好題共賞

張希麟

閑暇之時，翻翻試題集，找兩條有新意的題目，動動腦，動動筆，問題解決后的快樂，找到好解法后的激動，尤其是久攻無果，靈機一動，豁然開朗，更是讓人刻骨銘心，這就是學(xué)習(xí)的一種樂趣. 我在這里舉幾個例子和大家一同來探討.

例1 （2013·哈爾濱）如圖1，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為______.

【難點剖析】1. 假設(shè)AB=x，則AC=，尋找關(guān)于x的方程將可能出現(xiàn)根式.

2. 求sin∠BOE的值，目前圖中∠BOE不在直角三角形中.

【解法探索】由△AOE∽△ABC，且S△AOE=5，利用相似三角形面積比等于相似比的平方，難點可破解. 設(shè)AB=x，得=，解得x=8.

構(gòu)造直角三角形，過B作BF⊥AC，則BF∥OE，所以∠BOE=∠OBF，因此sin∠BOE=sin∠OBF=，轉(zhuǎn)求OF，至此，問題已不難解決.

【解題體會】1. 緊扣題意，靈活運用相似三角形的性質(zhì).

2. 學(xué)會轉(zhuǎn)化. 本題中通過構(gòu)造直角三角形，將求∠BOE的正弦轉(zhuǎn)化為求∠OBF的正弦，比較直觀、簡明.

例2 （2013·重慶）如圖2，菱形OABC的頂點O是坐標原點，頂點A在x軸的正半軸上，頂點B、C均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°，點D在邊AB上，將四邊形ODBC沿直線OD翻折，使點B和點C分別落在這個坐標平面內(nèi)的點B′和點C′處，且∠C′DB′=60°. 若某反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點B′，則這個反比例函數(shù)的解析式為______.

【難點剖析】圖中沒有出現(xiàn)D，D在AB上給人的感覺D是AB上的任意一點，似乎問題變得很復(fù)雜.

【解法探索】不妨先畫個草圖（圖3），實地去探尋一下. 由于翻折后的圖形中∠C′DB′=60°，注意到∠B′=∠B=60°，所以△C′DB′為等邊三角形. 邊長C′B′=2，又BD=B′D=2，得到D與A重合. 解略.

【解題體會】不為假象迷惑，堅持實地探求. 充分利用約束條件，例如本題中的∠C′DB′=60°來確定點的位置，這就是本題的新意. 上海市2012年中考試題：如圖4，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，∠A=30°，點D為邊AC上的一動點，將△ADB沿直線BD翻折，點A落在點E處，如果DE⊥AD，那么DE=______. 題中提法“點D為AC上的一個動點”更易讓人困惑. 若緊扣DE⊥AD，畫出翻折后的圖形，問題將迎刃而解.

例3 （2013·天津市）在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0），點B（0，4），點E在OB上，且∠OAE=∠OBA.

（1） 如圖5，求點E的坐標；

（2） 如圖6，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′，①設(shè)AA′=m，其中0

由△AOE∽△BOA，易得E（0，1）. 而A′B2+BE′2=（2-m）2+42+m2+32，化簡得A′B2+BE′2=2（m-1）2+27，當m=1時，A′B2+BE′2有最小值27.

我們重點研究當A′B+BE′取得最小值時，求E′的坐標.

【難點剖析】B是一個定點，而A′、E′是兩個動點，此類問題無一般性的結(jié)論可利用.

【解法探索】我們比較熟悉的極值問題是：在直線l的同側(cè)有兩個定點A、B，P是l上的一個動點，求AP+BP的最小值. 它是怎樣解決的呢？如圖7，作A關(guān)于l的對稱點A′，連接PA′，則PA′+PB≥A′B，當A′、P、B三點共線時，PA′+PB有最小值，這個最小值就是PA+PB的最小值. 雖然情況發(fā)生了變化，現(xiàn)在A′、E′都是動點，但巧用對稱不妨再試試！如圖8，B（0，4），過B點平行于x軸的直線為y=4，作A′關(guān)于直線y=4的對稱點A″，有A′B+BE′=A″B+BE′≥A″E′，似乎結(jié)論呼之欲出，最小值是A″E，對嗎？注意到在PA′+PB≥A′B中，A′、B是兩個定點，因此A′B是個定值.

【難點剖析】由于A″、E′都是動點，A″E′能是個定值嗎？

【解題體會】注意到在圖形平移的過程中，E′與A″平移的速度相同，它們通過的路程相等，平移過程中A″E′掃過的區(qū)域是一個平行四邊形，所以A″E′保持不變，即A″E′是一個定值. 設(shè)A點關(guān)于y=4的對稱點是A1，那么這個定值就是A1E.

