“碰撞與動量守恒”的層次及教學＊

潘仕恒

（廣州市白云中學 廣東 廣州 510168）

從宏觀小球到微觀粒子的碰撞，在滿足一定的條件下，無不遵循動量守恒這一規(guī)律，作為自然界的基本守恒定律之一，動量守恒定律在物理學中具有很高的地位，在教育部考試中心頒布的《考試大綱》中標識為Ⅱ級內(nèi)容［1］，其重要性不言而喻.

然而，“碰撞與動量守恒”又是高中物理中最具難度的一章，具體表現(xiàn)在如下幾方面：

一是研究對象復(fù)雜（兩個以上），涉及物理量多；

二是物理過程復(fù)雜，物理情境抽象，問題的綜合性強，與所有力學規(guī)律都可建立綜合；

三是數(shù)學應(yīng)用復(fù)雜，有多元（二次）方組的列舉和運算，有數(shù)值解和字母解，部分還涉及矢量（向量）運算法則.

為了幫助學生克服本章學習困難，筆者根據(jù)多年的教學經(jīng)驗和認知規(guī)律，對全章的知識點和能力層次重新組織，建立由淺入深循序漸進的教學路線，下面與讀者共享.

1 教學內(nèi)容的層次分析

任何教學內(nèi)容都有一定的層次，它與知識的地位及教學目標有關(guān).課程標準［2］和《考試大綱》都對“碰撞與動量守恒”有清晰的層次規(guī)定.

課程的內(nèi)容標準為：知道彈性碰撞和非彈性碰撞，理解動量和動量守恒定律，能用動量守恒定律分析一維碰撞；《考試大綱》把它們歸納為兩個層次并標識要求掌握的程度：彈性碰撞和非彈性碰撞（Ⅰ），動量、動量守恒定律及其應(yīng)用（Ⅱ）.標識Ⅰ對應(yīng)于課標 “了解”“知道”“認識”的知識和要求，為第一個層次.標識Ⅱ?qū)?yīng)于課標 “理解”和“應(yīng)用”的知識和要求，為第二個層次.

就教學而言，第一層次屬基礎(chǔ)層次的要求，教學難度不宜大.而第二層次則是更高層次的要求，相應(yīng)的教學有一定的難度.同時，“理解”和“應(yīng)用”仍然具有相對性，如“理解”可分為“初步理解”“一般理解”和“深入理解”，“應(yīng)用”水平也有“簡單應(yīng)用”“綜合應(yīng)用”或“復(fù)雜應(yīng)用”.

為了更好地區(qū)分、把握第二層次，有必要再把它細分為三個等級的要求［3］：

第一級為學生能夠正確理解概念和規(guī)律的含義以及它們在簡單情況下的應(yīng)用，問題難度以“易”為主；

第二級為學生能理解概念和規(guī)律的確切含義和準確表達，能理解規(guī)律的適用條件，并正確運用規(guī)律解決相關(guān)的問題，教學難度以“中等”為主，是多數(shù)學生要達到的知識和能力目標；

第三級為學生對物理規(guī)律的邏輯性認知達到較高水平，對復(fù)雜、抽象物理過程和物理情境有較好的理解，綜合能力、數(shù)學應(yīng)用能力較強，對應(yīng)的問題難度為“難”，是進一步拓展學生能力之必需［4］.

當教學對象的知識起點不高時，可著重實施第一、第二級要求的教學；如果學生的起點較高，則可著重實施第二級要求的教學并向第三級擴展.

2 教學內(nèi)容的層次劃分

根據(jù)上述教學目標和教學層次分析，現(xiàn)將“碰撞與動量守恒”的知識點進行分層歸類，并提出教學建議.

第一層次的教學內(nèi)容有：知道沖量、動量的定義及特點，了解沖量和動量變化的關(guān)系（動量定理），能用動量守恒定律求解簡單的碰撞問題（一維，無外力）.在教學操作上，沖量、動量定理只要求定性了解，而動量和動量守恒定律則要求定量掌握：引導學生合理規(guī)定正方向，在一維碰撞中正確列出守恒方程并進行簡單的計算，暫不做能力擴展，教學難度以“易”為主.由于概念多，新知識多，教學用時建議為3課時，給學生充分的新知識同化時間.

第二層次的教學是全章的重點和難點，要求學生正確理解動量的特點（與動能的區(qū)別等）和動量守恒的條件，理解三類碰撞中的內(nèi)力和外力特點，正確應(yīng)用動量守恒定律和能量關(guān)系求解相關(guān)碰撞問題.對于彈性碰撞，不僅要求學生能列出動量和動能守恒的方程組，并能對方程組的解進行討論，掌握等質(zhì)量小球的彈性碰撞特點.教學難度以“中等”為主，達到第二級要求即可.由于是全章的教學重心，教學用時建議為4課時.

