橢圓中“斜商”定值一類題的一個性質(zhì)

張順

【摘要】橢圓中定值問題一直以來深受高考命題人的青睞，因為在動點動線的變化之中，某些值竟然是不變的，“變”中存在“不變”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，體現(xiàn)了哲學(xué)上的“動”與“靜”的辯證統(tǒng)一.一般的橢圓定值問題，基本上是設(shè)點或是設(shè)線，將所要求的量用所設(shè)的參數(shù)來表示，最后證明該量不受參數(shù)的影響，從而得到這個量為定值.但是代數(shù)解法相對計算煩瑣，本文嘗試從幾何的角度出發(fā)，通過仿射變換，將橢圓仿射為圓來挖掘圖形的本質(zhì)特征.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;定值;仿射變換

一、問題提出

2018屆揚州中學(xué)高三10月月考數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)了這樣一道解析幾何題：

如圖1所示，已知橢圓C：x2/4+y2/3=1的右焦點F（1，0），左、右頂點分別為A，B，直線l過F點且與橢圓C交于P，Q兩點（點P在x軸上方），直線直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2.是否存在常數(shù)λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值;若不存在，請說明理由.

筆者通過仿射變換，將橢圓仿射為圓，再研究圓中的情形得到了更為一般和簡潔的結(jié)論，而根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，這些結(jié)論在橢圓之中，同樣是成立的，這就具有了一般性的意義.

二、改造問題

通過將橢圓仿射“還圓”，我們嘗試解決這樣一個問題：如圖2所示，圓O是以原點為圓心半徑為R的一個圓，圓O與x軸分別交于A，B兩點，在圓O內(nèi)的x軸上有一定點C，過點C作一直線分別交圓O為P，Q兩點，連接線段AP，BQ，證明kAP∶kBQ為定值.

證明過點C作AP的垂線，垂足為M，如圖3所示，則不難得到kAPkBQ=tan∠PACtan∠ABQ=tan∠PACtan∠APC=PMAM=BCAC，

再通過仿射變換的性質(zhì)，可以立即得到在橢圓之中也存在這個性質(zhì)，也就是kAPkBQ=BFAF.

三、問題再探

通過剛剛的解題體驗，我們不得不再追問一下，如果A，B兩點不再是橢圓的端點，而是其長軸上的任意兩個定點是否還有以上的結(jié)論，于是我們便見到了如下的試題：圖4如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=k1x與橢圓E：x29+y24=1交于A，B兩點（點A在第一象限），過點F的直線AF，BF分別交橢圓E于點C，D.直線CD交x軸于點G.設(shè)直線CD的斜率為k2，求證：k2k1為定值.

首先證明這樣一個事實：上題中直線CD過一個定點，而且這個定點就是直線CD與x軸的交點G.

為了使問題稍顯簡單，還是先證明在圓中有這樣的結(jié)論：如圖5所示，圓O是以原點為圓心半徑為R的一個圓，交x軸于點H，I.E，F(xiàn)為x軸上兩個定點，過點E作直線與圓交于A，B兩點，分別連接AF，BF并延長且與圓交于D，C兩點，求證直線CD過定點.

為了證明上述結(jié)論，我們先介紹一下蝴蝶定理的推廣定理：坎迪定理

如圖6所示，過圓的弦AB上任意一點M引任意兩條弦CD和EF，連接ED，CF交AB于P，Q，若AM=a，BM=b，PM=x，QM=y則有1a-1b=1x-1y，特別地，a=b時即蝴蝶定理[1].

利用坎迪定理，不難得到1HF-1IF=1EF-1GF，而題目中可以知道點HF，IF，EF均為定長，那么FG必然為定長，于是點G即為定點.不妨假設(shè)E，F(xiàn)，G三定點坐標(biāo)分別為（e，0），（f，0）（g，0），根據(jù)坎迪定理可以得到1R+f-1R-f=1f-e-1g-f，進一步可以得到g=2R2f-e（R2+f2）R2+f2-2ef，這個結(jié)論與張培強老師在《幾何畫板助力橢圓中的蝴蝶翻飛》一文中得到的結(jié)論是一致的，不同是的是張老師采取的解析的做法，而本文則采用平面幾何知識證明.另外張老師在文中得到了這樣的結(jié)論：kABkCD=R2-f2R2+f2-2ef.[2]

這個結(jié)論記憶起來很不方便，通過第一道例題我們類比歸納思想，大膽猜測kABkCD=FGEG，

FGEG=g-ff-e=2R2f-e（R2+g2）R2+f2-2ef-ff-e=R2-f2R2+f2-2ef=kABkCD.

有了以上的結(jié)論，再回顧第二個問題就不難看出k2k1=OFFG，由坎迪定理13-5-13+5=1GF-15算出GF=257，從而k2k1=OFFG=5257=72.

四、問題存疑

在解決第二個問題kABkCD=FGEG的過程中，先是利用了張培強老師的解析證法得到的一個結(jié)論kABkCD=R2-f2R2+f2-2ef，再說明FGEG=R2-f2R2+f2-2ef，從而得到結(jié)論，那么是否能用第一個問題幾何的證明方法直接證明這個結(jié)論？筆者還沒能得到好的幾何證法！希望各位老師同行能夠不惜賜教！

【參考文獻】

[1]段惠民，饒慶生.坎迪定理在圓錐曲線上的推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2007（3）：15.

[2]張培強.幾何畫板助力橢圓中的蝴蝶翻飛[J].數(shù)學(xué)之友，2017（12）：80.