這就是說，當A″、B、E′三點共線時，A′B+BE′取得最小值. 由=得=，解得m=，所以E′

，1. 如果要求最小值，你會做嗎？

【解題體會】研究問題時要忌死搬硬套，形式的模仿，要掌握方法的實質(zhì)，才能不斷去探求新的知識.

例4 （2012·福州）如圖10，過點C（1，2）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于A、B兩點. 若反比例函數(shù)y=（x>0）的圖像與△ABC有公共點，則k的取值范圍是（ ）.

A. 2≤k≤9 B. 2≤k≤8

C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8

我們知道k=xy，這就是說k值等于圖像上的點的橫坐標與縱坐標的乘積. 本題是選擇題，采用特殊值法不難解決. 由于C（1，2），k1=1×2=2，排除了D；當y=2時，代入y=-x+6，得x=4，所以A（4，2），k2=8，排除了C.結(jié)果是A還是B呢？線段AB：y=-x+6（1≤x≤4），當x=3時，y=-3+6=3，點（3，3）在線段AB上，此時k3=9，所以本題應(yīng)選A.

【提出問題】如果本題以解答題的形式出現(xiàn)，求k的取值范圍，怎樣解呢？

【難點剖析】反比例函數(shù)y=（x>0）的圖像與△ABC有公共點，這里△ABC是一個區(qū)域，可知道x、y的變化范圍是1≤x≤4，2≤y≤5，由于k=xy，似乎2≤k≤20，而這是錯誤的！因為點（4，5）不在△ABC中，怎么辦呢？

【解法探索】先固定x的值，對于直線x=a（1≤a≤4）被△ABC所截得的線段上的點，橫坐標恒為a，直線x=a與線段AB的交點的縱坐標最大，與線段AC的交點的縱坐標最小，此時kmax=a（-a+6），kmin=2a. 當x值變化時，k在△ABC這個區(qū)域上取得的最大值就轉(zhuǎn)化為線段AB上的點相應(yīng)的k的最大值，這就好辦了. 因為k=a（-a+6）=-a2+6a=-（a-3）2+9，所以當a=3時，k有最大值9.

同樣k在△ABC這個區(qū)域上取得的最小值就轉(zhuǎn)化為線段AC上的點相應(yīng)的k的最小值. 因為k=2a（1≤a≤4），所以當a=1時，k有最小值2，所以k的取值范圍是2≤k≤9.

【解題體會】先固定x的值，求出y變化時k的最大值、最小值，然后變動x，在最大（?。┲导现姓页鲎畲螅ㄐ。┲?，這種方法叫做逐步調(diào)整法. 舉個生活中的例子：找初三（5）班個子最高、最矮的. 可以這樣做：先分別找出四個小組中個子最高、最矮的，再從四個組個子最高（矮）的人中找出最高（矮）的，這就是全班最高（矮）的. 似乎很抽象的數(shù)學(xué)方法，在生活實際中可找到它們的原型，關(guān)鍵在于善于思考.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學(xué)）

閑暇之時，翻翻試題集，找兩條有新意的題目，動動腦，動動筆，問題解決后的快樂，找到好解法后的激動，尤其是久攻無果，靈機一動，豁然開朗，更是讓人刻骨銘心，這就是學(xué)習(xí)的一種樂趣. 我在這里舉幾個例子和大家一同來探討.

例1 （2013·哈爾濱）如圖1，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為______.

【難點剖析】1. 假設(shè)AB=x，則AC=，尋找關(guān)于x的方程將可能出現(xiàn)根式.

2. 求sin∠BOE的值，目前圖中∠BOE不在直角三角形中.

【解法探索】由△AOE∽△ABC，且S△AOE=5，利用相似三角形面積比等于相似比的平方，難點可破解. 設(shè)AB=x，得=，解得x=8.

構(gòu)造直角三角形，過B作BF⊥AC，則BF∥OE，所以∠BOE=∠OBF，因此sin∠BOE=sin∠OBF=，轉(zhuǎn)求OF，至此，問題已不難解決.

【解題體會】1. 緊扣題意，靈活運用相似三角形的性質(zhì).

2. 學(xué)會轉(zhuǎn)化. 本題中通過構(gòu)造直角三角形，將求∠BOE的正弦轉(zhuǎn)化為求∠OBF的正弦，比較直觀、簡明.