考慮到知識的發(fā)展與學生能力拓展的需要，還應(yīng)進行第三級的教學擴展，使學生能運用動量守恒定律并綜合動能定理、機械能守恒定律、牛頓定律等高級規(guī)則解決力學問題，從而培養(yǎng)提高學生對物理過程和物理情境的分析能力、綜合能力以及數(shù)學應(yīng)用能力.這一層次的教學難度較大，技術(shù)上可引導學生把形形色色的力學綜合題歸類，尋找它們的共同特點，或者將大問題分解為若干個小問題，以降低學生接受知識的難度.

對于新課教學，通常達到第二級要求層次即可，第三級要求可在高三總復(fù)習中實現(xiàn).當然，如果學生基礎(chǔ)較好，可在第三級要求上做適當?shù)臄U展.

3 教學層次的范例列舉

以下給出各層次教學的范例，不僅體現(xiàn)全章的教學層次，也反映全章的教學框架：從易到難，循序漸進.

3.1 第一層次問題范例

由于這一層次的教學重點是基本概念和基本規(guī)律的教學，要控制難度，既要使學生容易獲得新知識，又有利于后續(xù)學習能力的形成和學習信心的提高.

【例1】質(zhì)量為m＝1kg的3個小球分別做勻速直線運動、圓周運動和平拋運動，某時刻的速度大小均為2m／s，分析此刻各自的動量特點.

本例題要求定量理解動量的大小、單位和方向，體現(xiàn)概念的初步學習，難度不大.

【例2】如圖1所示，光滑的水平面上有兩個小球同向運動.A的質(zhì)量為1kg，速度為10m／s；B的質(zhì)量為4kg，速度為1m／s.發(fā)生碰撞之后立即分開，B的速度變?yōu)?m／s，求碰撞后

（1）A 的速度；

（2）碰撞過程損失的動能是多少？

答案：－2m／s；18J.

圖1

本例題為動量守恒定律的初步應(yīng)用，僅限于光滑水平面上的一維碰撞，不拘泥細節(jié)，不引入碰撞的條件，要求學生正確規(guī)定正方向，正確表達動量守恒定律.教學中亦可引入“一動一靜”“反向碰撞”“反彈”等模型，可以求碰撞前、后的速度和動量，可擴展到求解動能（能量）的損失量.通過多角度的應(yīng)用，使學生對“運用動量守恒定律解決碰撞問題”形成初步的認識.

3.2 第二層次問題范例

本層次的教學要求學生正確理解動量和動量守恒的條件，理解三種碰撞的特點并能運用守恒定律處理常見問題.

以下例題涉及非彈性碰撞、完全非彈性碰撞和彈性碰撞，能較好地幫助學生深入理解動量守恒的條件、特點和應(yīng)用方法，難度中等，教學要求達到第二級.

【例3】A和B兩小球在水平面上沿同一方向運動，兩球的動量分別為pA＝6kg·m／s，pB＝10kg·m／s.當A球追及B球發(fā)生對心碰撞后，關(guān)于兩球動量pA′和pB′，正確的是（規(guī)定原來方向為正）

A.pA′＝7kg·m／s，pB′＝9kg·m／s

B.pA′＝6kg·m／s，pB′＝10kg·m／s

C.pA′＝－6kg·m／s，pB′＝22kg·m／s

D.pA′＝－3kg·m／s，pB′＝19kg·m／s

答案：D.

【例4】如圖2所示，在水平光滑直導軌上，靜止著3個質(zhì)量均為m＝1kg的相同小球A，B，C，現(xiàn)讓A 球以v0＝2m／s的速度向著B球運動，A和B兩球碰撞后黏合在一起，兩球繼續(xù)向右運動并跟C球碰撞，C球的最終速度vC＝1m／s.

（1）A和B兩球跟C球相碰前的共同速度為多大？

（2）A和B兩球最終的速度是多大？

（3）兩次碰撞過程中一共損失了多少動能？

答案：（1）v＝1m／s；（2）vAB＝0.5m／s；

（3）ΔEk＝1.25J.

圖2

【例5】在水平光滑直導軌上，質(zhì)量為m＝1kg的小球A以v0＝2m／s的速度向靜止的B球運動，B球的質(zhì)量為M＝3kg.A和B兩球發(fā)生彈性碰撞后，各自的速度是多少？

答案：以小球A 的初速度為正，－1m／s，1 m／s.

在做上述例題分析時，可引入存在外力（摩擦力）的情形，但當內(nèi)力遠大于外力時（碰撞時間很短），動量守恒依然成立.由于本層次教學是全章的教學重點，故仍然有一定的難度.

