非線性遲滯阻尼對隔振系統(tǒng)力傳遞特性影響

孫靖雅，華宏星，肖 鋒，劉興天，黃修長

(1.上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所,上海 200240;2.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,上海 200240)

隔振裝置廣泛用于船舶、橋梁、航天、交通運輸?shù)阮I域[1-6]，以減少振動、沖擊對設備使用精度及疲勞壽命的不利影響。為抑制隔振裝置響應，最常用為阻尼技術。傳統(tǒng)粘滯阻尼加入可抑制共振峰，但同時也會降低高頻區(qū)隔振性能。因此，能同時改善共振區(qū)、高頻隔振區(qū)隔振特性的非線性阻尼一直為熱門研究領域。Ruzicka[7]采用等效阻尼法研究任意速度指數(shù)的阻尼對單自由度隔振系統(tǒng)影響，認為共振峰處取相同等效阻尼系數(shù)時，速度指數(shù)大于1的阻尼有利于力激勵隔振；速度指數(shù)小于1的阻尼則有利于基礎位移激勵隔振。Guo等[8-12]采用不同方法亦獲得相同結論。對力激勵隔振，增大阻尼速度指數(shù)改善隔振效果亦會有不利影響。速度指數(shù)大于1時，激勵力幅值增大將導致等效阻尼系數(shù)隨之增大，會致高頻隔振效果下降，且速度指數(shù)大于2的阻尼一般需采用主動控制方能實現(xiàn)。而遲滯阻尼(結構阻尼)對隔振系統(tǒng)具有較好隔振效果，與粘滯阻尼相比，該類阻尼不僅能抑制共振峰，同時在高頻區(qū)的隔振性能也有所改善。但遲滯阻尼與材料的損耗因子有關[7]，且高損耗因子較難實現(xiàn)。Tang等[13-14]采用粘滯阻尼，通過改變阻尼器安裝方式，實現(xiàn)位移相關的幾何非線性阻尼。利用等效阻尼系數(shù)方法對粘滯阻尼作用下隔振效果研究結果表明，振動幅度較大時呈現(xiàn)為強阻尼；振動幅度較小時表現(xiàn)為弱阻尼。該類阻尼具有較好的隔振效果，不僅能抑制共振峰，也具良好高頻隔振性能。Raj等[4]研究在汽車懸架中應用的間隙隨活塞行程變化阻尼器，提出阻尼系數(shù)隨位移變化的阻尼隔振效果更好。Jia等[1]設計的新穎阻尼系數(shù)隨位移變化阻尼器，在船舶管路減振中得以應用。文獻[1-4]僅闡述該類阻尼器機理及優(yōu)點，未從理論上分析該類阻尼器對隔振系統(tǒng)影響。本文采用平均法研究摩擦阻尼在幾何非線性條件下產(chǎn)生的非線性阻尼對隔振系統(tǒng)影響。該方法亦可分析任意速度指數(shù)的非線性阻尼對隔振系統(tǒng)影響。本文分析的摩擦阻尼引起的非線性阻尼，在小振幅條件下可簡化為遲滯阻尼。與材料阻尼損耗因子引起的遲滯阻尼不同，利用摩擦阻尼產(chǎn)生的遲滯阻尼，其阻尼系數(shù)大小可調(diào)節(jié)，并可實現(xiàn)材料內(nèi)阻尼達不到的強阻尼效果。該阻尼可用于改善粘性阻尼隔振裝置的隔振性能。

鑒于目前研究衛(wèi)星隔振常用單自由度隔振系統(tǒng)模型，模型基礎通常考慮為固定不動[15-16]，未考慮基礎質(zhì)量對隔振性能影響。故本文建立可考慮基礎質(zhì)量對隔振系統(tǒng)影響的二自由度無約束模型，采用平均法對系統(tǒng)運動方程求解獲得頻率-幅值方程，繼而獲得激勵下響應幅值。用導出的力傳遞率、力位移傳遞率分析粘滯阻尼及遲滯阻尼單獨作用下隔振特性，考慮兩種阻尼聯(lián)合作用下隔振效果。采用數(shù)值方法求解運動方程，并與理論結果比較。

1 隔振系統(tǒng)模型

令兩物體水平方向相對位移z=y-x，摩擦阻尼器兩端相對運動速度可表示為

(1)

得阻尼器水平方向阻尼力為

(2)

當z/a≤0.2時，阻尼力可近似簡化為

(3)

即小振幅時，垂直方向布置的摩擦阻尼器可在水平方向產(chǎn)生遲滯阻尼。

圖1 隔振系統(tǒng)示意圖

2 數(shù)學模型及求解

圖1隔振系統(tǒng)運動方程可表示為

(4)

用z=y-x消除式(4)中y，x可簡化為

(5)