例2 （2013·重慶）如圖2，菱形OABC的頂點O是坐標原點，頂點A在x軸的正半軸上，頂點B、C均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°，點D在邊AB上，將四邊形ODBC沿直線OD翻折，使點B和點C分別落在這個坐標平面內(nèi)的點B′和點C′處，且∠C′DB′=60°. 若某反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點B′，則這個反比例函數(shù)的解析式為______.

【難點剖析】圖中沒有出現(xiàn)D，D在AB上給人的感覺D是AB上的任意一點，似乎問題變得很復(fù)雜.

【解法探索】不妨先畫個草圖（圖3），實地去探尋一下. 由于翻折后的圖形中∠C′DB′=60°，注意到∠B′=∠B=60°，所以△C′DB′為等邊三角形. 邊長C′B′=2，又BD=B′D=2，得到D與A重合. 解略.

【解題體會】不為假象迷惑，堅持實地探求. 充分利用約束條件，例如本題中的∠C′DB′=60°來確定點的位置，這就是本題的新意. 上海市2012年中考試題：如圖4，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，∠A=30°，點D為邊AC上的一動點，將△ADB沿直線BD翻折，點A落在點E處，如果DE⊥AD，那么DE=______. 題中提法“點D為AC上的一個動點”更易讓人困惑. 若緊扣DE⊥AD，畫出翻折后的圖形，問題將迎刃而解.

例3 （2013·天津市）在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0），點B（0，4），點E在OB上，且∠OAE=∠OBA.

（1） 如圖5，求點E的坐標；

（2） 如圖6，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′，①設(shè)AA′=m，其中0

由△AOE∽△BOA，易得E（0，1）. 而A′B2+BE′2=（2-m）2+42+m2+32，化簡得A′B2+BE′2=2（m-1）2+27，當m=1時，A′B2+BE′2有最小值27.

我們重點研究當A′B+BE′取得最小值時，求E′的坐標.

【難點剖析】B是一個定點，而A′、E′是兩個動點，此類問題無一般性的結(jié)論可利用.

【解法探索】我們比較熟悉的極值問題是：在直線l的同側(cè)有兩個定點A、B，P是l上的一個動點，求AP+BP的最小值. 它是怎樣解決的呢？如圖7，作A關(guān)于l的對稱點A′，連接PA′，則PA′+PB≥A′B，當A′、P、B三點共線時，PA′+PB有最小值，這個最小值就是PA+PB的最小值. 雖然情況發(fā)生了變化，現(xiàn)在A′、E′都是動點，但巧用對稱不妨再試試！如圖8，B（0，4），過B點平行于x軸的直線為y=4，作A′關(guān)于直線y=4的對稱點A″，有A′B+BE′=A″B+BE′≥A″E′，似乎結(jié)論呼之欲出，最小值是A″E，對嗎？注意到在PA′+PB≥A′B中，A′、B是兩個定點，因此A′B是個定值.

【難點剖析】由于A″、E′都是動點，A″E′能是個定值嗎？

【解題體會】注意到在圖形平移的過程中，E′與A″平移的速度相同，它們通過的路程相等，平移過程中A″E′掃過的區(qū)域是一個平行四邊形，所以A″E′保持不變，即A″E′是一個定值. 設(shè)A點關(guān)于y=4的對稱點是A1，那么這個定值就是A1E.

這就是說，當A″、B、E′三點共線時，A′B+BE′取得最小值. 由=得=，解得m=，所以E′

，1. 如果要求最小值，你會做嗎？

【解題體會】研究問題時要忌死搬硬套，形式的模仿，要掌握方法的實質(zhì)，才能不斷去探求新的知識.

例4 （2012·福州）如圖10，過點C（1，2）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于A、B兩點. 若反比例函數(shù)y=（x>0）的圖像與△ABC有公共點，則k的取值范圍是（ ）.

A. 2≤k≤9 B. 2≤k≤8

C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8

我們知道k=xy，這就是說k值等于圖像上的點的橫坐標與縱坐標的乘積. 本題是選擇題，采用特殊值法不難解決. 由于C（1，2），k1=1×2=2，排除了D；當y=2時，代入y=-x+6，得x=4，所以A（4，2），k2=8，排除了C.結(jié)果是A還是B呢？線段AB：y=-x+6（1≤x≤4），當x=3時，y=-3+6=3，點（3，3）在線段AB上，此時k3=9，所以本題應(yīng)選A.

