基于變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多維隔振研究

牛軍川, 楊 峰, 李 勇

(山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,濟(jì)南 250061)

在諸如車輛、船艦、潛水艇和航天器等機(jī)械設(shè)備中存在大量的振動(dòng)和沖擊，它們嚴(yán)重影響著機(jī)械設(shè)備的工作性能和壽命[1]，必須對其采取行之有效的隔振措施。然而，由于這些機(jī)械設(shè)備一般都在變環(huán)境和變工況條件下工作，并且其振動(dòng)一般都為多維振動(dòng)，傳統(tǒng)的隔振理論、隔振技術(shù)和隔振系統(tǒng)在解決這類隔振問題時(shí)存在很多的缺陷。在這中間，最重要的缺陷是傳統(tǒng)的隔振理論是基于傳統(tǒng)的線性隔振系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)特性不能隨著激勵(lì)和外界環(huán)境的變化而改變，另外，由于傳統(tǒng)的隔振系統(tǒng)采用諸如橡膠等傳統(tǒng)隔振器直接安裝于振源與接受體之間，工程上一般是針對沿隔振器軸線方向的振動(dòng)進(jìn)行隔振設(shè)計(jì)，因此也不能很好滿足實(shí)際工程中對多維振動(dòng)進(jìn)行隔離的要求。

近些年來，隨著并聯(lián)機(jī)構(gòu)的發(fā)展，有些學(xué)者已經(jīng)開始應(yīng)用一些比較簡單的并聯(lián)機(jī)構(gòu)減振平臺(tái)進(jìn)行多維振動(dòng)的隔離，獲得了一些結(jié)果，結(jié)果表明，這些并聯(lián)機(jī)構(gòu)在隔離多維振動(dòng)方面有著較好的效果[2-5]。然而，傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)在制造、安裝完成以后，其機(jī)構(gòu)尺寸和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就已固定，其自由度和工作空間亦不能調(diào)整，因此也就難以適應(yīng)工作條件的變化，致使其應(yīng)用范圍受到了限制[6]。1998年，在第25屆ASME機(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人學(xué)雙年會(huì)上Dai等人正式提出了變胞機(jī)構(gòu)的概念，該類機(jī)構(gòu)具有高度可縮性和可展性，可改變桿件數(shù)、自由度以改變機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，為隔離變工況、變環(huán)境的多維振動(dòng)提供了一種全新的思路。

救護(hù)車等在崎嶇路面上行駛、啟停、拐彎等操作過程中，會(huì)使擔(dān)架系統(tǒng)存在前后、左右、上下甚至是俯仰等多維振動(dòng)，為實(shí)現(xiàn)擔(dān)架系統(tǒng)的多維振動(dòng)控制，本文通過引入一個(gè)變胞鉸鏈，給出了一種新穎的變胞機(jī)構(gòu)，該變胞能轉(zhuǎn)化為3自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)或者是4自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。這里將該變胞機(jī)構(gòu)用作多維減振平臺(tái)的主體機(jī)構(gòu)，推導(dǎo)了其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程，研究了其動(dòng)力學(xué)特性和隔振特性。

1 隔振平臺(tái)模型

如圖1所示，為某一可變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)，這里將其作為多維隔振平臺(tái)的主體機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)由上、下兩個(gè)平臺(tái)組成，一般上平臺(tái)為動(dòng)平臺(tái)，下平臺(tái)為靜平臺(tái)。該機(jī)構(gòu)的連桿系統(tǒng)有三條支鏈，每條支鏈為一個(gè)操作器。這里，在上平臺(tái)鉸鏈A3處引入一個(gè)變胞運(yùn)動(dòng)rT鉸鏈[8]，如圖2所示，該鉸鏈有兩種配置：① 當(dāng)rT鉸處于第一配置時(shí)，如圖2(a)所示，rT鉸存在兩種轉(zhuǎn)動(dòng)，也就是軸1與y方向平行，可轉(zhuǎn)動(dòng)，軸2與x方向平行，該軸亦可轉(zhuǎn)動(dòng)；② 當(dāng)十字軸繞軸1轉(zhuǎn)動(dòng)至圖2(b)所示形位時(shí)，軸2和z方向平行，則rT鉸處于第二配置時(shí)，rT鉸只存在一種轉(zhuǎn)動(dòng)，也就是軸1仍舊與y方向平行，可轉(zhuǎn)動(dòng)，軸2則不再與x方向平行，該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)被固定。

