初中數(shù)學(xué)“圖形變換”型問題的解決途徑研究

王占康

摘 要： 圖形變換是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是近年來中考的熱點(diǎn)問題，多數(shù)學(xué)生對(duì)此類問題存在較大的困惑，因此作者有了著手研究解決這個(gè)困惑的動(dòng)機(jī)，目的是積累教學(xué)圖形變換問題的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而找到解決此類問題的有效途徑.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 圖形變換 問題解決 案例分析

在知識(shí)發(fā)展過程中，教與學(xué)是解決矛盾的最常見的途徑，為使教學(xué)成為解決矛盾的有效途徑，一線教師應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，不斷充電，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，尋找?guī)椭鷮W(xué)生解決問題的有效途徑.頻繁出現(xiàn)的“圖形變換”的試題，讓我們欣喜地看到了龍巖初中教育的進(jìn)步，時(shí)代提出了圖形研究的方向：由過去的靜態(tài)圖形向現(xiàn)在的動(dòng)態(tài)圖形的轉(zhuǎn)變，改變以往學(xué)習(xí)圖形的方式，學(xué)習(xí)更有用的數(shù)學(xué)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科的作用，服務(wù)于社會(huì)的各行各業(yè).

在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常要用到變換的方法.圖形變換就是幾何圖形在平面上滿足某種條件的運(yùn)動(dòng).運(yùn)用圖形變換將分散的點(diǎn)、線段、角等已知圖形轉(zhuǎn)移到恰當(dāng)?shù)奈恢?，從而使分散的條件都集中在某個(gè)基本圖形中，建立起某種數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而使問題得以轉(zhuǎn)化解決.

一、圖形變換型問題教與學(xué)的現(xiàn)狀分析

雖然圖形變換的問題學(xué)生早有接觸，但是經(jīng)過問題同屬一類專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練后，老師和學(xué)生仍然存在很大的困惑，題目千變?nèi)f化，學(xué)生難以突破，原因何在？

教師對(duì)圖形變換的思想方法理解不到位：大多數(shù)教師只停留在圖形變換的定義，性質(zhì)及簡單的圖形變換的作圖或圖形的欣賞層面上.圖形變換包含兩種非常重要的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想.這一點(diǎn)為許多教師所忽視.若老師缺乏對(duì)圖形變換的深入研究，則一批學(xué)習(xí)尖子對(duì)這塊知識(shí)的思想方法會(huì)是一塊空白，導(dǎo)致在實(shí)踐中看不到學(xué)生圖形變換思想方法的能力體現(xiàn)，因此在教學(xué)中圖形變換問題成了老師和學(xué)生的數(shù)學(xué)陰影.

學(xué)生對(duì)圖形變換的思想方法理解的差異：每個(gè)學(xué)生的生活閱歷，理解能力和已有知識(shí)水平的差異導(dǎo)致學(xué)生對(duì)圖形變換思想方法的學(xué)習(xí)效果也有差異.在實(shí)際教學(xué)中要求的梯度較大，導(dǎo)致不同層面的學(xué)生理解和應(yīng)用層次差異明顯，有些學(xué)生對(duì)基本的定義理解很吃力，但有部分學(xué)生對(duì)問題產(chǎn)生了極其濃厚的興趣，在原有扎實(shí)的空間與圖形論證功底的前提下，很快地實(shí)現(xiàn)了圖形變換思想方法的突破，具備解決圖形變換的綜合題的能力.

二、圖形變換型問題的解決途徑

初中數(shù)學(xué)里討論的圖形變換包含全等變換和相似變換.全等變換主要有平移、翻折、旋轉(zhuǎn).相似變換主要研究位似.圖形變換型問題的解決途徑是需要我們通過實(shí)驗(yàn)、操作、觀察和想象的方法分析運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，在圖形的運(yùn)動(dòng)變化過程中找到不變量，建立數(shù)量關(guān)系然后解決問題.

問題：（1）求△ABC的面積；

（2）求矩形DEFG的邊DE與EF的長；

（3）若矩形DEFG從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍.

解決途徑分析：

（1）夯實(shí)平移變換的基礎(chǔ)理論：

平移是指在同一平面內(nèi)，將一個(gè)圖形整體按照某個(gè)直線方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡稱平移.

平移的性質(zhì)：

①經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等；

②平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向（平移前后的兩個(gè)圖形是全等形）；

③平移是由方向和距離決定的。

（2）通過實(shí)驗(yàn)、操作、觀察和想象的方法分析運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)：

引導(dǎo)學(xué)生制作一個(gè)與問題中全等的矩形，最好紙質(zhì)透明（以便在平移的實(shí)驗(yàn)過程中觀察），隨后讓學(xué)生自行操作，或同伴合作操作，按題目的要求進(jìn)行平移，注意觀察在平移過程中矩形與△ABC重疊的圖形形狀的變化，分析平移的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)：在12秒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間里矩形向左平移了12個(gè)單位，G點(diǎn)從B點(diǎn)開始向終點(diǎn)A停止；平移過程中重疊的圖形依次為五邊形，直角梯形，直角三角形.

⑶在圖形的運(yùn)動(dòng)變化過程中找到不變量，建立數(shù)量關(guān)系然后解決問題：

②難點(diǎn)分析：在x軸上有6個(gè)點(diǎn)，共15條線段，將這15條線段的長度一一落實(shí).通過這些訓(xùn)練，學(xué)生更深一步理解了這個(gè)模型.從而消除了學(xué)生的畏難情緒，排除了心理障礙.在弄清這些線段的前提下，再探究相應(yīng)線段上的高，可以用三角函數(shù)或相似形處理，因此得到了計(jì)算各種情況圖形面積所需的線段長度.

③問題拓展：在計(jì)算重疊面積時(shí)進(jìn)一步確認(rèn)面積計(jì)算的策略：直接計(jì)算與間接計(jì)算，并比較方法優(yōu)劣.矩形EFGD在向左平移疊過程中與△ABC不重疊的部分面積計(jì)算方法？

解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們?cè)趲缀螁栴}中，當(dāng)題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時(shí)，我們可以將圖形作一定的變換，這樣有利于發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，抓住問題的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，使問題得以突破，找到滿意的答案.圖形變換是一種重要的思想方法，它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)處理孤立的、離散的問題的思想，很好地領(lǐng)會(huì)這種解題的思想實(shí)質(zhì)，并能準(zhǔn)確合理地使用，在解題中會(huì)收到奇效，也將有效提高思維品質(zhì).

總之，平移，旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱，位似等圖形變換是空間思維能力訓(xùn)練的最佳體操，運(yùn)用它思考圖形問題會(huì)使我們體會(huì)到思維的敏捷，感悟到數(shù)學(xué)的優(yōu)美.作為老師，我們應(yīng)該將圖形變換的思想方法貫穿于日常的教學(xué)中，有目的地引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)一類一類圖形變換進(jìn)行歸類研究，把握好新舊知識(shí)之間的聯(lián)系與遷移，應(yīng)用好圖形變換的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)具體與抽象的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生的多元與創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，順應(yīng)時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求.

參考文獻(xiàn)：

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