式中：μ=mM/(m+M)。

(6)

設方程(6)解的形式為

u=U(τ)sin[φ(τ)]

(7)

式中：φ(τ)=Ωτ+ψ(τ)。

采用平均法解方程(6)可得幅值-頻率特性方程為(具體見附錄或文獻[5,9])：

(8)

則方程的解為

(9)

3 隔振系統(tǒng)傳遞率

將u=U(τ)sin[φ(τ)]代入式(4)，并設初始速度、位移均為零，得：

(10)

(11)

對力傳遞率，一般定義為輸出力與激勵力傅里葉變化的比值[8,17]，此時力傳遞率與力-位移傳遞率分別為(見附錄)：

(12)

(13)

4 討論

上兩種傳遞率均以dB表示，即20log10Tff與20log10Tfd。

4.1 兩種阻尼單獨作用下傳遞率特性

當ζ1=0,ζ2≠0時，隔振系統(tǒng)為傳統(tǒng)的線性隔振系統(tǒng)。其力傳遞率、力位移傳遞率分別為

(14)

(15)

當ζ1≠0,ζ2=0時，隔振系統(tǒng)為具有結構阻尼的非線性隔振系統(tǒng)：

(16)

(17)

由以上公式看出，影響傳遞率因素主要為質(zhì)量、阻尼及激勵頻率。由圖2看出，在兩種阻尼單獨作用下，力傳遞率、力位移傳遞率規(guī)律相似，即在共振區(qū)阻尼增大，共振峰值減?。辉诟哳l隔振區(qū)傳遞率隨阻尼的增大而增大，隔振性能變差。共振峰相同時，遲滯阻尼作用下高頻隔振區(qū)傳遞率上升較小，而粘滯阻尼作用下則上升較大。

圖3為兩種阻尼作用下傳遞率比值曲線，其中ΔT表示粘滯阻尼與遲滯阻尼作用下力傳遞率比值及力位移傳遞率比值。阻尼系數(shù)取ζ=ζ1=ζ2。由圖3看出，采用相同阻尼系數(shù)時，遲滯阻尼較粘滯阻尼隔振效果更好，不僅能抑制共振，且在高頻隔振區(qū)性能亦可得以改善。高頻區(qū)有遲滯阻尼的隔振系統(tǒng)傳遞率隨頻率下降速率為40 dB每十倍頻程，而粘滯阻尼下降速率為20 dB每十倍頻程。因此，采用遲滯阻尼可獲得較傳統(tǒng)粘滯阻尼更好的隔振性能。質(zhì)量對傳遞率影響主要體現(xiàn)在隨剛體質(zhì)量m的增大，力傳遞率不斷下降，剛體質(zhì)量趨于無窮大時，力傳遞率接近零，此時無力傳遞于基礎；隨基礎質(zhì)量M的增大，力傳遞率不斷增大，并趨于傳統(tǒng)單自由度隔振系統(tǒng)力傳遞率特性。需說明的是，本文給出的遲滯阻尼影響下力傳遞率公式與文獻[7]稍有區(qū)別，主要差異在于文獻[7]中對遲滯阻尼進行簡化，其表達式在高頻區(qū)較精確，在共振區(qū)存在一定誤差。式(16)結論較之更精確。

圖2 不同阻尼系數(shù)下，力傳遞率Tff和力位移傳遞率Tfd隨頻率的變化曲線(M=m=1)

對力位移傳遞率，或剛體質(zhì)量或基礎質(zhì)量趨于無窮大時，隔振系統(tǒng)力位移傳遞率均近似為零。其與力傳遞率公式有相似之處，但力位移傳遞率受激勵頻率影響。當激勵頻率增大時，力位移傳遞率迅速下降，但激勵頻率ω<1，系統(tǒng)傳遞率會被放大，即系統(tǒng)在低頻激勵下位移響應可能較大。實際物理意義可解釋為：激勵頻率遠小于共振頻率時，剛體與基礎可認為是牢固結合整體；剛體偏心質(zhì)量位置改變時，剛體與基礎位移也會同時發(fā)生改變，但整個隔振系統(tǒng)質(zhì)心保持不變。即剛體與基礎的最大位移有限，取決于偏心質(zhì)量、偏心距乘積的大小。

(18)

求解后可得力傳遞率最大值對應頻率。

當ζ1=0,ζ2≠0時，力傳遞率最大值及對應頻率分別為

(19)

(20)

該結果可在文獻[7]中得到印證。

當ζ1≠0,ζ2=0時，力傳遞率最大值發(fā)生于Ω=1，最大值為

(21)

可以看出，粘滯阻尼影響下的共振頻率隨阻尼變化而變化，但遲滯阻尼影響下共振頻率不受頻率影響，發(fā)生于Ω=1處。對力位移傳遞率最大值及對應頻率，由于解析公式表達較復雜，且當阻尼系數(shù)較大時，不存在共振峰(圖2(b)、(d))，因此，具體表達式此處不再給出。

