數(shù)學(xué)教學(xué)中常見錯(cuò)例分析

易嵐

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中常見錯(cuò)例分析是初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程的一個(gè)重要組成部分，本文通過平時(shí)的教學(xué)總結(jié)，悟出了初中階段常見錯(cuò)例分析的一些對(duì)策。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；運(yùn)算能力；思維能力

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）15-389-02

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本要求，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心，教好數(shù)學(xué)概念是提高中學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。

在教學(xué)中，學(xué)生在數(shù)學(xué)作業(yè)中出現(xiàn)的許多錯(cuò)誤是因?yàn)閷?duì)概念的內(nèi)涵、外延、表達(dá)、敘述不清楚，理解不透徹、變式不夠完全，沒有掌握住概念中本質(zhì)的內(nèi)容，沒有對(duì)其中的關(guān)鍵詞句的含義真正理解而產(chǎn)生的。概念教學(xué)至關(guān)重要，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用。因此，有必要對(duì)概念中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，從而不斷積累經(jīng)驗(yàn)，鞭策不足。下面就以教學(xué)中學(xué)生作業(yè)里的錯(cuò)誤作淺顯分析：

一、《四邊形》中常見錯(cuò)例分析

在《四邊形》這一章的測(cè)試題中，常有以下類型的選擇題（判斷題）

1、下列給出的四邊形條件中，能判定其為平行四邊形的是（ ）。

A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行；

B、一組對(duì)邊平行，一組鄰角互補(bǔ)；

C、一組對(duì)邊相等，且兩條對(duì)角線相等；

D、一組對(duì)角相等，一組對(duì)邊平行。

2、已知命題（1）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（2）對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；（3）對(duì)角線互相垂直相等的四邊形是正方形；（4）內(nèi)角度數(shù)比為1：1：1：1的四邊形是正方形。

題2中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)

第1、2題的正確答案分別是D和A。

這兩道選擇題均屬于基本概念辨析，難度不大，但正確率小，我對(duì)錯(cuò)因作如下分析：

1、忽視判定一個(gè)圖形所必要的獨(dú)立條件

由定義知，判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有以下幾種方法：（1）一組對(duì)邊分別平行且相等；（2）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形；（3）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形等。我們發(fā)現(xiàn)每種判定中都含有兩個(gè)獨(dú)立的條件，一是一組對(duì)邊平行且相等，二是兩組對(duì)邊分別平行。

判定一個(gè)四邊形是矩形有三種方法：（1）有三個(gè)角是直角的四邊形；（2）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（3）兩條對(duì)角線相等的平行四邊形。每一種判定中包含有三個(gè)獨(dú)立條件；（2）中是“有一個(gè)角是直角”和“平行四邊形中對(duì)邊分別相等，分別平行”共三個(gè)條件。

判定一個(gè)四邊形是菱形方法中如（1）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形，（2）有一組鄰邊相等的平行四邊形。這里每組方法中都含有三個(gè)獨(dú)立的條件：一是“對(duì)角線互相垂直”，“有一組鄰邊相等”，二是“平行四邊形”中又有兩個(gè)條件。

判定一個(gè)四邊形是正方形的方法有：（1）有一組鄰邊相等的矩形；（2）有一個(gè)角是直角的菱形。每種方法中的條件都有四個(gè)：一是有一組鄰邊相等；二是“矩形”，而矩形中又含有三個(gè)條件，因而說判定一個(gè)四邊形是正方形共需四個(gè)獨(dú)立條件。

而以上各題中如2（1）（2）都只有一個(gè)條件，而2（3）只有兩個(gè)條件，題2（4）中只有三個(gè)條件，比所需要都少了一個(gè)，所以都是假命題。

2、在探求符合題設(shè)條件的圖形時(shí)，思考不周，以偏概全，以特殊代替一般造成錯(cuò)解。

3、混淆了圖形的性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別。以矩形為例對(duì)角線相等是矩形的一個(gè)性質(zhì)，但對(duì)角線相等的四邊形未必是矩形，如果用對(duì)角線相等來判定四邊形是矩形，這是用性質(zhì)定理代替判定定理，混淆了兩者區(qū)別，忽視了矩形是特殊的平行四邊形，首先必須是平行四邊形。同樣正方形是特殊的矩形或菱形，首先必須是矩形或菱形。這是造成題2的四個(gè)假命題錯(cuò)判為真命題的又一原因。

學(xué)習(xí)幾何，必須清晰地感知慨念，分清圖形的性質(zhì)與判定，處理好特殊與一般的關(guān)系。

二、《數(shù)的開方》中常見錯(cuò)例分析

平方根和算術(shù)平方根是《數(shù)的開方》一章的兩個(gè)重要的概念，初學(xué)者往往對(duì)兩個(gè)概念理解不準(zhǔn)確造成各種各樣的錯(cuò)誤，下面舉例說明之：

1、（1）52的平方根是（ ）；（2）（ ）2的平方根是（ ）。

錯(cuò)誤答案是（1）5，（2） 。答案不全，漏掉了其中隱含的另一平方根，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是對(duì)平方根的個(gè)數(shù)沒有搞清，誤認(rèn)為a2的平方根

只有a。而忽視了另一平方根-a。

2、化簡(jiǎn)

