方程思想

梅莉莉

方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是指在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，從題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系入手，找出相等關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（或方程組），再通過解方程（組）解決問題. 其應(yīng)用非常廣泛，下面我們通過幾個(gè)例題來體會(huì)方程思想的巨大威力.

一、 代數(shù)問題中的方程思想

例1 若5xym與4xm+n-1y是同類項(xiàng)，則m-n=______.

【解析】因?yàn)?xym與4xm+n-1y是同類項(xiàng)，所以m+n-1=1，

m=1.解得m=1，

n=1.

所以m-n=0.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)同類項(xiàng)的定義：相同字母的指數(shù)相同，可列出關(guān)于m和n的二元一次方程組，再解方程組求出它們的值，代入求出m-n的值.

例3 （2009·武漢）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個(gè). 調(diào)查表明：這種書包的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少10個(gè).

（1） 請(qǐng)寫出每月售出書包利潤(rùn)y（元）與每個(gè)書包漲價(jià)x（元）間的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 略；

（3） 請(qǐng)分析并回答售價(jià)在什么范圍內(nèi)商家獲得的月利潤(rùn)不低于6 000元.

【解析】（1） 由題意得，

y=（10+x）（600-10x）=-10x2+500x+6 000.

（3）當(dāng)y=6 000時(shí)，-10（x-25）2+12 250=6 000，

解得x1=0，x2=50，

函數(shù)y=-10（x-25）2+12 250的圖像開口向下，對(duì)稱軸為直線x=25，與直線y=6 000的交點(diǎn)為（0，6 000）和（50，6 000），由圖1可知，當(dāng)0≤x≤50時(shí)，y≥6 000，即當(dāng)售價(jià)在不小于40元且不大于90元時(shí)，月利潤(rùn)不低于6 000元.

【點(diǎn)評(píng)】本題第（3）問中將二次函數(shù)中的范圍問題轉(zhuǎn)化為方程問題，結(jié)合圖像得出范圍.

二、 幾何問題中的方程思想

平面幾何中，很多問題都可以通過引入未知量建立方程（組）來解決問題，如圖形的面積問題、相似三角形、勾股定理、三角函數(shù)等，下面我們以三角函數(shù)、勾股定理為例加以說明.

例4 在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，且AD=BD=BC，則∠A=______.

【解析】∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB.

設(shè)∠A=x，則∠ABD=∠A=x，

∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°，∠A=36°.

【點(diǎn)評(píng)】本題中有較多等腰三角形，利用角度之間的關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，利用三角形內(nèi)角和建立方程解決問題，簡(jiǎn)潔清晰.

例5 （2012·寧波）如圖3，用鄰邊分別為a，b（a

A. b=a B. b=a

C. b=a D. b=a

【解析】設(shè)兩圓圓心分別為B、C，底面圓的半徑為r，連接BC，過點(diǎn)B作矩形短邊的垂線，垂足為A，則BC=a+r，AB=b，AC=a-r，由勾股定理可得

【點(diǎn)評(píng)】本題解題的關(guān)鍵是設(shè)出底面圓半徑r，將兩圓位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，結(jié)合題中已知條件根據(jù)勾股定理建立方程.

三、 統(tǒng)計(jì)概率中的方程思想

例6 （2011·廣安）在一只不透明的口袋中放入只有顏色不同的白球6個(gè)，黑球4個(gè)，黃球n個(gè)，攪勻后隨機(jī)從中摸取一個(gè)恰好是黃球的概率為，則放入的黃球總數(shù)n=______.

【解析】因?yàn)槊近S球的概率為，所以=，解得n=5.

例7 下表是某公司20名員工某月的工資統(tǒng)計(jì)表：

（1） 若這20名員工的平均工資為1 820元，求x和y的值；

（2） 在（1）的條件下，若這20名員工的該月工資的眾數(shù)為a，中位數(shù)為b，求a和b.

【解析】（1） 由題意可得

x+y+8=20，

1 800x+1 900y+1 600+8 500+4 000=36 400.

解得x=5，

y=7.

（2） 略.