用C表示圓柱副，R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，則圖1中A1，B1，C1為圓柱副，A2，B2，C2、B3，C3為轉(zhuǎn)動(dòng)副，A3為rT鉸。當(dāng)rT鉸處于第一形位時(shí)，A3為A31和A32兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的復(fù)合，當(dāng)rT鉸處于第二形位時(shí)，A3只存在一個(gè)A32轉(zhuǎn)動(dòng)副。容易看出，圖1的變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)有兩個(gè)CRR操作器和一個(gè)CRrT操作器三條支鏈。

分析和自由度計(jì)算表明，當(dāng)rT鉸取第一配置，則變胞機(jī)構(gòu)處于第一形位，變胞機(jī)構(gòu)等價(jià)于一個(gè)3-CRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)具有3個(gè)平移自由度。當(dāng)rT鉸取第二配置時(shí)，則變胞機(jī)構(gòu)處于第二形位，該變胞機(jī)構(gòu)等價(jià)于一個(gè)CRU-2CRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)有三個(gè)平移自由度和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。第一和第二配置的相互轉(zhuǎn)換可以根據(jù)環(huán)境和工況要求通過自動(dòng)或手動(dòng)設(shè)置實(shí)現(xiàn)。

圓柱副A1和B1、轉(zhuǎn)動(dòng)副C1和A31被用作機(jī)構(gòu)的主動(dòng)副，主動(dòng)副和固定平臺(tái)之間用彈簧阻尼器系統(tǒng)連接，如圖1所示。

圖1 變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

圖2 rT鉸的配置

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力分析

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)

如圖1所示，將系統(tǒng)的全局坐標(biāo)o-xyz放在下平臺(tái)上，上平臺(tái)的局部坐標(biāo)放在P點(diǎn)上，機(jī)構(gòu)配置及其尺寸等都在圖中進(jìn)行了標(biāo)注。

根據(jù)圖1所示動(dòng)力學(xué)模型及其幾何配置關(guān)系，如果rT處于圖2(a)所示的第一配置，則如上所述，機(jī)構(gòu)為第一形位，機(jī)構(gòu)為一具有四自由度的CRU-2CRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)。這里設(shè)定A1、B1為主動(dòng)移動(dòng)副和C1、A31為主動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副，這時(shí)，如果給定參數(shù)a1、b1、γ1和θ1，可容易得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解表達(dá)式如下:

(1)

對式(1)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，則可得上平臺(tái)參考點(diǎn)P的速度為

(2)

(3)

那么，第一階運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)G1可以用下面的表達(dá)式來計(jì)算

(4)

這里F1={f1,f2,f3,f4)，d1={a1,b1,l1,θ1}。

類似地，如果rT鉸取圖2(b)所示的第二配置，則變胞機(jī)構(gòu)處于第二形位，機(jī)構(gòu)變?yōu)橐蝗杂啥鹊?-CRR機(jī)構(gòu)，其正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式為

(5)

從式(5)容易看出，式(5)僅是式(1)的一個(gè)特例，或者說只需設(shè)θ1=0，則式(1)就立即退化為式(5)，這時(shí)，鉸鏈A3就變成了A32，軸2的轉(zhuǎn)動(dòng)2被固定，但軸1的轉(zhuǎn)動(dòng)1仍舊被保留，如圖2所示。因此，3-CRR機(jī)構(gòu)是CRU-2CRR機(jī)構(gòu)的退化機(jī)構(gòu)，簡單起見，在下面的分析中只給出第一形位即CRU-2CRR機(jī)構(gòu)的分析和方程。