錯(cuò)誤答案是 ，評(píng)析：錯(cuò)因是對(duì)“ ”、“ ”、“- ”的涵義沒有搞清楚。一般地若a≥0，則 表示a的平方根， 表示a的算術(shù)平方根； 表示a的負(fù)的平方根，所以正確的答案為 。

3、（3.14 ）2的算術(shù)平方根是（ ）

錯(cuò)誤答案是 。錯(cuò)因在于忽視了算術(shù)平方根的非負(fù)性，而誤認(rèn)為a2算術(shù)平方根是a，事實(shí)上，當(dāng)a≥0時(shí)a2算術(shù)平方根是a，a<0時(shí)a2的算術(shù)平方根是 。正確答案是 （ ）

4、 的算術(shù)平方根是（ ）

錯(cuò)誤答案是25。錯(cuò)誤的原因是沒有仔細(xì)審題，錯(cuò)誤地把題意理解為求625的算術(shù)平方根。實(shí)際上，這道題的涵義是求625的算術(shù)平方根。正確答案是5。

5、判斷（1）有理數(shù)a的算術(shù)平方根是 ；②若a有平方根，b有平方根則 或者 也有平方根

錯(cuò)誤答案是（1）真（2）真。評(píng)析：許多同學(xué)雖然知道負(fù)數(shù)沒有平方根，然而在實(shí)際應(yīng)用中卻常常忽視這一點(diǎn)。（1）由于忽視了a有可能為負(fù)數(shù)而產(chǎn)生錯(cuò)誤，（2）中a、b都有平方根只能判定 ， ，而不能保證 或 。所以 或 也就不一定有平方根了。但如果把（2）的結(jié)果改成則“ab或 、 ”也有平方根是正確的。

6、判斷（1）64的立方根是 ；（2）不論a取什么數(shù) 都有立方根

錯(cuò)誤答案是（1）真（2）假。評(píng)析：產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是受平方根的影響從而產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的看法，事實(shí)上，任何一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根而且只有一個(gè)。

三、其他錯(cuò)例分析

1、在代數(shù)中常有如下之類的填空題

（1）已知2a3n-4bm+2與 2m 6-n是同類項(xiàng)，則m= ，n= 。

（2）若3xa-b-1+7y2a+b=3是二元一次方程。則a= ，b= 。

這兩道題屬于基本概念題，部分同學(xué)做不出或答案不正確，原因：

（1）對(duì)概念的本質(zhì)屬性理解不透徹，沒有明確同類項(xiàng)，二元一次方程所具備的的兩個(gè)條件。學(xué)生由于只看到字母相同，方程中有兩個(gè)未知數(shù)，但字母或未知數(shù)的指數(shù)不是用具體數(shù)表示時(shí)，就感到茫然，不知從何下手。

（2）學(xué)生的逆向思維的思考方法沒有得到足夠的訓(xùn)練。a當(dāng)這兩個(gè)單項(xiàng)式時(shí)b這個(gè)方程是二元一次方程時(shí)，說明它們已經(jīng)具備了兩個(gè)條件。如果是同類項(xiàng)時(shí)，所含字母相同；相同字母的指數(shù)分別相等即 解這兩個(gè)二元一次方程就可。b變式練習(xí)不夠，故在教學(xué)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。

2、已知 2 ，那么 ， 。

往往解不出 的原因在于對(duì)于平方根，絕對(duì)值的涵義理解不夠，事實(shí)上， 2+ 都是非負(fù)數(shù)，而兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為零，只有這兩個(gè)數(shù)都是零時(shí)才可能成立，所以這個(gè)題應(yīng)轉(zhuǎn)化為解

3、如圖，直線 上有A、B、C、D、E點(diǎn)，線段的條數(shù)共有（ ）。

A、4 B、5 C、10 D、13

產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是由于線段之間有重疊部分，數(shù)起來往往較費(fèi)時(shí)且遺漏或重復(fù)。所以對(duì)這類題應(yīng)這樣分析：因?yàn)橐粭l線段有兩個(gè)端點(diǎn)，若以A為線段的一個(gè)端點(diǎn)，則另一端點(diǎn)是B、C、D、E即有線段AB、AD、AE，同樣以B為一個(gè)端點(diǎn)的線段；以C為端點(diǎn)的線段有CD、CE，以D為端點(diǎn)的線段DE，合計(jì)有10條線段。從而我們可以總結(jié)歸納出一個(gè)較簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確的數(shù)線段條數(shù)的方法：只要點(diǎn)的順序從左到右（從右到左）依次數(shù)出就行，即不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)，也不會(huì)遺漏。仿此方法對(duì)下列角的個(gè)數(shù)，對(duì)頂角的對(duì)數(shù)就可以快速地得到正確的結(jié)論。

正如前面所說的，數(shù)學(xué)中對(duì)概念的掌握影響著教學(xué)質(zhì)量。所以，我們?cè)俳虒W(xué)中要不斷分析發(fā)生錯(cuò)誤的原因，尋找克服的途徑，從而總 結(jié)經(jīng)驗(yàn)，以達(dá)到概念教學(xué)的要求：準(zhǔn)確地揭示概念概念的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生深刻理解概念，并能再解答各類問題時(shí)靈活運(yùn)用概念。

參考文獻(xiàn)：

[1] 《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》，2011（3）.

[2] 《數(shù)理天地》，2012（5）.