹)

PolynomialFirstIntegralofReversibleLotka-VolterraModelinBelousov-ZhabotinskyReaction

XING Wei,TIAN Hua
(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

We considered the polynomial first integral for reversible Lotka-Volterra model which describes the oscillatory chemical dynamics in a closed isothermal reaction.Making use of integrability theories of semi-quasihomogeneous systems,we proved that the Lotka-Votterra model is a unique polynomial first integral.

Lotka-Volterra model; semi-quasihomogeneous system; first integral

2014-01-08.

邢 維(1988—),女,漢族,碩士研究生,從事常微分方程理論及應(yīng)用的研究,E-mail: 1045233903@qq.com.通信作者: 田 華(1964—),女,漢族， 高級(jí)工程師,從事常微分方程理論及應(yīng)用的研究,E-mail: thua@jlu.edu.cn.

吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)： 20140520053JH).

O175.12

A

1671-5489(2014)05-0906-05