2.2 動(dòng)力學(xué)

本文研究的機(jī)構(gòu)的是一個(gè)復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，因此對其動(dòng)力學(xué)分析和固有頻率求解是非常復(fù)雜的。另外，由于上平臺(tái)質(zhì)量遠(yuǎn)比連桿和滑塊的質(zhì)量大，簡單起見，這里把連桿和滑塊等的質(zhì)量忽略掉，只考慮可動(dòng)的上平臺(tái)質(zhì)量。采用如下的Langrage方程

(6)

推導(dǎo)CRU-2CRR機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)支配方程。這里si是廣義坐標(biāo)，T是動(dòng)能，V是勢能，D是阻尼損耗因子，Γi是沿或繞si方向的廣義力，i=1,2,…,n。計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能并將其帶入式(6)中，則得系統(tǒng)第一形位的動(dòng)力學(xué)方程為

(7)

式中:s1為上平臺(tái)參考點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)，Γ1系統(tǒng)的廣義力矢量，M1,C1,K1為全局系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為

M1=diag(mp,mp,mp,Ix)

(8)

這里mp是上平臺(tái)質(zhì)量，Ix是上平臺(tái)繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。系統(tǒng)的阻尼矩陣為

(9)

(10)

根據(jù)式(4)和式(10)，容易知道K1隨上平臺(tái)位置的改變而變化，因此式(7)是一個(gè)非線性方程，當(dāng)上平臺(tái)處于某一瞬時(shí)位置時(shí)，相應(yīng)地系統(tǒng)存在瞬時(shí)固有頻率。換句話說，如果上平臺(tái)在某一位置做微幅振動(dòng)，可以通過求解式(7)獲得系統(tǒng)在這一位置的固有頻率。

為了獲得減振機(jī)構(gòu)的固有頻率，忽略阻尼影響，將一組簡諧解帶入式(7)，可以得到系統(tǒng)的特征方程為

(11)

求解式(11)可以得到系統(tǒng)在這一位置的所有的固有頻率ωni(i=1,2,3,4)。

上面求解的過程是基于變胞機(jī)構(gòu)第一形位或者CRU-2CRR機(jī)構(gòu)，根據(jù)兩形位之間的關(guān)系，容易知道，只需把第一形位的機(jī)構(gòu)的4×4維G1,M1,C1,K1等矩陣的最后一行和最后一列去掉，變成3×3維矩陣，則系統(tǒng)為第二形位，式(7)亦退化為第二形位或者3-CRR機(jī)構(gòu)的支配方程。

3 仿真和分析

當(dāng)變胞機(jī)構(gòu)處于第一形位，即為CRU-2CRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)，機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)取為：a2=a3=b2=b3=l2=l3=13 cm，l1=l4=20 cm，a4=10 cm，b4=12 cm，上平臺(tái)質(zhì)量為5 kg，上平臺(tái)繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為5 kg·m2。參考點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp,zp,αp)=(0, 0, 13, 0)。

在點(diǎn)O和A1之間、O和B1之間安裝拉壓彈簧，彈簧剛度分別為k1=8 000 N/m和k2=2 000 N/m。另外，在鉸鏈C1和A31上安裝扭轉(zhuǎn)彈簧，彈簧剛度分別為k3=900 N·m/rad和k4=5 000 N·m/rad。根據(jù)靜力平衡條件可知，當(dāng)上平臺(tái)參考點(diǎn)P處于(0, 0, 13, 0)時(shí)，上平臺(tái)處于靜平衡位置，且上平臺(tái)平行于下平臺(tái)。

3.1 模態(tài)分析

模態(tài)分析時(shí)，下平臺(tái)是靜平臺(tái)，上平臺(tái)是動(dòng)平臺(tái)。根據(jù)式(11)，可以得到機(jī)構(gòu)處于第一形位時(shí)機(jī)構(gòu)的四個(gè)模態(tài)陣型及其相應(yīng)的四個(gè)固有頻率，也就是CRU-2CRR的四個(gè)固有模態(tài)。按照上面的討論，僅需要縮減式(7)中各矩陣的相應(yīng)維數(shù)，再進(jìn)行特征方程的求解，便可以得到3-CRR系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率和固有陣型。兩個(gè)機(jī)構(gòu)的固有頻率及其固有陣型列于表1中。