【點(diǎn)評(píng)】利用方程思想表示數(shù)量之間的關(guān)系，在求解概率統(tǒng)計(jì)問題中往往可以發(fā)揮巨大作用.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是指在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，從題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系入手，找出相等關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（或方程組），再通過解方程（組）解決問題. 其應(yīng)用非常廣泛，下面我們通過幾個(gè)例題來體會(huì)方程思想的巨大威力.

一、 代數(shù)問題中的方程思想

例1 若5xym與4xm+n-1y是同類項(xiàng)，則m-n=______.

【解析】因?yàn)?xym與4xm+n-1y是同類項(xiàng)，所以m+n-1=1，

m=1.解得m=1，

n=1.

所以m-n=0.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)同類項(xiàng)的定義：相同字母的指數(shù)相同，可列出關(guān)于m和n的二元一次方程組，再解方程組求出它們的值，代入求出m-n的值.

例3 （2009·武漢）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個(gè). 調(diào)查表明：這種書包的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少10個(gè).

（1） 請(qǐng)寫出每月售出書包利潤(rùn)y（元）與每個(gè)書包漲價(jià)x（元）間的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 略；

（3） 請(qǐng)分析并回答售價(jià)在什么范圍內(nèi)商家獲得的月利潤(rùn)不低于6 000元.

【解析】（1） 由題意得，

y=（10+x）（600-10x）=-10x2+500x+6 000.

（3）當(dāng)y=6 000時(shí)，-10（x-25）2+12 250=6 000，

解得x1=0，x2=50，

函數(shù)y=-10（x-25）2+12 250的圖像開口向下，對(duì)稱軸為直線x=25，與直線y=6 000的交點(diǎn)為（0，6 000）和（50，6 000），由圖1可知，當(dāng)0≤x≤50時(shí)，y≥6 000，即當(dāng)售價(jià)在不小于40元且不大于90元時(shí)，月利潤(rùn)不低于6 000元.

【點(diǎn)評(píng)】本題第（3）問中將二次函數(shù)中的范圍問題轉(zhuǎn)化為方程問題，結(jié)合圖像得出范圍.

二、 幾何問題中的方程思想

平面幾何中，很多問題都可以通過引入未知量建立方程（組）來解決問題，如圖形的面積問題、相似三角形、勾股定理、三角函數(shù)等，下面我們以三角函數(shù)、勾股定理為例加以說明.

例4 在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，且AD=BD=BC，則∠A=______.

【解析】∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB.

設(shè)∠A=x，則∠ABD=∠A=x，

∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°，∠A=36°.

【點(diǎn)評(píng)】本題中有較多等腰三角形，利用角度之間的關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，利用三角形內(nèi)角和建立方程解決問題，簡(jiǎn)潔清晰.

例5 （2012·寧波）如圖3，用鄰邊分別為a，b（a

A. b=a B. b=a

C. b=a D. b=a

【解析】設(shè)兩圓圓心分別為B、C，底面圓的半徑為r，連接BC，過點(diǎn)B作矩形短邊的垂線，垂足為A，則BC=a+r，AB=b，AC=a-r，由勾股定理可得

【點(diǎn)評(píng)】本題解題的關(guān)鍵是設(shè)出底面圓半徑r，將兩圓位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，結(jié)合題中已知條件根據(jù)勾股定理建立方程.

三、 統(tǒng)計(jì)概率中的方程思想

例6 （2011·廣安）在一只不透明的口袋中放入只有顏色不同的白球6個(gè)，黑球4個(gè)，黃球n個(gè)，攪勻后隨機(jī)從中摸取一個(gè)恰好是黃球的概率為，則放入的黃球總數(shù)n=______.

【解析】因?yàn)槊近S球的概率為，所以=，解得n=5.

例7 下表是某公司20名員工某月的工資統(tǒng)計(jì)表：

（1） 若這20名員工的平均工資為1 820元，求x和y的值；

（2） 在（1）的條件下，若這20名員工的該月工資的眾數(shù)為a，中位數(shù)為b，求a和b.

【解析】（1） 由題意可得

x+y+8=20，

1 800x+1 900y+1 600+8 500+4 000=36 400.

解得x=5，

y=7.

（2） 略.

