在“反比例函數(shù)”中感悟數(shù)學(xué)思想

沈璇

一、 數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想是指利用數(shù)量關(guān)系與圖形的結(jié)合，尋求解答的一種解題策略. 其將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，從而達(dá)到以形助數(shù)、以數(shù)解形的效果.

1. 以“形”助“數(shù)”

例1 如圖1，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=圖像上的一點(diǎn)，矩形PAOB的面積為3，則函數(shù)解析式為______.

【解析】觀察圖像，結(jié)合k的幾何意義得k=3，又因?yàn)閳D像位于二、四象限，所以k<0，所以k=-3，解析式為y=-.

2. 由“數(shù)”解“形”

【解析】由解析式知，此函數(shù)圖像位于一、三象限，在A中，點(diǎn)（1，-3）在第四象限，所以雙曲線不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)；在C中，此函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)都是y隨x增大而減小，所以選項(xiàng)C錯(cuò)；在D中，直線y=-x位于二、四象限與雙曲線無交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò). 正確答案選B.

3. 數(shù)形結(jié)合

【解析】根據(jù)兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)E（-1，2），結(jié)合圖像可知，當(dāng)y1>y2>0時(shí)，x的取值范圍是x<-1，再在數(shù)軸上表示出來.因此選A.

【點(diǎn)評】例1中，由圖形顯現(xiàn)k的幾何意義，從而確定k值；例2中，通過函數(shù)解析式確定函數(shù)圖像，從而解題；例3中，依據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖像，得出x的取值范圍. 此方法比用代數(shù)方法解不等式要簡單得多.數(shù)形結(jié)合是本章重要的思想方法.

二、 轉(zhuǎn)化思想

所謂轉(zhuǎn)化思想就是將未知問題或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比等途徑，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或易于解決的問題，其實(shí)質(zhì)是將“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，從而獲得解決的一種策略.

例4 已知一次函數(shù)y=x+2與反比例函數(shù)y=，其中一次函數(shù)y=x+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（k，5）.

①試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；

②若點(diǎn)Q是上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像在第三象限的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【解析】①因一次函數(shù)y=x+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（k，5），所以得5=k+2，解得k=3，

【點(diǎn)評】解①題的關(guān)鍵在于將點(diǎn)P坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程，通過解方程得以求解；解②題的關(guān)鍵在于將求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求方程組的解，通過求解方程組得出交點(diǎn)坐標(biāo).

三、 整體代入思想

所謂整體代入思想是指在很難求出字母的值或者根本就求不出字母值的時(shí)候，將關(guān)于該字母的一個(gè)代數(shù)式進(jìn)行整體代入，從而得以解題的一種策略.

例5 設(shè)函數(shù)y=與y=x-1的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則-的值為______.

【點(diǎn)評】本題無需求出字母a與b的值，根據(jù)題意，適當(dāng)變形后，將其整體代入，從而得以求解.

四、 函數(shù)建模思想

所謂函數(shù)建模思想是指將錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為數(shù)學(xué)問題，即用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象，并通過構(gòu)建函數(shù)模型解決問題的一種策略.

例6 （2013·益陽）我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種. 如圖3是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時(shí)間x（小時(shí)）變化的函數(shù)圖像，其中BC段是雙曲線y=的一部分. 請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

①恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時(shí)間有多少小時(shí)？

②求k的值；

③當(dāng)x=16時(shí)，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？

【點(diǎn)評】反比例函數(shù)是能夠刻畫現(xiàn)實(shí)生活中某些情境的數(shù)學(xué)模型. 一般先把題目中的實(shí)際條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件，確定函數(shù)解析式，再利用函數(shù)解析式解決實(shí)際問題.

（作者單位：江蘇省泗陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）

一、 數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想是指利用數(shù)量關(guān)系與圖形的結(jié)合，尋求解答的一種解題策略. 其將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，從而達(dá)到以形助數(shù)、以數(shù)解形的效果.

1. 以“形”助“數(shù)”

例1 如圖1，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=圖像上的一點(diǎn)，矩形PAOB的面積為3，則函數(shù)解析式為______.

【解析】觀察圖像，結(jié)合k的幾何意義得k=3，又因?yàn)閳D像位于二、四象限，所以k<0，所以k=-3，解析式為y=-.

2. 由“數(shù)”解“形”

【解析】由解析式知，此函數(shù)圖像位于一、三象限，在A中，點(diǎn)（1，-3）在第四象限，所以雙曲線不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)；在C中，此函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)都是y隨x增大而減小，所以選項(xiàng)C錯(cuò)；在D中，直線y=-x位于二、四象限與雙曲線無交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò). 正確答案選B.

3. 數(shù)形結(jié)合

【解析】根據(jù)兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)E（-1，2），結(jié)合圖像可知，當(dāng)y1>y2>0時(shí)，x的取值范圍是x<-1，再在數(shù)軸上表示出來.因此選A.

【點(diǎn)評】例1中，由圖形顯現(xiàn)k的幾何意義，從而確定k值；例2中，通過函數(shù)解析式確定函數(shù)圖像，從而解題；例3中，依據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖像，得出x的取值范圍. 此方法比用代數(shù)方法解不等式要簡單得多.數(shù)形結(jié)合是本章重要的思想方法.

二、 轉(zhuǎn)化思想

所謂轉(zhuǎn)化思想就是將未知問題或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比等途徑，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或易于解決的問題，其實(shí)質(zhì)是將“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，從而獲得解決的一種策略.