4.2 兩種阻尼共同作用下傳遞率特性

傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)常采用粘滯阻尼抑制共振區(qū)響應，但阻尼增大同時也降低高頻區(qū)隔振性能。與粘滯阻尼相比，遲滯阻尼能同時改善共振區(qū)、高頻隔振區(qū)隔振性能。因此，在粘滯阻尼的隔振系統(tǒng)中加入遲滯阻尼，系統(tǒng)的隔振性能也可以得到改善。

圖4為不同配置阻尼作用下系統(tǒng)力傳遞率曲線。由圖4看出，ζ1=0,ζ2=0.1阻尼配置情況下，隔振系統(tǒng)在高頻隔振區(qū)隔振性能較好，但在共振區(qū)力傳遞率較大。為抑制共振峰值，增大粘滯阻尼至ζ2=0.3后，共振峰得到一定削減，但高頻隔振區(qū)傳遞特性反而變差。若采用ζ1=0.05,ζ2=0.1或ζ1=0.05,ζ2=0.2配置，雖高頻區(qū)隔振性能有一定降低，但共振區(qū)響應卻得到明顯改善。因此，采用遲滯阻尼對現(xiàn)有隔振系統(tǒng)性能提升為可行途徑。

圖3 兩種阻尼作用下力傳遞率比值隨頻率變化曲線

5 數(shù)值仿真

圖6為數(shù)值計算得基礎所受作用力曲線，縱坐標為基礎所受力與激勵力比值Fbase/(m0rω2)，橫坐標為掃頻時間坐標。由圖6看出，摩擦阻尼產(chǎn)生的遲滯阻尼與材料內(nèi)阻尼表現(xiàn)出的遲滯阻尼有所不同，主要體現(xiàn)在：運動方向改變時，阻尼力會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，且隨振幅的增大而增大。力的階躍幅度與摩擦阻尼大小、振幅等有關。輸出阻尼力不均勻，會對隔振效果產(chǎn)生不利影響。

6 結 論

(1) 采用兩自由度無約束隔振系統(tǒng)模型進行阻尼影響下的傳遞率特性研究。用平均法及數(shù)值仿真方法求解獲得摩擦阻尼在幾何非線性下產(chǎn)生的遲滯阻尼(結構阻尼)對系統(tǒng)力傳遞率特性。

(2) 增大剛體、基礎質(zhì)量可降低力傳遞率，提高隔振性能。增加阻尼系數(shù)會降低共振峰值，亦會降低高頻隔振效果。采用遲滯阻尼，可明顯降低共振峰值，高頻性能下降較少。激勵頻率對基礎力位移傳遞率有顯著影響，激勵頻率小于1時，會對力位移傳遞率起放大作用；當激勵頻率大于1時，力位移傳遞率迅速下降。

(3) 數(shù)值結果與理論結果吻合良好。摩擦力產(chǎn)生的運動方向上非線性阻尼力存在跳躍現(xiàn)象，主要與運動方向轉變時摩擦力方向改變有關。實際應用中應考慮可能的不利影響。

(4) 采用摩擦阻尼實現(xiàn)的結構阻尼可用于改善隔振系統(tǒng)隔振性能，并可提升現(xiàn)有隔振系統(tǒng)性能。

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附錄

1. 式(6)求解過程：

將式(7)求導得

u′=U(τ)Ωcos(φ(τ))

(8*)

并設滿足條件

U′sinφ+Uψ′cosφ=0

(9*)

式(8)的導數(shù)為

u′′=ΩU′cosφ-ΩU(Ω+ψ′)sinφ

(10*)

將式(7)、(8*)、(10*)代入式(6)，得

2ζ2UΩcosφ+Usinφ=Ω2sin(Ωτ)

(11*)

用條件(9*)消除式(11*)中ψ′可簡化為

ΩU′=-[U(1-Ω2)sinφ-Ω2sin(Ωτ)+

(12*)

ΩUψ′=[U(1-Ω2)sinφ-Ω2sin(Ωτ)+

(13*)

對上式右端在2π周期內(nèi)平均

(14*)

(15*)

上式化簡為

(16*)

(17*)

穩(wěn)態(tài)解應滿足U′=0且ψ′=0，據(jù)式(16*)、(17*)則有

-πΩ2sinψ-8ζ1-2πζ2UΩ=0

(18*)

Uπ(1-Ω2)-πΩ2cosψ=0

(19*)

消除上兩式中ψ，即得式(8)

(8)

2.式(12)具體推導

由式(10)推導出Tff的表達式為

考慮Uπ(1-Ω2)-πΩ2cosψ=0(見式(8)推導)，則有