3.3 第二層次的第三級要求范例

這是本章最具挑戰(zhàn)的教學層級，涵蓋了《考試大綱》要求考查的除了實驗?zāi)芰σ酝獾钠渌?種能力：理解能力、推理能力、分析綜合能力和應(yīng)用數(shù)學處理物理問題的能力.雖然難度大，但有一定的規(guī)律可尋.下列三類問題是大多數(shù)綜合題的母題或原題，由它們可變式出豐富多彩的力學綜合題，故在教學中要講透.

3.3.1 與機械能（或動力學規(guī)律）的綜合

【例6】如圖3，一光滑水平桌面AB與一半徑為R的光滑半圓形軌道相切于C點，且兩者固定不動.一長L為0.8m的細繩，一端固定于O點，另一端系一個質(zhì)量m1為0.2kg的球.當球在豎直方向靜止時，球?qū)λ阶烂娴淖饔昧偤脼榱?現(xiàn)將球提起使細繩處于水平位置時無初速釋放.當球m1擺至最低點時，恰與放在桌面上的質(zhì)量m2為0.8kg的小鐵球正碰，碰后m1小球以2m／s的速度彈回，m2將沿半圓形軌道運動，恰好能通過最高點D.g＝10 m／s2，問：

（1）m2在圓形軌道最低點C的速度為多大？

（2）光滑圓形軌道半徑R應(yīng)為多大？

答案：（1）1.5m／s；（2）0.045m.

圖3

3.3.2 子彈打木塊模型

子彈打木塊模型是動量守恒定律教學中繞不開的問題，幾乎一半的力學綜合題是從該模型中演化出來.

【例7】如圖4所示，設(shè)質(zhì)量為m＝0.2kg的子彈以初速度v0＝200m／s射向靜止在光滑水平面上的質(zhì)量為M＝1.8kg的木塊，并留在木塊中不再射出，子彈鉆入木塊深度為d＝0.2m.求

（1）木塊對子彈的平均阻力的大小和該過程中木塊前進的距離；

（2）系統(tǒng)損失的動能.

圖4

答案：（1）1.8×104N，0.02m；（2）3.6×103J.

本題要求學生不僅會列出動量守恒定律方程，還要熟練地對子彈、木塊和系統(tǒng)列出相應(yīng)的動能定理方程.下面兩個重要結(jié)論，要求學生掌握：

結(jié)論1：阻力（摩擦力）產(chǎn)生的熱能：Q＝fd；

結(jié)論2：系統(tǒng)損失的動能轉(zhuǎn)化為熱能（能量守恒），即

結(jié)論中，d為子彈相對木塊的距離，若子彈穿出，結(jié)論仍成立，只是子彈和木塊的末速度不相等.本模型可擴展為小物塊在大木塊（或小車）上的相對運動問題，如圖5所示.

圖5

3.3.3 碰撞中的彈簧問題

彈簧模型本質(zhì)上就是彈性碰撞模型，是第二大類的力學綜合題型.要求學生弄清彈簧處在壓縮量最大和原長兩個特殊位置的動量和能量特點，其他問題將迎刃而解.

【例8】如圖6所示，用輕彈簧相連的質(zhì)量均為2 kg的A和B兩物塊都以v＝6m／s的速度在光滑水平地面上運動，彈簧處于原長，質(zhì)量4kg的物塊C靜止在前方，B與C碰撞后二者粘在一起運動.在以后的運動中，問：

（1）當彈簧的彈性勢能最大時，物體A的速度多大？

（2）彈性勢能的最大值是多大？

（3）A的速度有可能向左嗎？為什么？

圖6

答案：（1）3m／s；（2）Ep＝12J；（3）不可能.

還有難度更大的多次碰撞問題，可根據(jù)學生的能力層次繼續(xù)擴展，限于篇幅，不再列舉.

4 結(jié)束語

筆者所在的學校為非重點中學，學生層次中等偏下，教學難度較大.但通過分層推進，較好地實現(xiàn)了課程目標：普通班的教學能推進到第二級要求，重點班則能推進到第三級要求.在以上述例題為尺度的考試評價中，重點班、普通班均取得較好的成績.因此，分層推進是應(yīng)對高難度內(nèi)容的有效方法，它使各層次的學生學有所獲，而不是望而止步.

類似“碰撞與動量守恒”內(nèi)容，涉及的問題太復(fù)雜，教學過程決不可以照本宣科，而是要根據(jù)教學目標和學生實際進行二次創(chuàng)作.筆者的嘗試是提供一種思路或方法，期待起到拋磚引玉的作用.

1 教育部考試中心主編.2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱.北京：高等教育出版社，2013

2 教育部.普通高中物理課程標準（實驗）.北京：人民教育出版社，2003

3 潘仕恒.高中物理課程分級評價淺探.中學物理教學參考，2012（1，2）

4 廖伯琴，張大昌編.普通高中物理課程標準（實驗）解讀.武漢：湖北教育出版社，2004