【提出問題】如果本題以解答題的形式出現(xiàn)，求k的取值范圍，怎樣解呢？

【難點剖析】反比例函數(shù)y=（x>0）的圖像與△ABC有公共點，這里△ABC是一個區(qū)域，可知道x、y的變化范圍是1≤x≤4，2≤y≤5，由于k=xy，似乎2≤k≤20，而這是錯誤的！因為點（4，5）不在△ABC中，怎么辦呢？

【解法探索】先固定x的值，對于直線x=a（1≤a≤4）被△ABC所截得的線段上的點，橫坐標恒為a，直線x=a與線段AB的交點的縱坐標最大，與線段AC的交點的縱坐標最小，此時kmax=a（-a+6），kmin=2a. 當x值變化時，k在△ABC這個區(qū)域上取得的最大值就轉(zhuǎn)化為線段AB上的點相應(yīng)的k的最大值，這就好辦了. 因為k=a（-a+6）=-a2+6a=-（a-3）2+9，所以當a=3時，k有最大值9.

同樣k在△ABC這個區(qū)域上取得的最小值就轉(zhuǎn)化為線段AC上的點相應(yīng)的k的最小值. 因為k=2a（1≤a≤4），所以當a=1時，k有最小值2，所以k的取值范圍是2≤k≤9.

【解題體會】先固定x的值，求出y變化時k的最大值、最小值，然后變動x，在最大（小）值集合中找出最大（?。┲担@種方法叫做逐步調(diào)整法. 舉個生活中的例子：找初三（5）班個子最高、最矮的. 可以這樣做：先分別找出四個小組中個子最高、最矮的，再從四個組個子最高（矮）的人中找出最高（矮）的，這就是全班最高（矮）的. 似乎很抽象的數(shù)學(xué)方法，在生活實際中可找到它們的原型，關(guān)鍵在于善于思考.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學(xué)）

閑暇之時，翻翻試題集，找兩條有新意的題目，動動腦，動動筆，問題解決后的快樂，找到好解法后的激動，尤其是久攻無果，靈機一動，豁然開朗，更是讓人刻骨銘心，這就是學(xué)習(xí)的一種樂趣. 我在這里舉幾個例子和大家一同來探討.

例1 （2013·哈爾濱）如圖1，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為______.

【難點剖析】1. 假設(shè)AB=x，則AC=，尋找關(guān)于x的方程將可能出現(xiàn)根式.

2. 求sin∠BOE的值，目前圖中∠BOE不在直角三角形中.

【解法探索】由△AOE∽△ABC，且S△AOE=5，利用相似三角形面積比等于相似比的平方，難點可破解. 設(shè)AB=x，得=，解得x=8.

構(gòu)造直角三角形，過B作BF⊥AC，則BF∥OE，所以∠BOE=∠OBF，因此sin∠BOE=sin∠OBF=，轉(zhuǎn)求OF，至此，問題已不難解決.

【解題體會】1. 緊扣題意，靈活運用相似三角形的性質(zhì).

2. 學(xué)會轉(zhuǎn)化. 本題中通過構(gòu)造直角三角形，將求∠BOE的正弦轉(zhuǎn)化為求∠OBF的正弦，比較直觀、簡明.

例2 （2013·重慶）如圖2，菱形OABC的頂點O是坐標原點，頂點A在x軸的正半軸上，頂點B、C均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°，點D在邊AB上，將四邊形ODBC沿直線OD翻折，使點B和點C分別落在這個坐標平面內(nèi)的點B′和點C′處，且∠C′DB′=60°. 若某反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點B′，則這個反比例函數(shù)的解析式為______.

【難點剖析】圖中沒有出現(xiàn)D，D在AB上給人的感覺D是AB上的任意一點，似乎問題變得很復(fù)雜.

【解法探索】不妨先畫個草圖（圖3），實地去探尋一下. 由于翻折后的圖形中∠C′DB′=60°，注意到∠B′=∠B=60°，所以△C′DB′為等邊三角形. 邊長C′B′=2，又BD=B′D=2，得到D與A重合. 解略.

【解題體會】不為假象迷惑，堅持實地探求. 充分利用約束條件，例如本題中的∠C′DB′=60°來確定點的位置，這就是本題的新意. 上海市2012年中考試題：如圖4，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，∠A=30°，點D為邊AC上的一動點，將△ADB沿直線BD翻折，點A落在點E處，如果DE⊥AD，那么DE=______. 題中提法“點D為AC上的一個動點”更易讓人困惑. 若緊扣DE⊥AD，畫出翻折后的圖形，問題將迎刃而解.

例3 （2013·天津市）在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0），點B（0，4），點E在OB上，且∠OAE=∠OBA.

（1） 如圖5，求點E的坐標；

（2） 如圖6，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′，①設(shè)AA′=m，其中0

由△AOE∽△BOA，易得E（0，1）. 而A′B2+BE′2=（2-m）2+42+m2+32，化簡得A′B2+BE′2=2（m-1）2+27，當m=1時，A′B2+BE′2有最小值27.