【點(diǎn)評(píng)】利用方程思想表示數(shù)量之間的關(guān)系，在求解概率統(tǒng)計(jì)問題中往往可以發(fā)揮巨大作用.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是指在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，從題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系入手，找出相等關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（或方程組），再通過解方程（組）解決問題. 其應(yīng)用非常廣泛，下面我們通過幾個(gè)例題來體會(huì)方程思想的巨大威力.

一、 代數(shù)問題中的方程思想

例1 若5xym與4xm+n-1y是同類項(xiàng)，則m-n=______.

【解析】因?yàn)?xym與4xm+n-1y是同類項(xiàng)，所以m+n-1=1，

m=1.解得m=1，

n=1.

所以m-n=0.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)同類項(xiàng)的定義：相同字母的指數(shù)相同，可列出關(guān)于m和n的二元一次方程組，再解方程組求出它們的值，代入求出m-n的值.

例3 （2009·武漢）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個(gè). 調(diào)查表明：這種書包的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少10個(gè).

（1） 請(qǐng)寫出每月售出書包利潤(rùn)y（元）與每個(gè)書包漲價(jià)x（元）間的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 略；

（3） 請(qǐng)分析并回答售價(jià)在什么范圍內(nèi)商家獲得的月利潤(rùn)不低于6 000元.

【解析】（1） 由題意得，

y=（10+x）（600-10x）=-10x2+500x+6 000.

（3）當(dāng)y=6 000時(shí)，-10（x-25）2+12 250=6 000，

解得x1=0，x2=50，

函數(shù)y=-10（x-25）2+12 250的圖像開口向下，對(duì)稱軸為直線x=25，與直線y=6 000的交點(diǎn)為（0，6 000）和（50，6 000），由圖1可知，當(dāng)0≤x≤50時(shí)，y≥6 000，即當(dāng)售價(jià)在不小于40元且不大于90元時(shí)，月利潤(rùn)不低于6 000元.

【點(diǎn)評(píng)】本題第（3）問中將二次函數(shù)中的范圍問題轉(zhuǎn)化為方程問題，結(jié)合圖像得出范圍.

二、 幾何問題中的方程思想

平面幾何中，很多問題都可以通過引入未知量建立方程（組）來解決問題，如圖形的面積問題、相似三角形、勾股定理、三角函數(shù)等，下面我們以三角函數(shù)、勾股定理為例加以說明.

例4 在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，且AD=BD=BC，則∠A=______.

【解析】∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB.

設(shè)∠A=x，則∠ABD=∠A=x，

∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°，∠A=36°.

【點(diǎn)評(píng)】本題中有較多等腰三角形，利用角度之間的關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，利用三角形內(nèi)角和建立方程解決問題，簡(jiǎn)潔清晰.

例5 （2012·寧波）如圖3，用鄰邊分別為a，b（a

A. b=a B. b=a

C. b=a D. b=a

【解析】設(shè)兩圓圓心分別為B、C，底面圓的半徑為r，連接BC，過點(diǎn)B作矩形短邊的垂線，垂足為A，則BC=a+r，AB=b，AC=a-r，由勾股定理可得

【點(diǎn)評(píng)】本題解題的關(guān)鍵是設(shè)出底面圓半徑r，將兩圓位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，結(jié)合題中已知條件根據(jù)勾股定理建立方程.

三、 統(tǒng)計(jì)概率中的方程思想

例6 （2011·廣安）在一只不透明的口袋中放入只有顏色不同的白球6個(gè)，黑球4個(gè)，黃球n個(gè)，攪勻后隨機(jī)從中摸取一個(gè)恰好是黃球的概率為，則放入的黃球總數(shù)n=______.

【解析】因?yàn)槊近S球的概率為，所以=，解得n=5.

例7 下表是某公司20名員工某月的工資統(tǒng)計(jì)表：

（1） 若這20名員工的平均工資為1 820元，求x和y的值；

（2） 在（1）的條件下，若這20名員工的該月工資的眾數(shù)為a，中位數(shù)為b，求a和b.

【解析】（1） 由題意可得

x+y+8=20，

1 800x+1 900y+1 600+8 500+4 000=36 400.

解得x=5，

y=7.

（2） 略.

【點(diǎn)評(píng)】利用方程思想表示數(shù)量之間的關(guān)系，在求解概率統(tǒng)計(jì)問題中往往可以發(fā)揮巨大作用.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）