表1 3-CRR和 CRU-2CRR機(jī)構(gòu)的模態(tài)

容易看出，CRU-2CRR機(jī)構(gòu)有沿x，y，z方向的三個(gè)平動(dòng)自由度和一個(gè)繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度在3-CRR機(jī)構(gòu)中消失。CRU-2CRR機(jī)構(gòu)的固有模態(tài)陣型如圖3所示。從圖3和表1中可知，CRU-2CRR機(jī)構(gòu)的第二階模態(tài)幾乎是沿x方向的純平動(dòng)，該模態(tài)與其它方向的振動(dòng)不耦合，其它三個(gè)方向的模態(tài)則不是沿(或繞)某坐標(biāo)軸的純平動(dòng)(或轉(zhuǎn)動(dòng))，它們之間存在輕微耦合。對于變胞機(jī)構(gòu)的第二形位，或者3-CRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，只存在如圖3(a)、(b)和(d)所示的三個(gè)模態(tài)，相應(yīng)的固有頻率如表1中所示。

圖3 第一形位時(shí)系統(tǒng)的模態(tài)陣型

3.2 振動(dòng)隔離

為了驗(yàn)證建立的變胞并聯(lián)減振平臺(tái)的隔振效果，采用Matlab和Adams基于CRU-2CRR機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真研究。這里假設(shè)激勵(lì)來自于下平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，這時(shí)下平臺(tái)被放開，所加的速度激勵(lì)函數(shù)為0.001sin(200 t)，分別施加在下平臺(tái)沿x，y，z方向和繞x軸方向上。表2給出了上、下平臺(tái)加速度的最大值和有效值(均方根)。可以看到，上平臺(tái)的加速度有效值相比下平臺(tái)有較大的降低，可見，多維隔振平臺(tái)在隔離多維振動(dòng)方面具有較好的隔振效果。

從時(shí)間歷程上，作為例子，僅考慮下平臺(tái)z方向的激勵(lì)和振動(dòng)，z方向的上、下平臺(tái)的加速度如圖4所示。在圖中明顯可以看出，上平臺(tái)的振動(dòng)加速度比下平臺(tái)的振動(dòng)加速度有較大的降低。從上面的頻域和時(shí)域分析易得，本文變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的兩個(gè)形位對隔離來自下平臺(tái)的振動(dòng)有很好效果。

同樣的仿真和分析表明，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以隔離來自下平臺(tái)的各個(gè)方向的多維振動(dòng)。并且可以通過進(jìn)一步的研究得到每個(gè)振動(dòng)方向上使系統(tǒng)隔振有效的最小頻率，如表3中所示。從表中可知，最小頻率和固有頻率的頻率比大約等于1.414，這個(gè)結(jié)果類似于傳統(tǒng)單自由度隔振系統(tǒng)中的結(jié)論。

表2 上下平臺(tái)的加速度

表3 激勵(lì)頻率、固有頻率及其頻率比

圖4 在z方向上的下平臺(tái)和上平臺(tái)加速度時(shí)間歷程

圖5 在下平臺(tái)施加速度激勵(lì)時(shí)上平臺(tái)的速度響應(yīng)

圖5是在下平臺(tái)施加速度激勵(lì)時(shí)上平臺(tái)的速度響應(yīng)。從圖中可得如下結(jié)論：① 如果下平臺(tái)也是運(yùn)動(dòng)的，對比圖5峰值和表1數(shù)值，由于耦合，系統(tǒng)的固有頻率將會(huì)有所偏移；② 在第一個(gè)彈簧上即A1處施加阻尼c1=50 N·m/s，速度頻率響應(yīng)幅值將會(huì)降低；③ 在第二個(gè)彈簧上即B1處施加c2=50 N·m/s的阻尼，阻尼對z方向振動(dòng)幾乎沒有影響；④ 在第三個(gè)彈簧上即C1處施加c3=20 N·m/s的阻尼，扭轉(zhuǎn)彈簧的阻尼對降低速度振幅具有很好的作用，特別是對第二個(gè)峰值，該峰值完全被抑制，然而隨著頻率的增加，隔振效果則變壞。