我們重點研究當A′B+BE′取得最小值時，求E′的坐標.

【難點剖析】B是一個定點，而A′、E′是兩個動點，此類問題無一般性的結(jié)論可利用.

【解法探索】我們比較熟悉的極值問題是：在直線l的同側(cè)有兩個定點A、B，P是l上的一個動點，求AP+BP的最小值. 它是怎樣解決的呢？如圖7，作A關(guān)于l的對稱點A′，連接PA′，則PA′+PB≥A′B，當A′、P、B三點共線時，PA′+PB有最小值，這個最小值就是PA+PB的最小值. 雖然情況發(fā)生了變化，現(xiàn)在A′、E′都是動點，但巧用對稱不妨再試試！如圖8，B（0，4），過B點平行于x軸的直線為y=4，作A′關(guān)于直線y=4的對稱點A″，有A′B+BE′=A″B+BE′≥A″E′，似乎結(jié)論呼之欲出，最小值是A″E，對嗎？注意到在PA′+PB≥A′B中，A′、B是兩個定點，因此A′B是個定值.

【難點剖析】由于A″、E′都是動點，A″E′能是個定值嗎？

【解題體會】注意到在圖形平移的過程中，E′與A″平移的速度相同，它們通過的路程相等，平移過程中A″E′掃過的區(qū)域是一個平行四邊形，所以A″E′保持不變，即A″E′是一個定值. 設(shè)A點關(guān)于y=4的對稱點是A1，那么這個定值就是A1E.

這就是說，當A″、B、E′三點共線時，A′B+BE′取得最小值. 由=得=，解得m=，所以E′

，1. 如果要求最小值，你會做嗎？

【解題體會】研究問題時要忌死搬硬套，形式的模仿，要掌握方法的實質(zhì)，才能不斷去探求新的知識.

例4 （2012·福州）如圖10，過點C（1，2）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于A、B兩點. 若反比例函數(shù)y=（x>0）的圖像與△ABC有公共點，則k的取值范圍是（ ）.

A. 2≤k≤9 B. 2≤k≤8

C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8

我們知道k=xy，這就是說k值等于圖像上的點的橫坐標與縱坐標的乘積. 本題是選擇題，采用特殊值法不難解決. 由于C（1，2），k1=1×2=2，排除了D；當y=2時，代入y=-x+6，得x=4，所以A（4，2），k2=8，排除了C.結(jié)果是A還是B呢？線段AB：y=-x+6（1≤x≤4），當x=3時，y=-3+6=3，點（3，3）在線段AB上，此時k3=9，所以本題應(yīng)選A.

【提出問題】如果本題以解答題的形式出現(xiàn)，求k的取值范圍，怎樣解呢？

【難點剖析】反比例函數(shù)y=（x>0）的圖像與△ABC有公共點，這里△ABC是一個區(qū)域，可知道x、y的變化范圍是1≤x≤4，2≤y≤5，由于k=xy，似乎2≤k≤20，而這是錯誤的！因為點（4，5）不在△ABC中，怎么辦呢？

【解法探索】先固定x的值，對于直線x=a（1≤a≤4）被△ABC所截得的線段上的點，橫坐標恒為a，直線x=a與線段AB的交點的縱坐標最大，與線段AC的交點的縱坐標最小，此時kmax=a（-a+6），kmin=2a. 當x值變化時，k在△ABC這個區(qū)域上取得的最大值就轉(zhuǎn)化為線段AB上的點相應(yīng)的k的最大值，這就好辦了. 因為k=a（-a+6）=-a2+6a=-（a-3）2+9，所以當a=3時，k有最大值9.

同樣k在△ABC這個區(qū)域上取得的最小值就轉(zhuǎn)化為線段AC上的點相應(yīng)的k的最小值. 因為k=2a（1≤a≤4），所以當a=1時，k有最小值2，所以k的取值范圍是2≤k≤9.

【解題體會】先固定x的值，求出y變化時k的最大值、最小值，然后變動x，在最大（?。┲导现姓页鲎畲螅ㄐ。┲?，這種方法叫做逐步調(diào)整法. 舉個生活中的例子：找初三（5）班個子最高、最矮的. 可以這樣做：先分別找出四個小組中個子最高、最矮的，再從四個組個子最高（矮）的人中找出最高（矮）的，這就是全班最高（矮）的. 似乎很抽象的數(shù)學(xué)方法，在生活實際中可找到它們的原型，關(guān)鍵在于善于思考.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學(xué)）