一個聯(lián)系Riemann Zeta函數(shù)的Hilbert型積分不等式

楊必成,陳 強(qiáng)

(1.廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣州 510303; 2.廣東第二師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系,廣州 510303)

一個聯(lián)系RiemannZeta函數(shù)的Hilbert型積分不等式

楊必成1,陳 強(qiáng)2

(1.廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣州 510303; 2.廣東第二師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系,廣州 510303)

通過引入獨(dú)立參量,應(yīng)用實(shí)分析技巧及權(quán)函數(shù)方法,建立一個最佳常數(shù)因子聯(lián)系Riemann zeta函數(shù)的核為余割函數(shù)的Hilbert型積分不等式,并導(dǎo)出了其等價式與特殊參數(shù)下的齊次形式.

權(quán)函數(shù); Riemann zeta函數(shù); Hilbert型積分不等式; 等價式

這里,常數(shù)因子π為最佳值.式(1)的推廣、 改進(jìn)及應(yīng)用可參考文獻(xiàn)[2-4].文獻(xiàn)[5]綜述了參量化Hilbert型不等式的研究成果; 文獻(xiàn)[6-11]研究了非齊次核的Hilbert型不等式; 文獻(xiàn)[12]得到了如下具有最佳常數(shù)因子的非齊次核Hilbert型積分不等式:

本文應(yīng)用實(shí)分析技巧及權(quán)函數(shù)的方法,建立如下非齊次核Hilbert型積分不等式:

并證明其常數(shù)因子π2/4為最佳值.本文的目的是導(dǎo)出其最佳常數(shù)因子聯(lián)系Riemann zeta函數(shù)的多參數(shù)推廣式、 等價式與特殊參數(shù)下的齊次核形式.

如無特別說明,本文下面均設(shè)參數(shù)p>1,1/p+1/q=1,λ,β>0,α>1,δ∈{-1,1}.

引理1顯然有

這里Γ(·)和ζ(·)分別為Gamma函數(shù)及Riemann zeta函數(shù),它們有如下表達(dá)式[14]:

證明: 因?yàn)楫?dāng)α>1時,有

故式(6)成立.證畢.

引理2若f(x)≥0在(0,∞)上可測,則有

證明: 由H?lder不等式[15]及式(4),可得

由引理1、 式(9)及交換積分次序的Fubini定理[16],有

再由引理1可導(dǎo)出式(8).證畢.

證明: 若存在y>0,使式(9)取到等號,則有不全為0的常數(shù)C,D,使得[15]

若D=0,則必有C=0,這與C,D不全為0的假設(shè)矛盾.故可設(shè)D≠0,則可得

由H?lder不等式[15],又有

再由式(11),有式(10).反之,設(shè)式(10)成立,置函數(shù)

故式(11)成立.因而式(11)與式(10)為等價不等式.

任給0<ε

則對δ=±1,經(jīng)計(jì)算可得

由交換積分次序的Fubini定理[16],可得

由交換積分與極限次序的Fatou引理[16]、 式(15)及極限的保號性,易得

矛盾,表明k=k(α)必為式(10)的最佳值.

可斷言式(11)的常數(shù)因子kp(α)也必為最佳值.否則,由式(12)必導(dǎo)出式(10)的常數(shù)因子也不為最佳值的矛盾.證畢.

注1若δ=1,p=q=2,α=2,β=λ=1,則式(10)可導(dǎo)出式(3); 式(11)可導(dǎo)出如下式(3)的具有最佳常數(shù)因子的等價形式:

注2若δ=-1,則由式(10)與式(11),可導(dǎo)出如下具有最佳常數(shù)因子的齊次核等價形式:

[1]Hardy G H,Littlewood J E,Pólya G.Inequalities [M].2nd ed.Cambridge: Cambridge University Press,1952.

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[11]楊必成.一個零齊次核的Hilbert型積分不等式 [J].山東大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版,2010,45(2): 103-106.(YANG Bicheng.A Hilbert-Type Integral Inequality with the Homogeneous Kernel of Degree Zero [J].Journal of Shandong University: Natural Science,2010,45(2): 103-106.)

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[15]匡繼昌.常用不等式 [M].濟(jì)南: 山東科技出版社,2004.(KUANG Jichang.Applied Inequalities [M].Jinan: Shandong Science and Technology Press,2004.)

[16]匡繼昌.實(shí)分析引論 [M].長沙： 湖南教育出版社,1996.(KUANG Jichang.Introduction to Real Analysis [M].Changsha: Hunan Education Press,1996.)

(責(zé)任編輯： 趙立芹)

AHilbert-TypeIntegralInequalityRelatedtotheRiemannZetaFunction

YANG Bicheng1,CHEN Qiang2
(1.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China;
2.DepartmentofComputerScience,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China)

Introducing independent parameters,applying the techniques of real analysis and the way of weight functions,the authors presented a new Hilbert-type integral inequality with the kernel of cosecant function and a best constant factor related to the Riemann zeta function and deduced the equivalent form and some homogeneous forms for a particular parameter.

weight coefficient; Riemann zeta function; Hilbert-type integral inequality; equivalent form

2014-02-20.

楊必成(1947—),男,漢族,教授,從事算子理論與解析不等式的研究,E-mail: bcyang@gdei.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號： 61370186).

O178

A

1671-5489(2014)05-0869-04