例4 已知一次函數(shù)y=x+2與反比例函數(shù)y=，其中一次函數(shù)y=x+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（k，5）.

①試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；

②若點(diǎn)Q是上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像在第三象限的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【解析】①因一次函數(shù)y=x+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（k，5），所以得5=k+2，解得k=3，

【點(diǎn)評】解①題的關(guān)鍵在于將點(diǎn)P坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程，通過解方程得以求解；解②題的關(guān)鍵在于將求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求方程組的解，通過求解方程組得出交點(diǎn)坐標(biāo).

三、 整體代入思想

所謂整體代入思想是指在很難求出字母的值或者根本就求不出字母值的時(shí)候，將關(guān)于該字母的一個(gè)代數(shù)式進(jìn)行整體代入，從而得以解題的一種策略.

例5 設(shè)函數(shù)y=與y=x-1的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則-的值為______.

【點(diǎn)評】本題無需求出字母a與b的值，根據(jù)題意，適當(dāng)變形后，將其整體代入，從而得以求解.

四、 函數(shù)建模思想

所謂函數(shù)建模思想是指將錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為數(shù)學(xué)問題，即用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象，并通過構(gòu)建函數(shù)模型解決問題的一種策略.

例6 （2013·益陽）我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種. 如圖3是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時(shí)間x（小時(shí)）變化的函數(shù)圖像，其中BC段是雙曲線y=的一部分. 請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

①恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時(shí)間有多少小時(shí)？

②求k的值；

③當(dāng)x=16時(shí)，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？

【點(diǎn)評】反比例函數(shù)是能夠刻畫現(xiàn)實(shí)生活中某些情境的數(shù)學(xué)模型. 一般先把題目中的實(shí)際條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件，確定函數(shù)解析式，再利用函數(shù)解析式解決實(shí)際問題.

（作者單位：江蘇省泗陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）

一、 數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想是指利用數(shù)量關(guān)系與圖形的結(jié)合，尋求解答的一種解題策略. 其將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，從而達(dá)到以形助數(shù)、以數(shù)解形的效果.

1. 以“形”助“數(shù)”

例1 如圖1，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=圖像上的一點(diǎn)，矩形PAOB的面積為3，則函數(shù)解析式為______.

【解析】觀察圖像，結(jié)合k的幾何意義得k=3，又因?yàn)閳D像位于二、四象限，所以k<0，所以k=-3，解析式為y=-.

2. 由“數(shù)”解“形”

【解析】由解析式知，此函數(shù)圖像位于一、三象限，在A中，點(diǎn)（1，-3）在第四象限，所以雙曲線不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)；在C中，此函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)都是y隨x增大而減小，所以選項(xiàng)C錯(cuò)；在D中，直線y=-x位于二、四象限與雙曲線無交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò). 正確答案選B.

3. 數(shù)形結(jié)合

【解析】根據(jù)兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)E（-1，2），結(jié)合圖像可知，當(dāng)y1>y2>0時(shí)，x的取值范圍是x<-1，再在數(shù)軸上表示出來.因此選A.

【點(diǎn)評】例1中，由圖形顯現(xiàn)k的幾何意義，從而確定k值；例2中，通過函數(shù)解析式確定函數(shù)圖像，從而解題；例3中，依據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖像，得出x的取值范圍. 此方法比用代數(shù)方法解不等式要簡單得多.數(shù)形結(jié)合是本章重要的思想方法.

二、 轉(zhuǎn)化思想

所謂轉(zhuǎn)化思想就是將未知問題或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比等途徑，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或易于解決的問題，其實(shí)質(zhì)是將“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，從而獲得解決的一種策略.

例4 已知一次函數(shù)y=x+2與反比例函數(shù)y=，其中一次函數(shù)y=x+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（k，5）.

①試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；

②若點(diǎn)Q是上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像在第三象限的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【解析】①因一次函數(shù)y=x+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（k，5），所以得5=k+2，解得k=3，

【點(diǎn)評】解①題的關(guān)鍵在于將點(diǎn)P坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程，通過解方程得以求解；解②題的關(guān)鍵在于將求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求方程組的解，通過求解方程組得出交點(diǎn)坐標(biāo).

三、 整體代入思想

所謂整體代入思想是指在很難求出字母的值或者根本就求不出字母值的時(shí)候，將關(guān)于該字母的一個(gè)代數(shù)式進(jìn)行整體代入，從而得以解題的一種策略.

例5 設(shè)函數(shù)y=與y=x-1的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則-的值為______.

【點(diǎn)評】本題無需求出字母a與b的值，根據(jù)題意，適當(dāng)變形后，將其整體代入，從而得以求解.

四、 函數(shù)建模思想

所謂函數(shù)建模思想是指將錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為數(shù)學(xué)問題，即用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象，并通過構(gòu)建函數(shù)模型解決問題的一種策略.

例6 （2013·益陽）我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種. 如圖3是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時(shí)間x（小時(shí)）變化的函數(shù)圖像，其中BC段是雙曲線y=的一部分. 請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

①恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時(shí)間有多少小時(shí)？

②求k的值；

③當(dāng)x=16時(shí)，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？

【點(diǎn)評】反比例函數(shù)是能夠刻畫現(xiàn)實(shí)生活中某些情境的數(shù)學(xué)模型. 一般先把題目中的實(shí)際條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件，確定函數(shù)解析式，再利用函數(shù)解析式解決實(shí)際問題.

（作者單位：江蘇省泗陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）