4 結(jié) 論

引入了一個(gè)變胞運(yùn)動(dòng)的rT鉸鏈，在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上綜合出了一種變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)。將該變胞機(jī)構(gòu)作為多維隔振系統(tǒng)的隔振主體，在選定的主動(dòng)副處安裝彈簧阻尼系統(tǒng)，構(gòu)建了可變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)減振平臺(tái)，該變胞機(jī)構(gòu)可以通過調(diào)整rT鉸的配置或形位，使變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)在3-CRR和CRU-2CRR機(jī)構(gòu)之間相互轉(zhuǎn)化。

給出的變胞并聯(lián)減振機(jī)構(gòu)為振動(dòng)控制提供了一種新的思路和策略。通過對系統(tǒng)的模態(tài)、動(dòng)力學(xué)特性和隔振效果的研究表明：① 所給并聯(lián)機(jī)構(gòu)的固有頻率隨動(dòng)平臺(tái)的位置的變化而改變；② 可以通過設(shè)定合適的參數(shù)調(diào)節(jié)固有頻率，從而可以使激勵(lì)頻率避開固有頻率，抑制振動(dòng)；③ 所給變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)在兩個(gè)形位上都可以實(shí)現(xiàn)較好的隔振效果，它可以隔離兩種工況的多維振動(dòng)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]牛軍川, 宋孔杰. 多激勵(lì)多支承全柔性隔振系統(tǒng)的傳遞特性分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2011, 47(7): 59-64.

NIU Jun-chuan, SONG Kong-jie. Transmission characteristics of fully flexible Isolation systems subjected to multi-excitations and supported by multi-mounts[J]. Journal of Mechanical Engineering,2011,47 (7): 59-64.

[2]馬履中, 楊啟志, 尹小琴,等. 仿橡膠多自由度彈性阻尼減振裝置研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2004, 40(1): 21-24.

MA Lü-zhong, YANG Qi-zhi, YI Xiao-qing, et al. Analysis of combined elastic damping devices on multiple DOF parallel mechanism[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2004,40(1): 21-24.

[3]余順年, 馬履中, 陳扼西, 等. 三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置和運(yùn)動(dòng)分析及仿真[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào), 2005, 36(9): 97-100.

YU Shun-nian, MA Lü-zhong, CHEN E-xi, et al. Position and kinematics analyses and simulation of a 3-DOF parallel mechanism[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery, 2005,36(9):97-100.

[4]楊峰, 牛軍川, 李勇. 可調(diào)頻并聯(lián)減振機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析與應(yīng)用研究[J]. 現(xiàn)代振動(dòng)與噪聲技術(shù), 2012, 10: 112-115.

YANG Feng, NIU Jun-chuan, LI Yong. Application and dynamics of tunable parallel mechanism for vibration reduction[J]. Modern Vibration and Noise Techniques, 2012,10:112-115.

[5]Yang F, Niu J C, Li K P, et al. Study on frequency tuning of parallel mechanism for reducing vibration[J]. Applied Mechanics and Materials, 2013,275-277: 905-908.

[6]楊峰. 一種可變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多維隔振平臺(tái)研究[D]. 濟(jì)南：山東大學(xué)，2013.

[7]Dai J S,Rees J J. Mobility in metamorphic mechanism of foldable/erectable kinds[C]. The 25th ASME Biennial Mechanisms and Robotics Conference,1998, Baltimore, New York, USA.

[8]Gan D, Dai J S， Liao Q. Constraint analysis on mobility change of a novel metamorphic parallel mechanism[J]. Mechanism and Machine Theory,2010,45(12):1864-1876.